Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  idldil Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem idldil 34214
Description: The identity function is a lattice dilation. (Contributed by NM, 18-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
idldil.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
idldil.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
idldil.d 𝐷 = ((LDil‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
idldil ((𝐾𝐴𝑊𝐻) → ( I ↾ 𝐵) ∈ 𝐷)

Proof of Theorem idldil
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 idldil.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 eqid 2609 . . . 4 (LAut‘𝐾) = (LAut‘𝐾)
31, 2idlaut 34196 . . 3 (𝐾𝐴 → ( I ↾ 𝐵) ∈ (LAut‘𝐾))
43adantr 479 . 2 ((𝐾𝐴𝑊𝐻) → ( I ↾ 𝐵) ∈ (LAut‘𝐾))
5 fvresi 6322 . . . . 5 (𝑥𝐵 → (( I ↾ 𝐵)‘𝑥) = 𝑥)
65a1d 25 . . . 4 (𝑥𝐵 → (𝑥(le‘𝐾)𝑊 → (( I ↾ 𝐵)‘𝑥) = 𝑥))
76rgen 2905 . . 3 𝑥𝐵 (𝑥(le‘𝐾)𝑊 → (( I ↾ 𝐵)‘𝑥) = 𝑥)
87a1i 11 . 2 ((𝐾𝐴𝑊𝐻) → ∀𝑥𝐵 (𝑥(le‘𝐾)𝑊 → (( I ↾ 𝐵)‘𝑥) = 𝑥))
9 eqid 2609 . . 3 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
10 idldil.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
11 idldil.d . . 3 𝐷 = ((LDil‘𝐾)‘𝑊)
121, 9, 10, 2, 11isldil 34210 . 2 ((𝐾𝐴𝑊𝐻) → (( I ↾ 𝐵) ∈ 𝐷 ↔ (( I ↾ 𝐵) ∈ (LAut‘𝐾) ∧ ∀𝑥𝐵 (𝑥(le‘𝐾)𝑊 → (( I ↾ 𝐵)‘𝑥) = 𝑥))))
134, 8, 12mpbir2and 958 1 ((𝐾𝐴𝑊𝐻) → ( I ↾ 𝐵) ∈ 𝐷)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  wral 2895   class class class wbr 4577   I cid 4938  cres 5030  cfv 5790  Basecbs 15641  lecple 15721  LHypclh 34084  LAutclaut 34085  LDilcldil 34200
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-id 4943  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-map 7723  df-laut 34089  df-ldil 34204
This theorem is referenced by:  idltrn  34250
  Copyright terms: Public domain W3C validator