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Theorem idlimc 39262
Description: Limit of the identity function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
idlimc.a (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
idlimc.f 𝐹 = (𝑥𝐴𝑥)
idlimc.x (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
idlimc (𝜑𝑋 ∈ (𝐹 lim 𝑋))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem idlimc
Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 idlimc.x . 2 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
2 simpr 477 . . . 4 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) → 𝑤 ∈ ℝ+)
3 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥𝐴)
4 idlimc.f . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐹 = (𝑥𝐴𝑥)
54fvmpt2 6248 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥𝐴𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) = 𝑥)
63, 3, 5syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) = 𝑥)
76oveq1d 6619 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐴) → ((𝐹𝑥) − 𝑋) = (𝑥𝑋))
87fveq2d 6152 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → (abs‘((𝐹𝑥) − 𝑋)) = (abs‘(𝑥𝑋)))
98adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ (abs‘(𝑥𝑋)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹𝑥) − 𝑋)) = (abs‘(𝑥𝑋)))
10 simpr 477 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ (abs‘(𝑥𝑋)) < 𝑤) → (abs‘(𝑥𝑋)) < 𝑤)
119, 10eqbrtrd 4635 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ (abs‘(𝑥𝑋)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹𝑥) − 𝑋)) < 𝑤)
1211adantrl 751 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ (𝑥𝑋 ∧ (abs‘(𝑥𝑋)) < 𝑤)) → (abs‘((𝐹𝑥) − 𝑋)) < 𝑤)
1312ex 450 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → ((𝑥𝑋 ∧ (abs‘(𝑥𝑋)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹𝑥) − 𝑋)) < 𝑤))
1413adantlr 750 . . . . . 6 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝑥𝑋 ∧ (abs‘(𝑥𝑋)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹𝑥) − 𝑋)) < 𝑤))
1514ralrimiva 2960 . . . . 5 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) → ∀𝑥𝐴 ((𝑥𝑋 ∧ (abs‘(𝑥𝑋)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹𝑥) − 𝑋)) < 𝑤))
16 nfcv 2761 . . . . . . . . 9 𝑧𝑥
17 nfcv 2761 . . . . . . . . 9 𝑧𝑋
1816, 17nfne 2890 . . . . . . . 8 𝑧 𝑥𝑋
19 nfv 1840 . . . . . . . 8 𝑧(abs‘(𝑥𝑋)) < 𝑤
2018, 19nfan 1825 . . . . . . 7 𝑧(𝑥𝑋 ∧ (abs‘(𝑥𝑋)) < 𝑤)
21 nfv 1840 . . . . . . 7 𝑧(abs‘((𝐹𝑥) − 𝑋)) < 𝑤
2220, 21nfim 1822 . . . . . 6 𝑧((𝑥𝑋 ∧ (abs‘(𝑥𝑋)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹𝑥) − 𝑋)) < 𝑤)
23 nfv 1840 . . . . . . 7 𝑥(𝑧𝑋 ∧ (abs‘(𝑧𝑋)) < 𝑤)
24 nfcv 2761 . . . . . . . . 9 𝑥abs
25 nfmpt1 4707 . . . . . . . . . . . 12 𝑥(𝑥𝐴𝑥)
264, 25nfcxfr 2759 . . . . . . . . . . 11 𝑥𝐹
27 nfcv 2761 . . . . . . . . . . 11 𝑥𝑧
2826, 27nffv 6155 . . . . . . . . . 10 𝑥(𝐹𝑧)
29 nfcv 2761 . . . . . . . . . 10 𝑥
30 nfcv 2761 . . . . . . . . . 10 𝑥𝑋
3128, 29, 30nfov 6630 . . . . . . . . 9 𝑥((𝐹𝑧) − 𝑋)
3224, 31nffv 6155 . . . . . . . 8 𝑥(abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋))
33 nfcv 2761 . . . . . . . 8 𝑥 <
34 nfcv 2761 . . . . . . . 8 𝑥𝑤
3532, 33, 34nfbr 4659 . . . . . . 7 𝑥(abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑤
3623, 35nfim 1822 . . . . . 6 𝑥((𝑧𝑋 ∧ (abs‘(𝑧𝑋)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑤)
37 neeq1 2852 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥𝑋𝑧𝑋))
38 oveq1 6611 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥𝑋) = (𝑧𝑋))
3938fveq2d 6152 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑧 → (abs‘(𝑥𝑋)) = (abs‘(𝑧𝑋)))
4039breq1d 4623 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑧 → ((abs‘(𝑥𝑋)) < 𝑤 ↔ (abs‘(𝑧𝑋)) < 𝑤))
4137, 40anbi12d 746 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑧 → ((𝑥𝑋 ∧ (abs‘(𝑥𝑋)) < 𝑤) ↔ (𝑧𝑋 ∧ (abs‘(𝑧𝑋)) < 𝑤)))
42 fveq2 6148 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑧 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑧))
4342oveq1d 6619 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑧 → ((𝐹𝑥) − 𝑋) = ((𝐹𝑧) − 𝑋))
4443fveq2d 6152 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑥) − 𝑋)) = (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)))
4544breq1d 4623 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑧 → ((abs‘((𝐹𝑥) − 𝑋)) < 𝑤 ↔ (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑤))
4641, 45imbi12d 334 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑧 → (((𝑥𝑋 ∧ (abs‘(𝑥𝑋)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹𝑥) − 𝑋)) < 𝑤) ↔ ((𝑧𝑋 ∧ (abs‘(𝑧𝑋)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑤)))
4722, 36, 46cbvral 3155 . . . . 5 (∀𝑥𝐴 ((𝑥𝑋 ∧ (abs‘(𝑥𝑋)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹𝑥) − 𝑋)) < 𝑤) ↔ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝑋 ∧ (abs‘(𝑧𝑋)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑤))
4815, 47sylib 208 . . . 4 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) → ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝑋 ∧ (abs‘(𝑧𝑋)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑤))
49 breq2 4617 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑤 → ((abs‘(𝑧𝑋)) < 𝑦 ↔ (abs‘(𝑧𝑋)) < 𝑤))
5049anbi2d 739 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑤 → ((𝑧𝑋 ∧ (abs‘(𝑧𝑋)) < 𝑦) ↔ (𝑧𝑋 ∧ (abs‘(𝑧𝑋)) < 𝑤)))
5150imbi1d 331 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑤 → (((𝑧𝑋 ∧ (abs‘(𝑧𝑋)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑤) ↔ ((𝑧𝑋 ∧ (abs‘(𝑧𝑋)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑤)))
5251ralbidv 2980 . . . . 5 (𝑦 = 𝑤 → (∀𝑧𝐴 ((𝑧𝑋 ∧ (abs‘(𝑧𝑋)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑤) ↔ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝑋 ∧ (abs‘(𝑧𝑋)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑤)))
5352rspcev 3295 . . . 4 ((𝑤 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝑋 ∧ (abs‘(𝑧𝑋)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑤)) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝑋 ∧ (abs‘(𝑧𝑋)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑤))
542, 48, 53syl2anc 692 . . 3 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝑋 ∧ (abs‘(𝑧𝑋)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑤))
5554ralrimiva 2960 . 2 (𝜑 → ∀𝑤 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝑋 ∧ (abs‘(𝑧𝑋)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑤))
56 idlimc.a . . . . 5 (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
5756sselda 3583 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℂ)
5857, 4fmptd 6340 . . 3 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
5958, 56, 1ellimc3 23549 . 2 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐹 lim 𝑋) ↔ (𝑋 ∈ ℂ ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝑋 ∧ (abs‘(𝑧𝑋)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑤))))
601, 55, 59mpbir2and 956 1 (𝜑𝑋 ∈ (𝐹 lim 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wral 2907  wrex 2908  wss 3555   class class class wbr 4613  cmpt 4673  cfv 5847  (class class class)co 6604  cc 9878   < clt 10018  cmin 10210  +crp 11776  abscabs 13908   lim climc 23532
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-pm 7805  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-fi 8261  df-sup 8292  df-inf 8293  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-xneg 11890  df-xadd 11891  df-xmul 11892  df-fz 12269  df-seq 12742  df-exp 12801  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-starv 15877  df-tset 15881  df-ple 15882  df-ds 15885  df-unif 15886  df-rest 16004  df-topn 16005  df-topgen 16025  df-psmet 19657  df-xmet 19658  df-met 19659  df-bl 19660  df-mopn 19661  df-cnfld 19666  df-top 20621  df-bases 20622  df-topon 20623  df-topsp 20624  df-cnp 20942  df-xms 22035  df-ms 22036  df-limc 23536
This theorem is referenced by:  fourierdlem53  39683  fourierdlem60  39690  fourierdlem61  39691  fourierdlem73  39703  fourierdlem74  39704  fourierdlem75  39705  fourierdlem76  39706
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