Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  idmgmhm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem idmgmhm 41576
Description: The identity homomorphism on a magma. (Contributed by AV, 27-Feb-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
idmgmhm.b 𝐵 = (Base‘𝑀)
Assertion
Ref Expression
idmgmhm (𝑀 ∈ Mgm → ( I ↾ 𝐵) ∈ (𝑀 MgmHom 𝑀))

Proof of Theorem idmgmhm
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 22 . . 3 (𝑀 ∈ Mgm → 𝑀 ∈ Mgm)
21ancri 572 . 2 (𝑀 ∈ Mgm → (𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑀 ∈ Mgm))
3 f1oi 6067 . . . 4 ( I ↾ 𝐵):𝐵1-1-onto𝐵
4 f1of 6031 . . . 4 (( I ↾ 𝐵):𝐵1-1-onto𝐵 → ( I ↾ 𝐵):𝐵𝐵)
53, 4mp1i 13 . . 3 (𝑀 ∈ Mgm → ( I ↾ 𝐵):𝐵𝐵)
6 idmgmhm.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝑀)
7 eqid 2605 . . . . . . . 8 (+g𝑀) = (+g𝑀)
86, 7mgmcl 17010 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑎𝐵𝑏𝐵) → (𝑎(+g𝑀)𝑏) ∈ 𝐵)
983expb 1257 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ Mgm ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (𝑎(+g𝑀)𝑏) ∈ 𝐵)
10 fvresi 6318 . . . . . 6 ((𝑎(+g𝑀)𝑏) ∈ 𝐵 → (( I ↾ 𝐵)‘(𝑎(+g𝑀)𝑏)) = (𝑎(+g𝑀)𝑏))
119, 10syl 17 . . . . 5 ((𝑀 ∈ Mgm ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (( I ↾ 𝐵)‘(𝑎(+g𝑀)𝑏)) = (𝑎(+g𝑀)𝑏))
12 fvresi 6318 . . . . . . 7 (𝑎𝐵 → (( I ↾ 𝐵)‘𝑎) = 𝑎)
13 fvresi 6318 . . . . . . 7 (𝑏𝐵 → (( I ↾ 𝐵)‘𝑏) = 𝑏)
1412, 13oveqan12d 6542 . . . . . 6 ((𝑎𝐵𝑏𝐵) → ((( I ↾ 𝐵)‘𝑎)(+g𝑀)(( I ↾ 𝐵)‘𝑏)) = (𝑎(+g𝑀)𝑏))
1514adantl 480 . . . . 5 ((𝑀 ∈ Mgm ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → ((( I ↾ 𝐵)‘𝑎)(+g𝑀)(( I ↾ 𝐵)‘𝑏)) = (𝑎(+g𝑀)𝑏))
1611, 15eqtr4d 2642 . . . 4 ((𝑀 ∈ Mgm ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (( I ↾ 𝐵)‘(𝑎(+g𝑀)𝑏)) = ((( I ↾ 𝐵)‘𝑎)(+g𝑀)(( I ↾ 𝐵)‘𝑏)))
1716ralrimivva 2949 . . 3 (𝑀 ∈ Mgm → ∀𝑎𝐵𝑏𝐵 (( I ↾ 𝐵)‘(𝑎(+g𝑀)𝑏)) = ((( I ↾ 𝐵)‘𝑎)(+g𝑀)(( I ↾ 𝐵)‘𝑏)))
185, 17jca 552 . 2 (𝑀 ∈ Mgm → (( I ↾ 𝐵):𝐵𝐵 ∧ ∀𝑎𝐵𝑏𝐵 (( I ↾ 𝐵)‘(𝑎(+g𝑀)𝑏)) = ((( I ↾ 𝐵)‘𝑎)(+g𝑀)(( I ↾ 𝐵)‘𝑏))))
196, 6, 7, 7ismgmhm 41571 . 2 (( I ↾ 𝐵) ∈ (𝑀 MgmHom 𝑀) ↔ ((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑀 ∈ Mgm) ∧ (( I ↾ 𝐵):𝐵𝐵 ∧ ∀𝑎𝐵𝑏𝐵 (( I ↾ 𝐵)‘(𝑎(+g𝑀)𝑏)) = ((( I ↾ 𝐵)‘𝑎)(+g𝑀)(( I ↾ 𝐵)‘𝑏)))))
202, 18, 19sylanbrc 694 1 (𝑀 ∈ Mgm → ( I ↾ 𝐵) ∈ (𝑀 MgmHom 𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1975  wral 2891   I cid 4934  cres 5026  wf 5782  1-1-ontowf1o 5785  cfv 5786  (class class class)co 6523  Basecbs 15637  +gcplusg 15710  Mgmcmgm 17005   MgmHom cmgmhm 41565
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824  ax-un 6820
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ne 2777  df-ral 2896  df-rex 2897  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-nul 3870  df-if 4032  df-pw 4105  df-sn 4121  df-pr 4123  df-op 4127  df-uni 4363  df-br 4574  df-opab 4634  df-id 4939  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-res 5036  df-ima 5037  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fn 5789  df-f 5790  df-f1 5791  df-fo 5792  df-f1o 5793  df-fv 5794  df-ov 6526  df-oprab 6527  df-mpt2 6528  df-map 7719  df-mgm 17007  df-mgmhm 41567
This theorem is referenced by:  idrnghm  41696
  Copyright terms: Public domain W3C validator