MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  idmhm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem idmhm 17953
Description: The identity homomorphism on a monoid. (Contributed by AV, 14-Feb-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
idmhm.b 𝐵 = (Base‘𝑀)
Assertion
Ref Expression
idmhm (𝑀 ∈ Mnd → ( I ↾ 𝐵) ∈ (𝑀 MndHom 𝑀))

Proof of Theorem idmhm
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 22 . 2 (𝑀 ∈ Mnd → 𝑀 ∈ Mnd)
2 f1oi 6645 . . . 4 ( I ↾ 𝐵):𝐵1-1-onto𝐵
3 f1of 6608 . . . 4 (( I ↾ 𝐵):𝐵1-1-onto𝐵 → ( I ↾ 𝐵):𝐵𝐵)
42, 3mp1i 13 . . 3 (𝑀 ∈ Mnd → ( I ↾ 𝐵):𝐵𝐵)
5 idmhm.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝑀)
6 eqid 2818 . . . . . . . 8 (+g𝑀) = (+g𝑀)
75, 6mndcl 17907 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑎𝐵𝑏𝐵) → (𝑎(+g𝑀)𝑏) ∈ 𝐵)
873expb 1112 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (𝑎(+g𝑀)𝑏) ∈ 𝐵)
9 fvresi 6927 . . . . . 6 ((𝑎(+g𝑀)𝑏) ∈ 𝐵 → (( I ↾ 𝐵)‘(𝑎(+g𝑀)𝑏)) = (𝑎(+g𝑀)𝑏))
108, 9syl 17 . . . . 5 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (( I ↾ 𝐵)‘(𝑎(+g𝑀)𝑏)) = (𝑎(+g𝑀)𝑏))
11 fvresi 6927 . . . . . . 7 (𝑎𝐵 → (( I ↾ 𝐵)‘𝑎) = 𝑎)
12 fvresi 6927 . . . . . . 7 (𝑏𝐵 → (( I ↾ 𝐵)‘𝑏) = 𝑏)
1311, 12oveqan12d 7164 . . . . . 6 ((𝑎𝐵𝑏𝐵) → ((( I ↾ 𝐵)‘𝑎)(+g𝑀)(( I ↾ 𝐵)‘𝑏)) = (𝑎(+g𝑀)𝑏))
1413adantl 482 . . . . 5 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → ((( I ↾ 𝐵)‘𝑎)(+g𝑀)(( I ↾ 𝐵)‘𝑏)) = (𝑎(+g𝑀)𝑏))
1510, 14eqtr4d 2856 . . . 4 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (( I ↾ 𝐵)‘(𝑎(+g𝑀)𝑏)) = ((( I ↾ 𝐵)‘𝑎)(+g𝑀)(( I ↾ 𝐵)‘𝑏)))
1615ralrimivva 3188 . . 3 (𝑀 ∈ Mnd → ∀𝑎𝐵𝑏𝐵 (( I ↾ 𝐵)‘(𝑎(+g𝑀)𝑏)) = ((( I ↾ 𝐵)‘𝑎)(+g𝑀)(( I ↾ 𝐵)‘𝑏)))
17 eqid 2818 . . . . 5 (0g𝑀) = (0g𝑀)
185, 17mndidcl 17914 . . . 4 (𝑀 ∈ Mnd → (0g𝑀) ∈ 𝐵)
19 fvresi 6927 . . . 4 ((0g𝑀) ∈ 𝐵 → (( I ↾ 𝐵)‘(0g𝑀)) = (0g𝑀))
2018, 19syl 17 . . 3 (𝑀 ∈ Mnd → (( I ↾ 𝐵)‘(0g𝑀)) = (0g𝑀))
214, 16, 203jca 1120 . 2 (𝑀 ∈ Mnd → (( I ↾ 𝐵):𝐵𝐵 ∧ ∀𝑎𝐵𝑏𝐵 (( I ↾ 𝐵)‘(𝑎(+g𝑀)𝑏)) = ((( I ↾ 𝐵)‘𝑎)(+g𝑀)(( I ↾ 𝐵)‘𝑏)) ∧ (( I ↾ 𝐵)‘(0g𝑀)) = (0g𝑀)))
225, 5, 6, 6, 17, 17ismhm 17946 . 2 (( I ↾ 𝐵) ∈ (𝑀 MndHom 𝑀) ↔ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑀 ∈ Mnd) ∧ (( I ↾ 𝐵):𝐵𝐵 ∧ ∀𝑎𝐵𝑏𝐵 (( I ↾ 𝐵)‘(𝑎(+g𝑀)𝑏)) = ((( I ↾ 𝐵)‘𝑎)(+g𝑀)(( I ↾ 𝐵)‘𝑏)) ∧ (( I ↾ 𝐵)‘(0g𝑀)) = (0g𝑀))))
231, 1, 21, 22syl21anbrc 1336 1 (𝑀 ∈ Mnd → ( I ↾ 𝐵) ∈ (𝑀 MndHom 𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wral 3135   I cid 5452  cres 5550  wf 6344  1-1-ontowf1o 6347  cfv 6348  (class class class)co 7145  Basecbs 16471  +gcplusg 16553  0gc0g 16701  Mndcmnd 17899   MndHom cmhm 17942
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-map 8397  df-0g 16703  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-mhm 17944
This theorem is referenced by:  idrhm  19412
  Copyright terms: Public domain W3C validator