Theorem idomodle 39789

Description: Limit on the number of 𝑁-th roots of unity in an integral domain. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
idomodle.g	⊢ 𝐺 = ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅))
idomodle.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
idomodle.o	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
idomodle	⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁}) ≤ 𝑁)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑁   𝑥,𝑅

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥)   𝑂(𝑥)

Proof of Theorem idomodle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		idomodle.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2	1	fvexi 6679	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
3	2	rabex 5228	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁} ∈ V
4		hashxrcl 13712	. . 3 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁} ∈ V → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁}) ∈ ℝ*)
5	3, 4	mp1i 13	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁}) ∈ ℝ*)
6		fvex 6678	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) ∈ V
7	6	rabex 5228	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)} ∈ V
8		hashxrcl 13712	. . 3 ⊢ ({𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)} ∈ V → (♯‘{𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)}) ∈ ℝ*)
9	7, 8	mp1i 13	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)}) ∈ ℝ*)
10		nnre 11639	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
11	10	rexrd 10685	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ*)
12	11	adantl 484	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ*)
13		isidom 20071	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ Domn))
14	13	simplbi 500	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn → 𝑅 ∈ CRing)
15	14	adantr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑅 ∈ CRing)
16		crngring 19302	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
17	15, 16	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑅 ∈ Ring)
18	17	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
19		eqid 2821	. . . . . . . . 9 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
20		idomodle.g	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐺 = ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅))
21	19, 20	unitgrp 19411	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐺 ∈ Grp)
22	18, 21	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ Grp)
23		simpr 487	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
24		nnz 11998	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
25	24	ad2antlr 725	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑁 ∈ ℤ)
26		idomodle.o	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
27		eqid 2821	. . . . . . . 8 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘𝐺)
28		eqid 2821	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
29	1, 26, 27, 28	oddvds 18669	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁(.g‘𝐺)𝑥) = (0g‘𝐺)))
30	22, 23, 25, 29	syl3anc 1367	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁(.g‘𝐺)𝑥) = (0g‘𝐺)))
31		eqid 2821	. . . . . . . . . 10 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
32	19, 31	unitsubm 19414	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Unit‘𝑅) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)))
33	18, 32	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (Unit‘𝑅) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)))
34		nnnn0 11898	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
35	34	ad2antlr 725	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑁 ∈ ℕ0)
36	19, 20	unitgrpbas 19410	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Base‘𝐺)
37	1, 36	eqtr4i 2847	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Unit‘𝑅)
38	23, 37	eleqtrdi 2923	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ (Unit‘𝑅))
39		eqid 2821	. . . . . . . . 9 ⊢ (.g‘(mulGrp‘𝑅)) = (.g‘(mulGrp‘𝑅))
40	39, 20, 27	submmulg 18265	. . . . . . . 8 ⊢ (((Unit‘𝑅) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (𝑁(.g‘𝐺)𝑥))
41	33, 35, 38, 40	syl3anc 1367	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (𝑁(.g‘𝐺)𝑥))
42		eqid 2821	. . . . . . . . 9 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
43	19, 20, 42	unitgrpid 19413	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) = (0g‘𝐺))
44	18, 43	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (1r‘𝑅) = (0g‘𝐺))
45	41, 44	eqeq12d 2837	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅) ↔ (𝑁(.g‘𝐺)𝑥) = (0g‘𝐺)))
46	30, 45	bitr4d 284	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)))
47	46	rabbidva 3479	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁} = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)})
48	47	fveq2d 6669	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁}) = (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)}))
49		eqid 2821	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
50	49, 37	unitss 19404	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ⊆ (Base‘𝑅)
51		rabss2 4054	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ⊆ (Base‘𝑅) → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)} ⊆ {𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)})
52	50, 51	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)} ⊆ {𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)})
53		ssdomg 8549	. . . . 5 ⊢ ({𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)} ∈ V → ({𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)} ⊆ {𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)} → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)} ≼ {𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)}))
54	7, 52, 53	mpsyl 68	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)} ≼ {𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)})
55		hashdomi 13735	. . . 4 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)} ≼ {𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)} → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)}) ≤ (♯‘{𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)}))
56	54, 55	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)}) ≤ (♯‘{𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)}))
57	48, 56	eqbrtrd 5081	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁}) ≤ (♯‘{𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)}))
58		simpl 485	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑅 ∈ IDomn)
59	49, 42	ringidcl 19312	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
60	17, 59	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
61		simpr 487	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ)
62	49, 39	idomrootle 39788	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)}) ≤ 𝑁)
63	58, 60, 61, 62	syl3anc 1367	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)}) ≤ 𝑁)
64	5, 9, 12, 57, 63	xrletrd 12549	1 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁}) ≤ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  {crab 3142  Vcvv 3495   ⊆ wss 3936   class class class wbr 5059  ‘cfv 6350  (class class class)co 7150   ≼ cdom 8501  ℝ^*cxr 10668   ≤ cle 10670  ℕcn 11632  ℕ₀cn0 11891  ℤcz 11975  ♯chash 13684   ∥ cdvds 15601  Basecbs 16477   ↾_s cress 16478  0_gc0g 16707  SubMndcsubmnd 17949  Grpcgrp 18097  ._gcmg 18218  odcod 18646  mulGrpcmgp 19233  1_rcur 19245  Ringcrg 19291  CRingccrg 19292  Unitcui 19383  Domncdomn 20047  IDomncidom 20048

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-rep 5183  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609  ax-addf 10610  ax-mulf 10611

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4833  df-int 4870  df-iun 4914  df-iin 4915  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5469  df-so 5470  df-fr 5509  df-se 5510  df-we 5511  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-pred 6143  df-ord 6189  df-on 6190  df-lim 6191  df-suc 6192  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-isom 6359  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7403  df-ofr 7404  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-supp 7825  df-tpos 7886  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-2o 8097  df-oadd 8100  df-er 8283  df-map 8402  df-pm 8403  df-ixp 8456  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-fsupp 8828  df-sup 8900  df-inf 8901  df-oi 8968  df-dju 9324  df-card 9362  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-9 11701  df-n0 11892  df-xnn0 11962  df-z 11976  df-dec 12093  df-uz 12238  df-rp 12384  df-fz 12887  df-fzo 13028  df-fl 13156  df-mod 13232  df-seq 13364  df-exp 13424  df-hash 13685  df-cj 14452  df-re 14453  df-im 14454  df-sqrt 14588  df-abs 14589  df-dvds 15602  df-struct 16479  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-sets 16484  df-ress 16485  df-plusg 16572  df-mulr 16573  df-starv 16574  df-sca 16575  df-vsca 16576  df-ip 16577  df-tset 16578  df-ple 16579  df-ds 16581  df-unif 16582  df-hom 16583  df-cco 16584  df-0g 16709  df-gsum 16710  df-prds 16715  df-pws 16717  df-mre 16851  df-mrc 16852  df-acs 16854  df-mgm 17846  df-sgrp 17895  df-mnd 17906  df-mhm 17950  df-submnd 17951  df-grp 18100  df-minusg 18101  df-sbg 18102  df-mulg 18219  df-subg 18270  df-ghm 18350  df-cntz 18441  df-od 18650  df-cmn 18902  df-abl 18903  df-mgp 19234  df-ur 19246  df-srg 19250  df-ring 19293  df-cring 19294  df-oppr 19367  df-dvdsr 19385  df-unit 19386  df-invr 19416  df-rnghom 19461  df-subrg 19527  df-lmod 19630  df-lss 19698  df-lsp 19738  df-nzr 20025  df-rlreg 20050  df-domn 20051  df-idom 20052  df-assa 20079  df-asp 20080  df-ascl 20081  df-psr 20130  df-mvr 20131  df-mpl 20132  df-opsr 20134  df-evls 20280  df-evl 20281  df-psr1 20342  df-vr1 20343  df-ply1 20344  df-coe1 20345  df-evl1 20473  df-cnfld 20540  df-mdeg 24643  df-deg1 24644  df-mon1 24718  df-uc1p 24719  df-q1p 24720  df-r1p 24721

This theorem is referenced by:  idomsubgmo  39791