Theorem idrnghm 42416

Description: The identity homomorphism on a non-unital ring. (Contributed by AV, 27-Feb-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
idrnghm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
idrnghm	⊢ (𝑅 ∈ Rng → ( I ↾ 𝐵) ∈ (𝑅 RngHomo 𝑅))

Proof of Theorem idrnghm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → 𝑅 ∈ Rng)
2	1, 1	jca 555	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → (𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑅 ∈ Rng))
3		rngabl 42385	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → 𝑅 ∈ Abel)
4		ablgrp 18396	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Abel → 𝑅 ∈ Grp)
5		idrnghm.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
6	5	idghm 17874	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → ( I ↾ 𝐵) ∈ (𝑅 GrpHom 𝑅))
7	3, 4, 6	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → ( I ↾ 𝐵) ∈ (𝑅 GrpHom 𝑅))
8		eqid 2758	. . . . 5 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
9	8	rngmgp 42386	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → (mulGrp‘𝑅) ∈ SGrp)
10		sgrpmgm 17488	. . . 4 ⊢ ((mulGrp‘𝑅) ∈ SGrp → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mgm)
11	8, 5	mgpbas 18693	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
12	11	idmgmhm 42296	. . . 4 ⊢ ((mulGrp‘𝑅) ∈ Mgm → ( I ↾ 𝐵) ∈ ((mulGrp‘𝑅) MgmHom (mulGrp‘𝑅)))
13	9, 10, 12	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → ( I ↾ 𝐵) ∈ ((mulGrp‘𝑅) MgmHom (mulGrp‘𝑅)))
14	7, 13	jca 555	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → (( I ↾ 𝐵) ∈ (𝑅 GrpHom 𝑅) ∧ ( I ↾ 𝐵) ∈ ((mulGrp‘𝑅) MgmHom (mulGrp‘𝑅))))
15	8, 8	isrnghmmul 42401	. 2 ⊢ (( I ↾ 𝐵) ∈ (𝑅 RngHomo 𝑅) ↔ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑅 ∈ Rng) ∧ (( I ↾ 𝐵) ∈ (𝑅 GrpHom 𝑅) ∧ ( I ↾ 𝐵) ∈ ((mulGrp‘𝑅) MgmHom (mulGrp‘𝑅)))))
16	2, 14, 15	sylanbrc 701	1 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → ( I ↾ 𝐵) ∈ (𝑅 RngHomo 𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1630   ∈ wcel 2137   I cid 5171   ↾ cres 5266  ‘cfv 6047  (class class class)co 6811  Basecbs 16057  Mgmcmgm 17439  SGrpcsgrp 17482  Grpcgrp 17621   GrpHom cghm 17856  Abelcabl 18392  mulGrpcmgp 18687   MgmHom cmgmhm 42285  Rngcrng 42382   RngHomo crngh 42393

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1986  ax-6 2052  ax-7 2088  ax-8 2139  ax-9 2146  ax-10 2166  ax-11 2181  ax-12 2194  ax-13 2389  ax-ext 2738  ax-rep 4921  ax-sep 4931  ax-nul 4939  ax-pow 4990  ax-pr 5053  ax-un 7112  ax-cnex 10182  ax-resscn 10183  ax-1cn 10184  ax-icn 10185  ax-addcl 10186  ax-addrcl 10187  ax-mulcl 10188  ax-mulrcl 10189  ax-mulcom 10190  ax-addass 10191  ax-mulass 10192  ax-distr 10193  ax-i2m1 10194  ax-1ne0 10195  ax-1rid 10196  ax-rnegex 10197  ax-rrecex 10198  ax-cnre 10199  ax-pre-lttri 10200  ax-pre-lttrn 10201  ax-pre-ltadd 10202  ax-pre-mulgt0 10203

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2045  df-eu 2609  df-mo 2610  df-clab 2745  df-cleq 2751  df-clel 2754  df-nfc 2889  df-ne 2931  df-nel 3034  df-ral 3053  df-rex 3054  df-reu 3055  df-rab 3057  df-v 3340  df-sbc 3575  df-csb 3673  df-dif 3716  df-un 3718  df-in 3720  df-ss 3727  df-pss 3729  df-nul 4057  df-if 4229  df-pw 4302  df-sn 4320  df-pr 4322  df-tp 4324  df-op 4326  df-uni 4587  df-iun 4672  df-br 4803  df-opab 4863  df-mpt 4880  df-tr 4903  df-id 5172  df-eprel 5177  df-po 5185  df-so 5186  df-fr 5223  df-we 5225  df-xp 5270  df-rel 5271  df-cnv 5272  df-co 5273  df-dm 5274  df-rn 5275  df-res 5276  df-ima 5277  df-pred 5839  df-ord 5885  df-on 5886  df-lim 5887  df-suc 5888  df-iota 6010  df-fun 6049  df-fn 6050  df-f 6051  df-f1 6052  df-fo 6053  df-f1o 6054  df-fv 6055  df-riota 6772  df-ov 6814  df-oprab 6815  df-mpt2 6816  df-om 7229  df-wrecs 7574  df-recs 7635  df-rdg 7673  df-er 7909  df-map 8023  df-en 8120  df-dom 8121  df-sdom 8122  df-pnf 10266  df-mnf 10267  df-xr 10268  df-ltxr 10269  df-le 10270  df-sub 10458  df-neg 10459  df-nn 11211  df-2 11269  df-ndx 16060  df-slot 16061  df-base 16063  df-sets 16064  df-plusg 16154  df-mgm 17441  df-sgrp 17483  df-mnd 17494  df-grp 17624  df-ghm 17857  df-abl 18394  df-mgp 18688  df-mgmhm 42287  df-rng0 42383  df-rnghomo 42395

This theorem is referenced by:  rnghmsubcsetclem1  42483  rngccatidALTV  42497