MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iexpcyc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iexpcyc 12909
Description: Taking i to the 𝐾-th power is the same as using the 𝐾 mod 4 -th power instead, by i4 12907. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
iexpcyc (𝐾 ∈ ℤ → (i↑(𝐾 mod 4)) = (i↑𝐾))

Proof of Theorem iexpcyc
StepHypRef Expression
1 zre 11325 . . . 4 (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℝ)
2 4re 11041 . . . . 5 4 ∈ ℝ
3 4pos 11060 . . . . 5 0 < 4
42, 3elrpii 11779 . . . 4 4 ∈ ℝ+
5 modval 12610 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℝ+) → (𝐾 mod 4) = (𝐾 − (4 · (⌊‘(𝐾 / 4)))))
61, 4, 5sylancl 693 . . 3 (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 mod 4) = (𝐾 − (4 · (⌊‘(𝐾 / 4)))))
76oveq2d 6620 . 2 (𝐾 ∈ ℤ → (i↑(𝐾 mod 4)) = (i↑(𝐾 − (4 · (⌊‘(𝐾 / 4))))))
8 4z 11355 . . . . 5 4 ∈ ℤ
9 4nn 11131 . . . . . . 7 4 ∈ ℕ
10 nndivre 11000 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℕ) → (𝐾 / 4) ∈ ℝ)
111, 9, 10sylancl 693 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 / 4) ∈ ℝ)
1211flcld 12539 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℤ → (⌊‘(𝐾 / 4)) ∈ ℤ)
13 zmulcl 11370 . . . . 5 ((4 ∈ ℤ ∧ (⌊‘(𝐾 / 4)) ∈ ℤ) → (4 · (⌊‘(𝐾 / 4))) ∈ ℤ)
148, 12, 13sylancr 694 . . . 4 (𝐾 ∈ ℤ → (4 · (⌊‘(𝐾 / 4))) ∈ ℤ)
15 ax-icn 9939 . . . . 5 i ∈ ℂ
16 ine0 10409 . . . . 5 i ≠ 0
17 expsub 12848 . . . . 5 (((i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (4 · (⌊‘(𝐾 / 4))) ∈ ℤ)) → (i↑(𝐾 − (4 · (⌊‘(𝐾 / 4))))) = ((i↑𝐾) / (i↑(4 · (⌊‘(𝐾 / 4))))))
1815, 16, 17mpanl12 717 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (4 · (⌊‘(𝐾 / 4))) ∈ ℤ) → (i↑(𝐾 − (4 · (⌊‘(𝐾 / 4))))) = ((i↑𝐾) / (i↑(4 · (⌊‘(𝐾 / 4))))))
1914, 18mpdan 701 . . 3 (𝐾 ∈ ℤ → (i↑(𝐾 − (4 · (⌊‘(𝐾 / 4))))) = ((i↑𝐾) / (i↑(4 · (⌊‘(𝐾 / 4))))))
20 expmulz 12846 . . . . . . . 8 (((i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0) ∧ (4 ∈ ℤ ∧ (⌊‘(𝐾 / 4)) ∈ ℤ)) → (i↑(4 · (⌊‘(𝐾 / 4)))) = ((i↑4)↑(⌊‘(𝐾 / 4))))
2115, 16, 20mpanl12 717 . . . . . . 7 ((4 ∈ ℤ ∧ (⌊‘(𝐾 / 4)) ∈ ℤ) → (i↑(4 · (⌊‘(𝐾 / 4)))) = ((i↑4)↑(⌊‘(𝐾 / 4))))
228, 12, 21sylancr 694 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℤ → (i↑(4 · (⌊‘(𝐾 / 4)))) = ((i↑4)↑(⌊‘(𝐾 / 4))))
23 i4 12907 . . . . . . . 8 (i↑4) = 1
2423oveq1i 6614 . . . . . . 7 ((i↑4)↑(⌊‘(𝐾 / 4))) = (1↑(⌊‘(𝐾 / 4)))
25 1exp 12829 . . . . . . . 8 ((⌊‘(𝐾 / 4)) ∈ ℤ → (1↑(⌊‘(𝐾 / 4))) = 1)
2612, 25syl 17 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℤ → (1↑(⌊‘(𝐾 / 4))) = 1)
2724, 26syl5eq 2667 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℤ → ((i↑4)↑(⌊‘(𝐾 / 4))) = 1)
2822, 27eqtrd 2655 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℤ → (i↑(4 · (⌊‘(𝐾 / 4)))) = 1)
2928oveq2d 6620 . . . 4 (𝐾 ∈ ℤ → ((i↑𝐾) / (i↑(4 · (⌊‘(𝐾 / 4))))) = ((i↑𝐾) / 1))
30 expclz 12825 . . . . . 6 ((i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (i↑𝐾) ∈ ℂ)
3115, 16, 30mp3an12 1411 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℤ → (i↑𝐾) ∈ ℂ)
3231div1d 10737 . . . 4 (𝐾 ∈ ℤ → ((i↑𝐾) / 1) = (i↑𝐾))
3329, 32eqtrd 2655 . . 3 (𝐾 ∈ ℤ → ((i↑𝐾) / (i↑(4 · (⌊‘(𝐾 / 4))))) = (i↑𝐾))
3419, 33eqtrd 2655 . 2 (𝐾 ∈ ℤ → (i↑(𝐾 − (4 · (⌊‘(𝐾 / 4))))) = (i↑𝐾))
357, 34eqtrd 2655 1 (𝐾 ∈ ℤ → (i↑(𝐾 mod 4)) = (i↑𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  cfv 5847  (class class class)co 6604  cc 9878  cr 9879  0cc0 9880  1c1 9881  ici 9882   · cmul 9885  cmin 10210   / cdiv 10628  cn 10964  4c4 11016  cz 11321  +crp 11776  cfl 12531   mod cmo 12608  cexp 12800
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-sup 8292  df-inf 8293  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-rp 11777  df-fl 12533  df-mod 12609  df-seq 12742  df-exp 12801
This theorem is referenced by:  iblitg  23441
  Copyright terms: Public domain W3C validator