MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ifle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ifle 11971
Description: An if statement transforms an implication into an inequality of terms. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
ifle (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝜑𝜓)) → if(𝜑, 𝐴, 𝐵) ≤ if(𝜓, 𝐴, 𝐵))

Proof of Theorem ifle
StepHypRef Expression
1 simpll1 1098 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝜑𝜓)) ∧ 𝜑) → 𝐴 ∈ ℝ)
21leidd 10538 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝜑𝜓)) ∧ 𝜑) → 𝐴𝐴)
3 iftrue 4064 . . . 4 (𝜑 → if(𝜑, 𝐴, 𝐵) = 𝐴)
43adantl 482 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝜑𝜓)) ∧ 𝜑) → if(𝜑, 𝐴, 𝐵) = 𝐴)
5 id 22 . . . . . 6 ((𝜑𝜓) → (𝜑𝜓))
65imp 445 . . . . 5 (((𝜑𝜓) ∧ 𝜑) → 𝜓)
76adantll 749 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝜑𝜓)) ∧ 𝜑) → 𝜓)
87iftrued 4066 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝜑𝜓)) ∧ 𝜑) → if(𝜓, 𝐴, 𝐵) = 𝐴)
92, 4, 83brtr4d 4645 . 2 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝜑𝜓)) ∧ 𝜑) → if(𝜑, 𝐴, 𝐵) ≤ if(𝜓, 𝐴, 𝐵))
10 iffalse 4067 . . . 4 𝜑 → if(𝜑, 𝐴, 𝐵) = 𝐵)
1110adantl 482 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝜑𝜓)) ∧ ¬ 𝜑) → if(𝜑, 𝐴, 𝐵) = 𝐵)
12 simpll3 1100 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝜑𝜓)) ∧ ¬ 𝜑) → 𝐵𝐴)
13 simpll2 1099 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝜑𝜓)) ∧ ¬ 𝜑) → 𝐵 ∈ ℝ)
1413leidd 10538 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝜑𝜓)) ∧ ¬ 𝜑) → 𝐵𝐵)
15 breq2 4617 . . . . 5 (𝐴 = if(𝜓, 𝐴, 𝐵) → (𝐵𝐴𝐵 ≤ if(𝜓, 𝐴, 𝐵)))
16 breq2 4617 . . . . 5 (𝐵 = if(𝜓, 𝐴, 𝐵) → (𝐵𝐵𝐵 ≤ if(𝜓, 𝐴, 𝐵)))
1715, 16ifboth 4096 . . . 4 ((𝐵𝐴𝐵𝐵) → 𝐵 ≤ if(𝜓, 𝐴, 𝐵))
1812, 14, 17syl2anc 692 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝜑𝜓)) ∧ ¬ 𝜑) → 𝐵 ≤ if(𝜓, 𝐴, 𝐵))
1911, 18eqbrtrd 4635 . 2 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝜑𝜓)) ∧ ¬ 𝜑) → if(𝜑, 𝐴, 𝐵) ≤ if(𝜓, 𝐴, 𝐵))
209, 19pm2.61dan 831 1 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝜑𝜓)) → if(𝜑, 𝐴, 𝐵) ≤ if(𝜓, 𝐴, 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  ifcif 4058   class class class wbr 4613  cr 9879  cle 10019
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-resscn 9937  ax-pre-lttri 9954
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024
This theorem is referenced by:  rpnnen2lem4  14871  itg2cnlem2  23435
  Copyright terms: Public domain W3C validator