MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ig1pcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ig1pcl 24696
Description: The monic generator of an ideal is always in the ideal. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.) (Proof shortened by AV, 25-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ig1pval.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
ig1pval.g 𝐺 = (idlGen1p𝑅)
ig1pcl.u 𝑈 = (LIdeal‘𝑃)
Assertion
Ref Expression
ig1pcl ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈) → (𝐺𝐼) ∈ 𝐼)

Proof of Theorem ig1pcl
StepHypRef Expression
1 fveq2 6663 . . 3 (𝐼 = {(0g𝑃)} → (𝐺𝐼) = (𝐺‘{(0g𝑃)}))
2 id 22 . . 3 (𝐼 = {(0g𝑃)} → 𝐼 = {(0g𝑃)})
31, 2eleq12d 2904 . 2 (𝐼 = {(0g𝑃)} → ((𝐺𝐼) ∈ 𝐼 ↔ (𝐺‘{(0g𝑃)}) ∈ {(0g𝑃)}))
4 ig1pval.p . . . . 5 𝑃 = (Poly1𝑅)
5 ig1pval.g . . . . 5 𝐺 = (idlGen1p𝑅)
6 eqid 2818 . . . . 5 (0g𝑃) = (0g𝑃)
7 ig1pcl.u . . . . 5 𝑈 = (LIdeal‘𝑃)
8 eqid 2818 . . . . 5 ( deg1𝑅) = ( deg1𝑅)
9 eqid 2818 . . . . 5 (Monic1p𝑅) = (Monic1p𝑅)
104, 5, 6, 7, 8, 9ig1pval3 24695 . . . 4 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → ((𝐺𝐼) ∈ 𝐼 ∧ (𝐺𝐼) ∈ (Monic1p𝑅) ∧ (( deg1𝑅)‘(𝐺𝐼)) = inf((( deg1𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)})), ℝ, < )))
1110simp1d 1134 . . 3 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → (𝐺𝐼) ∈ 𝐼)
12113expa 1110 . 2 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → (𝐺𝐼) ∈ 𝐼)
13 drngring 19438 . . . . 5 (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
144, 5, 6ig1pval2 24694 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → (𝐺‘{(0g𝑃)}) = (0g𝑃))
1513, 14syl 17 . . . 4 (𝑅 ∈ DivRing → (𝐺‘{(0g𝑃)}) = (0g𝑃))
16 fvex 6676 . . . . 5 (𝐺‘{(0g𝑃)}) ∈ V
1716elsn 4572 . . . 4 ((𝐺‘{(0g𝑃)}) ∈ {(0g𝑃)} ↔ (𝐺‘{(0g𝑃)}) = (0g𝑃))
1815, 17sylibr 235 . . 3 (𝑅 ∈ DivRing → (𝐺‘{(0g𝑃)}) ∈ {(0g𝑃)})
1918adantr 481 . 2 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈) → (𝐺‘{(0g𝑃)}) ∈ {(0g𝑃)})
203, 12, 19pm2.61ne 3099 1 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈) → (𝐺𝐼) ∈ 𝐼)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  cdif 3930  {csn 4557  cima 5551  cfv 6348  infcinf 8893  cr 10524   < clt 10663  0gc0g 16701  Ringcrg 19226  DivRingcdr 19431  LIdealclidl 19871  Poly1cpl1 20273   deg1 cdg1 24575  Monic1pcmn1 24646  idlGen1pcig1p 24650
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603  ax-addf 10604  ax-mulf 10605
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7398  df-ofr 7399  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-supp 7820  df-tpos 7881  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-2o 8092  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-pm 8398  df-ixp 8450  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-fsupp 8822  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-seq 13358  df-hash 13679  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-starv 16568  df-sca 16569  df-vsca 16570  df-ip 16571  df-tset 16572  df-ple 16573  df-ds 16575  df-unif 16576  df-0g 16703  df-gsum 16704  df-mre 16845  df-mrc 16846  df-acs 16848  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-mhm 17944  df-submnd 17945  df-grp 18044  df-minusg 18045  df-sbg 18046  df-mulg 18163  df-subg 18214  df-ghm 18294  df-cntz 18385  df-cmn 18837  df-abl 18838  df-mgp 19169  df-ur 19181  df-ring 19228  df-cring 19229  df-oppr 19302  df-dvdsr 19320  df-unit 19321  df-invr 19351  df-drng 19433  df-subrg 19462  df-lmod 19565  df-lss 19633  df-sra 19873  df-rgmod 19874  df-lidl 19875  df-rlreg 19984  df-ascl 20015  df-psr 20064  df-mvr 20065  df-mpl 20066  df-opsr 20068  df-psr1 20276  df-vr1 20277  df-ply1 20278  df-coe1 20279  df-cnfld 20474  df-mdeg 24576  df-deg1 24577  df-mon1 24651  df-uc1p 24652  df-ig1p 24655
This theorem is referenced by:  ig1pdvds  24697  ig1prsp  24698  ply1lpir  24699
  Copyright terms: Public domain W3C validator