MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ig1peu Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ig1peu 24130
Description: There is a unique monic polynomial of minimal degree in any nonzero ideal. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.) (Revised by AV, 25-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ig1peu.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
ig1peu.u 𝑈 = (LIdeal‘𝑃)
ig1peu.z 0 = (0g𝑃)
ig1peu.m 𝑀 = (Monic1p𝑅)
ig1peu.d 𝐷 = ( deg1𝑅)
Assertion
Ref Expression
ig1peu ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) → ∃!𝑔 ∈ (𝐼𝑀)(𝐷𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ))
Distinct variable groups:   𝐷,𝑔   𝑔,𝐼   𝑔,𝑀   𝑃,𝑔   𝑅,𝑔   𝑈,𝑔   0 ,𝑔

Proof of Theorem ig1peu
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2760 . . . . . . . . . . 11 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
2 ig1peu.u . . . . . . . . . . 11 𝑈 = (LIdeal‘𝑃)
31, 2lidlss 19412 . . . . . . . . . 10 (𝐼𝑈𝐼 ⊆ (Base‘𝑃))
433ad2ant2 1129 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) → 𝐼 ⊆ (Base‘𝑃))
54ssdifd 3889 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) → (𝐼 ∖ { 0 }) ⊆ ((Base‘𝑃) ∖ { 0 }))
6 imass2 5659 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∖ { 0 }) ⊆ ((Base‘𝑃) ∖ { 0 }) → (𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })) ⊆ (𝐷 “ ((Base‘𝑃) ∖ { 0 })))
75, 6syl 17 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) → (𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })) ⊆ (𝐷 “ ((Base‘𝑃) ∖ { 0 })))
8 drngring 18956 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
983ad2ant1 1128 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) → 𝑅 ∈ Ring)
10 ig1peu.d . . . . . . . . 9 𝐷 = ( deg1𝑅)
11 ig1peu.p . . . . . . . . 9 𝑃 = (Poly1𝑅)
12 ig1peu.z . . . . . . . . 9 0 = (0g𝑃)
1310, 11, 12, 1deg1n0ima 24048 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → (𝐷 “ ((Base‘𝑃) ∖ { 0 })) ⊆ ℕ0)
149, 13syl 17 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) → (𝐷 “ ((Base‘𝑃) ∖ { 0 })) ⊆ ℕ0)
157, 14sstrd 3754 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) → (𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })) ⊆ ℕ0)
16 nn0uz 11915 . . . . . 6 0 = (ℤ‘0)
1715, 16syl6sseq 3792 . . . . 5 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) → (𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })) ⊆ (ℤ‘0))
1811ply1ring 19820 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
199, 18syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) → 𝑃 ∈ Ring)
20 simp2 1132 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) → 𝐼𝑈)
212, 12lidl0cl 19414 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈) → 0𝐼)
2219, 20, 21syl2anc 696 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) → 0𝐼)
2322snssd 4485 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) → { 0 } ⊆ 𝐼)
24 simp3 1133 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) → 𝐼 ≠ { 0 })
2524necomd 2987 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) → { 0 } ≠ 𝐼)
26 pssdifn0 4087 . . . . . . 7 (({ 0 } ⊆ 𝐼 ∧ { 0 } ≠ 𝐼) → (𝐼 ∖ { 0 }) ≠ ∅)
2723, 25, 26syl2anc 696 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) → (𝐼 ∖ { 0 }) ≠ ∅)
2810, 11, 1deg1xrf 24040 . . . . . . . . . 10 𝐷:(Base‘𝑃)⟶ℝ*
29 ffn 6206 . . . . . . . . . 10 (𝐷:(Base‘𝑃)⟶ℝ*𝐷 Fn (Base‘𝑃))
3028, 29ax-mp 5 . . . . . . . . 9 𝐷 Fn (Base‘𝑃)
3130a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) → 𝐷 Fn (Base‘𝑃))
324ssdifssd 3891 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) → (𝐼 ∖ { 0 }) ⊆ (Base‘𝑃))
33 fnimaeq0 6174 . . . . . . . 8 ((𝐷 Fn (Base‘𝑃) ∧ (𝐼 ∖ { 0 }) ⊆ (Base‘𝑃)) → ((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })) = ∅ ↔ (𝐼 ∖ { 0 }) = ∅))
3431, 32, 33syl2anc 696 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) → ((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })) = ∅ ↔ (𝐼 ∖ { 0 }) = ∅))
3534necon3bid 2976 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) → ((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })) ≠ ∅ ↔ (𝐼 ∖ { 0 }) ≠ ∅))
3627, 35mpbird 247 . . . . 5 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) → (𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })) ≠ ∅)
37 infssuzcl 11965 . . . . 5 (((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })) ⊆ (ℤ‘0) ∧ (𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })) ≠ ∅) → inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) ∈ (𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })))
3817, 36, 37syl2anc 696 . . . 4 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) → inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) ∈ (𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })))
39 fvelimab 6415 . . . . 5 ((𝐷 Fn (Base‘𝑃) ∧ (𝐼 ∖ { 0 }) ⊆ (Base‘𝑃)) → (inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) ∈ (𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })) ↔ ∃ ∈ (𝐼 ∖ { 0 })(𝐷) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )))
4031, 32, 39syl2anc 696 . . . 4 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) → (inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) ∈ (𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })) ↔ ∃ ∈ (𝐼 ∖ { 0 })(𝐷) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )))
4138, 40mpbid 222 . . 3 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) → ∃ ∈ (𝐼 ∖ { 0 })(𝐷) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ))
4219adantr 472 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) ∧ ∈ (𝐼 ∖ { 0 })) → 𝑃 ∈ Ring)
43 simpl2 1230 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) ∧ ∈ (𝐼 ∖ { 0 })) → 𝐼𝑈)
449adantr 472 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) ∧ ∈ (𝐼 ∖ { 0 })) → 𝑅 ∈ Ring)
45 eqid 2760 . . . . . . . . . . 11 (algSc‘𝑃) = (algSc‘𝑃)
46 eqid 2760 . . . . . . . . . . 11 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
4711, 45, 46, 1ply1sclf 19857 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Ring → (algSc‘𝑃):(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑃))
4844, 47syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) ∧ ∈ (𝐼 ∖ { 0 })) → (algSc‘𝑃):(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑃))
49 simpl1 1228 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) ∧ ∈ (𝐼 ∖ { 0 })) → 𝑅 ∈ DivRing)
5032sselda 3744 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) ∧ ∈ (𝐼 ∖ { 0 })) → ∈ (Base‘𝑃))
51 eldifsni 4466 . . . . . . . . . . . . . 14 ( ∈ (𝐼 ∖ { 0 }) → 0 )
5251adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) ∧ ∈ (𝐼 ∖ { 0 })) → 0 )
53 eqid 2760 . . . . . . . . . . . . . 14 (Unic1p𝑅) = (Unic1p𝑅)
5411, 1, 12, 53drnguc1p 24129 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ ∈ (Base‘𝑃) ∧ 0 ) → ∈ (Unic1p𝑅))
5549, 50, 52, 54syl3anc 1477 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) ∧ ∈ (𝐼 ∖ { 0 })) → ∈ (Unic1p𝑅))
56 eqid 2760 . . . . . . . . . . . . 13 (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
5710, 56, 53uc1pldg 24107 . . . . . . . . . . . 12 ( ∈ (Unic1p𝑅) → ((coe1)‘(𝐷)) ∈ (Unit‘𝑅))
5855, 57syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) ∧ ∈ (𝐼 ∖ { 0 })) → ((coe1)‘(𝐷)) ∈ (Unit‘𝑅))
59 eqid 2760 . . . . . . . . . . . 12 (invr𝑅) = (invr𝑅)
6056, 59unitinvcl 18874 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((coe1)‘(𝐷)) ∈ (Unit‘𝑅)) → ((invr𝑅)‘((coe1)‘(𝐷))) ∈ (Unit‘𝑅))
6144, 58, 60syl2anc 696 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) ∧ ∈ (𝐼 ∖ { 0 })) → ((invr𝑅)‘((coe1)‘(𝐷))) ∈ (Unit‘𝑅))
6246, 56unitcl 18859 . . . . . . . . . 10 (((invr𝑅)‘((coe1)‘(𝐷))) ∈ (Unit‘𝑅) → ((invr𝑅)‘((coe1)‘(𝐷))) ∈ (Base‘𝑅))
6361, 62syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) ∧ ∈ (𝐼 ∖ { 0 })) → ((invr𝑅)‘((coe1)‘(𝐷))) ∈ (Base‘𝑅))
6448, 63ffvelrnd 6523 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) ∧ ∈ (𝐼 ∖ { 0 })) → ((algSc‘𝑃)‘((invr𝑅)‘((coe1)‘(𝐷)))) ∈ (Base‘𝑃))
65 eldifi 3875 . . . . . . . . 9 ( ∈ (𝐼 ∖ { 0 }) → 𝐼)
6665adantl 473 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) ∧ ∈ (𝐼 ∖ { 0 })) → 𝐼)
67 eqid 2760 . . . . . . . . 9 (.r𝑃) = (.r𝑃)
682, 1, 67lidlmcl 19419 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈) ∧ (((algSc‘𝑃)‘((invr𝑅)‘((coe1)‘(𝐷)))) ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝐼)) → (((algSc‘𝑃)‘((invr𝑅)‘((coe1)‘(𝐷))))(.r𝑃)) ∈ 𝐼)
6942, 43, 64, 66, 68syl22anc 1478 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) ∧ ∈ (𝐼 ∖ { 0 })) → (((algSc‘𝑃)‘((invr𝑅)‘((coe1)‘(𝐷))))(.r𝑃)) ∈ 𝐼)
70 ig1peu.m . . . . . . . . 9 𝑀 = (Monic1p𝑅)
7153, 70, 11, 67, 45, 10, 59uc1pmon1p 24110 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ∈ (Unic1p𝑅)) → (((algSc‘𝑃)‘((invr𝑅)‘((coe1)‘(𝐷))))(.r𝑃)) ∈ 𝑀)
7244, 55, 71syl2anc 696 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) ∧ ∈ (𝐼 ∖ { 0 })) → (((algSc‘𝑃)‘((invr𝑅)‘((coe1)‘(𝐷))))(.r𝑃)) ∈ 𝑀)
7369, 72elind 3941 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) ∧ ∈ (𝐼 ∖ { 0 })) → (((algSc‘𝑃)‘((invr𝑅)‘((coe1)‘(𝐷))))(.r𝑃)) ∈ (𝐼𝑀))
74 eqid 2760 . . . . . . . . . 10 (RLReg‘𝑅) = (RLReg‘𝑅)
7574, 56unitrrg 19495 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring → (Unit‘𝑅) ⊆ (RLReg‘𝑅))
7644, 75syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) ∧ ∈ (𝐼 ∖ { 0 })) → (Unit‘𝑅) ⊆ (RLReg‘𝑅))
7776, 61sseldd 3745 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) ∧ ∈ (𝐼 ∖ { 0 })) → ((invr𝑅)‘((coe1)‘(𝐷))) ∈ (RLReg‘𝑅))
7810, 11, 74, 1, 67, 45deg1mul3 24074 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((invr𝑅)‘((coe1)‘(𝐷))) ∈ (RLReg‘𝑅) ∧ ∈ (Base‘𝑃)) → (𝐷‘(((algSc‘𝑃)‘((invr𝑅)‘((coe1)‘(𝐷))))(.r𝑃))) = (𝐷))
7944, 77, 50, 78syl3anc 1477 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) ∧ ∈ (𝐼 ∖ { 0 })) → (𝐷‘(((algSc‘𝑃)‘((invr𝑅)‘((coe1)‘(𝐷))))(.r𝑃))) = (𝐷))
80 fveq2 6352 . . . . . . . 8 (𝑔 = (((algSc‘𝑃)‘((invr𝑅)‘((coe1)‘(𝐷))))(.r𝑃)) → (𝐷𝑔) = (𝐷‘(((algSc‘𝑃)‘((invr𝑅)‘((coe1)‘(𝐷))))(.r𝑃))))
8180eqeq1d 2762 . . . . . . 7 (𝑔 = (((algSc‘𝑃)‘((invr𝑅)‘((coe1)‘(𝐷))))(.r𝑃)) → ((𝐷𝑔) = (𝐷) ↔ (𝐷‘(((algSc‘𝑃)‘((invr𝑅)‘((coe1)‘(𝐷))))(.r𝑃))) = (𝐷)))
8281rspcev 3449 . . . . . 6 (((((algSc‘𝑃)‘((invr𝑅)‘((coe1)‘(𝐷))))(.r𝑃)) ∈ (𝐼𝑀) ∧ (𝐷‘(((algSc‘𝑃)‘((invr𝑅)‘((coe1)‘(𝐷))))(.r𝑃))) = (𝐷)) → ∃𝑔 ∈ (𝐼𝑀)(𝐷𝑔) = (𝐷))
8373, 79, 82syl2anc 696 . . . . 5 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) ∧ ∈ (𝐼 ∖ { 0 })) → ∃𝑔 ∈ (𝐼𝑀)(𝐷𝑔) = (𝐷))
84 eqeq2 2771 . . . . . 6 ((𝐷) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) → ((𝐷𝑔) = (𝐷) ↔ (𝐷𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )))
8584rexbidv 3190 . . . . 5 ((𝐷) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) → (∃𝑔 ∈ (𝐼𝑀)(𝐷𝑔) = (𝐷) ↔ ∃𝑔 ∈ (𝐼𝑀)(𝐷𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )))
8683, 85syl5ibcom 235 . . . 4 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) ∧ ∈ (𝐼 ∖ { 0 })) → ((𝐷) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) → ∃𝑔 ∈ (𝐼𝑀)(𝐷𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )))
8786rexlimdva 3169 . . 3 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) → (∃ ∈ (𝐼 ∖ { 0 })(𝐷) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) → ∃𝑔 ∈ (𝐼𝑀)(𝐷𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )))
8841, 87mpd 15 . 2 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) → ∃𝑔 ∈ (𝐼𝑀)(𝐷𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ))
89 eqid 2760 . . . . . . 7 (-g𝑃) = (-g𝑃)
909ad2antrr 764 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼𝑀) ∧ ∈ (𝐼𝑀))) ∧ ((𝐷𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) ∧ (𝐷) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ))) → 𝑅 ∈ Ring)
91 inss2 3977 . . . . . . . . 9 (𝐼𝑀) ⊆ 𝑀
92 simprl 811 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼𝑀) ∧ ∈ (𝐼𝑀))) → 𝑔 ∈ (𝐼𝑀))
9391, 92sseldi 3742 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼𝑀) ∧ ∈ (𝐼𝑀))) → 𝑔𝑀)
9493adantr 472 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼𝑀) ∧ ∈ (𝐼𝑀))) ∧ ((𝐷𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) ∧ (𝐷) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ))) → 𝑔𝑀)
95 simprl 811 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼𝑀) ∧ ∈ (𝐼𝑀))) ∧ ((𝐷𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) ∧ (𝐷) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ))) → (𝐷𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ))
96 simprr 813 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼𝑀) ∧ ∈ (𝐼𝑀))) → ∈ (𝐼𝑀))
9791, 96sseldi 3742 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼𝑀) ∧ ∈ (𝐼𝑀))) → 𝑀)
9897adantr 472 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼𝑀) ∧ ∈ (𝐼𝑀))) ∧ ((𝐷𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) ∧ (𝐷) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ))) → 𝑀)
99 simprr 813 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼𝑀) ∧ ∈ (𝐼𝑀))) ∧ ((𝐷𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) ∧ (𝐷) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ))) → (𝐷) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ))
10010, 70, 11, 89, 90, 94, 95, 98, 99deg1submon1p 24111 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼𝑀) ∧ ∈ (𝐼𝑀))) ∧ ((𝐷𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) ∧ (𝐷) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ))) → (𝐷‘(𝑔(-g𝑃))) < inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ))
101100ex 449 . . . . 5 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼𝑀) ∧ ∈ (𝐼𝑀))) → (((𝐷𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) ∧ (𝐷) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )) → (𝐷‘(𝑔(-g𝑃))) < inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )))
10217ad2antrr 764 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼𝑀) ∧ ∈ (𝐼𝑀))) ∧ (𝑔(-g𝑃)) ≠ 0 ) → (𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })) ⊆ (ℤ‘0))
10330a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼𝑀) ∧ ∈ (𝐼𝑀))) ∧ (𝑔(-g𝑃)) ≠ 0 ) → 𝐷 Fn (Base‘𝑃))
10432ad2antrr 764 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼𝑀) ∧ ∈ (𝐼𝑀))) ∧ (𝑔(-g𝑃)) ≠ 0 ) → (𝐼 ∖ { 0 }) ⊆ (Base‘𝑃))
10519adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼𝑀) ∧ ∈ (𝐼𝑀))) → 𝑃 ∈ Ring)
106 simpl2 1230 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼𝑀) ∧ ∈ (𝐼𝑀))) → 𝐼𝑈)
107 inss1 3976 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐼𝑀) ⊆ 𝐼
108107, 92sseldi 3742 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼𝑀) ∧ ∈ (𝐼𝑀))) → 𝑔𝐼)
109107, 96sseldi 3742 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼𝑀) ∧ ∈ (𝐼𝑀))) → 𝐼)
1102, 89lidlsubcl 19418 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈) ∧ (𝑔𝐼𝐼)) → (𝑔(-g𝑃)) ∈ 𝐼)
111105, 106, 108, 109, 110syl22anc 1478 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼𝑀) ∧ ∈ (𝐼𝑀))) → (𝑔(-g𝑃)) ∈ 𝐼)
112111adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼𝑀) ∧ ∈ (𝐼𝑀))) ∧ (𝑔(-g𝑃)) ≠ 0 ) → (𝑔(-g𝑃)) ∈ 𝐼)
113 simpr 479 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼𝑀) ∧ ∈ (𝐼𝑀))) ∧ (𝑔(-g𝑃)) ≠ 0 ) → (𝑔(-g𝑃)) ≠ 0 )
114 eldifsn 4462 . . . . . . . . . . 11 ((𝑔(-g𝑃)) ∈ (𝐼 ∖ { 0 }) ↔ ((𝑔(-g𝑃)) ∈ 𝐼 ∧ (𝑔(-g𝑃)) ≠ 0 ))
115112, 113, 114sylanbrc 701 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼𝑀) ∧ ∈ (𝐼𝑀))) ∧ (𝑔(-g𝑃)) ≠ 0 ) → (𝑔(-g𝑃)) ∈ (𝐼 ∖ { 0 }))
116 fnfvima 6659 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 Fn (Base‘𝑃) ∧ (𝐼 ∖ { 0 }) ⊆ (Base‘𝑃) ∧ (𝑔(-g𝑃)) ∈ (𝐼 ∖ { 0 })) → (𝐷‘(𝑔(-g𝑃))) ∈ (𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })))
117103, 104, 115, 116syl3anc 1477 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼𝑀) ∧ ∈ (𝐼𝑀))) ∧ (𝑔(-g𝑃)) ≠ 0 ) → (𝐷‘(𝑔(-g𝑃))) ∈ (𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })))
118 infssuzle 11964 . . . . . . . . 9 (((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })) ⊆ (ℤ‘0) ∧ (𝐷‘(𝑔(-g𝑃))) ∈ (𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 }))) → inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) ≤ (𝐷‘(𝑔(-g𝑃))))
119102, 117, 118syl2anc 696 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼𝑀) ∧ ∈ (𝐼𝑀))) ∧ (𝑔(-g𝑃)) ≠ 0 ) → inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) ≤ (𝐷‘(𝑔(-g𝑃))))
120119ex 449 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼𝑀) ∧ ∈ (𝐼𝑀))) → ((𝑔(-g𝑃)) ≠ 0 → inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) ≤ (𝐷‘(𝑔(-g𝑃)))))
121 imassrn 5635 . . . . . . . . . . 11 (𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })) ⊆ ran 𝐷
122 frn 6214 . . . . . . . . . . . 12 (𝐷:(Base‘𝑃)⟶ℝ* → ran 𝐷 ⊆ ℝ*)
12328, 122ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 ran 𝐷 ⊆ ℝ*
124121, 123sstri 3753 . . . . . . . . . 10 (𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })) ⊆ ℝ*
125124, 38sseldi 3742 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) → inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) ∈ ℝ*)
126125adantr 472 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼𝑀) ∧ ∈ (𝐼𝑀))) → inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) ∈ ℝ*)
127 ringgrp 18752 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Grp)
12819, 127syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) → 𝑃 ∈ Grp)
129128adantr 472 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼𝑀) ∧ ∈ (𝐼𝑀))) → 𝑃 ∈ Grp)
130107, 4syl5ss 3755 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) → (𝐼𝑀) ⊆ (Base‘𝑃))
131130adantr 472 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼𝑀) ∧ ∈ (𝐼𝑀))) → (𝐼𝑀) ⊆ (Base‘𝑃))
132131, 92sseldd 3745 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼𝑀) ∧ ∈ (𝐼𝑀))) → 𝑔 ∈ (Base‘𝑃))
133131, 96sseldd 3745 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼𝑀) ∧ ∈ (𝐼𝑀))) → ∈ (Base‘𝑃))
1341, 89grpsubcl 17696 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝑔 ∈ (Base‘𝑃) ∧ ∈ (Base‘𝑃)) → (𝑔(-g𝑃)) ∈ (Base‘𝑃))
135129, 132, 133, 134syl3anc 1477 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼𝑀) ∧ ∈ (𝐼𝑀))) → (𝑔(-g𝑃)) ∈ (Base‘𝑃))
13610, 11, 1deg1xrcl 24041 . . . . . . . . 9 ((𝑔(-g𝑃)) ∈ (Base‘𝑃) → (𝐷‘(𝑔(-g𝑃))) ∈ ℝ*)
137135, 136syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼𝑀) ∧ ∈ (𝐼𝑀))) → (𝐷‘(𝑔(-g𝑃))) ∈ ℝ*)
138 xrlenlt 10295 . . . . . . . 8 ((inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) ∈ ℝ* ∧ (𝐷‘(𝑔(-g𝑃))) ∈ ℝ*) → (inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) ≤ (𝐷‘(𝑔(-g𝑃))) ↔ ¬ (𝐷‘(𝑔(-g𝑃))) < inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )))
139126, 137, 138syl2anc 696 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼𝑀) ∧ ∈ (𝐼𝑀))) → (inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) ≤ (𝐷‘(𝑔(-g𝑃))) ↔ ¬ (𝐷‘(𝑔(-g𝑃))) < inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )))
140120, 139sylibd 229 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼𝑀) ∧ ∈ (𝐼𝑀))) → ((𝑔(-g𝑃)) ≠ 0 → ¬ (𝐷‘(𝑔(-g𝑃))) < inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )))
141140necon4ad 2951 . . . . 5 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼𝑀) ∧ ∈ (𝐼𝑀))) → ((𝐷‘(𝑔(-g𝑃))) < inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) → (𝑔(-g𝑃)) = 0 ))
142101, 141syld 47 . . . 4 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼𝑀) ∧ ∈ (𝐼𝑀))) → (((𝐷𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) ∧ (𝐷) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )) → (𝑔(-g𝑃)) = 0 ))
1431, 12, 89grpsubeq0 17702 . . . . 5 ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝑔 ∈ (Base‘𝑃) ∧ ∈ (Base‘𝑃)) → ((𝑔(-g𝑃)) = 0𝑔 = ))
144129, 132, 133, 143syl3anc 1477 . . . 4 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼𝑀) ∧ ∈ (𝐼𝑀))) → ((𝑔(-g𝑃)) = 0𝑔 = ))
145142, 144sylibd 229 . . 3 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼𝑀) ∧ ∈ (𝐼𝑀))) → (((𝐷𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) ∧ (𝐷) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )) → 𝑔 = ))
146145ralrimivva 3109 . 2 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) → ∀𝑔 ∈ (𝐼𝑀)∀ ∈ (𝐼𝑀)(((𝐷𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) ∧ (𝐷) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )) → 𝑔 = ))
147 fveq2 6352 . . . 4 (𝑔 = → (𝐷𝑔) = (𝐷))
148147eqeq1d 2762 . . 3 (𝑔 = → ((𝐷𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) ↔ (𝐷) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )))
149148reu4 3541 . 2 (∃!𝑔 ∈ (𝐼𝑀)(𝐷𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) ↔ (∃𝑔 ∈ (𝐼𝑀)(𝐷𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) ∧ ∀𝑔 ∈ (𝐼𝑀)∀ ∈ (𝐼𝑀)(((𝐷𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) ∧ (𝐷) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )) → 𝑔 = )))
15088, 146, 149sylanbrc 701 1 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) → ∃!𝑔 ∈ (𝐼𝑀)(𝐷𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  wral 3050  wrex 3051  ∃!wreu 3052  cdif 3712  cin 3714  wss 3715  c0 4058  {csn 4321   class class class wbr 4804  ran crn 5267  cima 5269   Fn wfn 6044  wf 6045  cfv 6049  (class class class)co 6813  infcinf 8512  cr 10127  0cc0 10128  *cxr 10265   < clt 10266  cle 10267  0cn0 11484  cuz 11879  Basecbs 16059  .rcmulr 16144  0gc0g 16302  Grpcgrp 17623  -gcsg 17625  Ringcrg 18747  Unitcui 18839  invrcinvr 18871  DivRingcdr 18949  LIdealclidl 19372  RLRegcrlreg 19481  algSccascl 19513  Poly1cpl1 19749  coe1cco1 19750   deg1 cdg1 24013  Monic1pcmn1 24084  Unic1pcuc1p 24085
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206  ax-addf 10207  ax-mulf 10208
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-of 7062  df-ofr 7063  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-supp 7464  df-tpos 7521  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-2o 7730  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-pm 8026  df-ixp 8075  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-fsupp 8441  df-sup 8513  df-inf 8514  df-oi 8580  df-card 8955  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-7 11276  df-8 11277  df-9 11278  df-n0 11485  df-z 11570  df-dec 11686  df-uz 11880  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-seq 12996  df-hash 13312  df-struct 16061  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-ress 16067  df-plusg 16156  df-mulr 16157  df-starv 16158  df-sca 16159  df-vsca 16160  df-ip 16161  df-tset 16162  df-ple 16163  df-ds 16166  df-unif 16167  df-0g 16304  df-gsum 16305  df-mre 16448  df-mrc 16449  df-acs 16451  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-mhm 17536  df-submnd 17537  df-grp 17626  df-minusg 17627  df-sbg 17628  df-mulg 17742  df-subg 17792  df-ghm 17859  df-cntz 17950  df-cmn 18395  df-abl 18396  df-mgp 18690  df-ur 18702  df-ring 18749  df-cring 18750  df-oppr 18823  df-dvdsr 18841  df-unit 18842  df-invr 18872  df-drng 18951  df-subrg 18980  df-lmod 19067  df-lss 19135  df-sra 19374  df-rgmod 19375  df-lidl 19376  df-rlreg 19485  df-ascl 19516  df-psr 19558  df-mvr 19559  df-mpl 19560  df-opsr 19562  df-psr1 19752  df-vr1 19753  df-ply1 19754  df-coe1 19755  df-cnfld 19949  df-mdeg 24014  df-deg1 24015  df-mon1 24089  df-uc1p 24090
This theorem is referenced by:  ig1pval3  24133
  Copyright terms: Public domain W3C validator