Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ig1pval3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ig1pval3 23915
 Description: Characterizing properties of the monic generator of a nonzero ideal of polynomials. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.) (Revised by AV, 25-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ig1pval.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
ig1pval.g 𝐺 = (idlGen1p𝑅)
ig1pval3.z 0 = (0g𝑃)
ig1pval3.u 𝑈 = (LIdeal‘𝑃)
ig1pval3.d 𝐷 = ( deg1𝑅)
ig1pval3.m 𝑀 = (Monic1p𝑅)
Assertion
Ref Expression
ig1pval3 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) → ((𝐺𝐼) ∈ 𝐼 ∧ (𝐺𝐼) ∈ 𝑀 ∧ (𝐷‘(𝐺𝐼)) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )))

Proof of Theorem ig1pval3
Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ig1pval.p . . . . . 6 𝑃 = (Poly1𝑅)
2 ig1pval.g . . . . . 6 𝐺 = (idlGen1p𝑅)
3 ig1pval3.z . . . . . 6 0 = (0g𝑃)
4 ig1pval3.u . . . . . 6 𝑈 = (LIdeal‘𝑃)
5 ig1pval3.d . . . . . 6 𝐷 = ( deg1𝑅)
6 ig1pval3.m . . . . . 6 𝑀 = (Monic1p𝑅)
71, 2, 3, 4, 5, 6ig1pval 23913 . . . . 5 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈) → (𝐺𝐼) = if(𝐼 = { 0 }, 0 , (𝑔 ∈ (𝐼𝑀)(𝐷𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ))))
873adant3 1079 . . . 4 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) → (𝐺𝐼) = if(𝐼 = { 0 }, 0 , (𝑔 ∈ (𝐼𝑀)(𝐷𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ))))
9 simp3 1061 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) → 𝐼 ≠ { 0 })
109neneqd 2796 . . . . 5 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) → ¬ 𝐼 = { 0 })
1110iffalsed 4088 . . . 4 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) → if(𝐼 = { 0 }, 0 , (𝑔 ∈ (𝐼𝑀)(𝐷𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ))) = (𝑔 ∈ (𝐼𝑀)(𝐷𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )))
128, 11eqtrd 2654 . . 3 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) → (𝐺𝐼) = (𝑔 ∈ (𝐼𝑀)(𝐷𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )))
131, 4, 3, 6, 5ig1peu 23912 . . . 4 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) → ∃!𝑔 ∈ (𝐼𝑀)(𝐷𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ))
14 riotacl2 6609 . . . 4 (∃!𝑔 ∈ (𝐼𝑀)(𝐷𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) → (𝑔 ∈ (𝐼𝑀)(𝐷𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )) ∈ {𝑔 ∈ (𝐼𝑀) ∣ (𝐷𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )})
1513, 14syl 17 . . 3 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) → (𝑔 ∈ (𝐼𝑀)(𝐷𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )) ∈ {𝑔 ∈ (𝐼𝑀) ∣ (𝐷𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )})
1612, 15eqeltrd 2699 . 2 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) → (𝐺𝐼) ∈ {𝑔 ∈ (𝐼𝑀) ∣ (𝐷𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )})
17 elin 3788 . . . 4 ((𝐺𝐼) ∈ (𝐼𝑀) ↔ ((𝐺𝐼) ∈ 𝐼 ∧ (𝐺𝐼) ∈ 𝑀))
1817anbi1i 730 . . 3 (((𝐺𝐼) ∈ (𝐼𝑀) ∧ (𝐷‘(𝐺𝐼)) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )) ↔ (((𝐺𝐼) ∈ 𝐼 ∧ (𝐺𝐼) ∈ 𝑀) ∧ (𝐷‘(𝐺𝐼)) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )))
19 fveq2 6178 . . . . 5 (𝑔 = (𝐺𝐼) → (𝐷𝑔) = (𝐷‘(𝐺𝐼)))
2019eqeq1d 2622 . . . 4 (𝑔 = (𝐺𝐼) → ((𝐷𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) ↔ (𝐷‘(𝐺𝐼)) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )))
2120elrab 3357 . . 3 ((𝐺𝐼) ∈ {𝑔 ∈ (𝐼𝑀) ∣ (𝐷𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )} ↔ ((𝐺𝐼) ∈ (𝐼𝑀) ∧ (𝐷‘(𝐺𝐼)) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )))
22 df-3an 1038 . . 3 (((𝐺𝐼) ∈ 𝐼 ∧ (𝐺𝐼) ∈ 𝑀 ∧ (𝐷‘(𝐺𝐼)) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )) ↔ (((𝐺𝐼) ∈ 𝐼 ∧ (𝐺𝐼) ∈ 𝑀) ∧ (𝐷‘(𝐺𝐼)) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )))
2318, 21, 223bitr4i 292 . 2 ((𝐺𝐼) ∈ {𝑔 ∈ (𝐼𝑀) ∣ (𝐷𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )} ↔ ((𝐺𝐼) ∈ 𝐼 ∧ (𝐺𝐼) ∈ 𝑀 ∧ (𝐷‘(𝐺𝐼)) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )))
2416, 23sylib 208 1 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) → ((𝐺𝐼) ∈ 𝐼 ∧ (𝐺𝐼) ∈ 𝑀 ∧ (𝐷‘(𝐺𝐼)) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   ∧ w3a 1036   = wceq 1481   ∈ wcel 1988   ≠ wne 2791  ∃!wreu 2911  {crab 2913   ∖ cdif 3564   ∩ cin 3566  ifcif 4077  {csn 4168   “ cima 5107  ‘cfv 5876  ℩crio 6595  infcinf 8332  ℝcr 9920   < clt 10059  0gc0g 16081  DivRingcdr 18728  LIdealclidl 19151  Poly1cpl1 19528   deg1 cdg1 23795  Monic1pcmn1 23866  idlGen1pcig1p 23870 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-inf2 8523  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998  ax-pre-sup 9999  ax-addf 10000  ax-mulf 10001 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-iin 4514  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-se 5064  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-isom 5885  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-of 6882  df-ofr 6883  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-supp 7281  df-tpos 7337  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-1o 7545  df-2o 7546  df-oadd 7549  df-er 7727  df-map 7844  df-pm 7845  df-ixp 7894  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-fin 7944  df-fsupp 8261  df-sup 8333  df-inf 8334  df-oi 8400  df-card 8750  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-nn 11006  df-2 11064  df-3 11065  df-4 11066  df-5 11067  df-6 11068  df-7 11069  df-8 11070  df-9 11071  df-n0 11278  df-z 11363  df-dec 11479  df-uz 11673  df-fz 12312  df-fzo 12450  df-seq 12785  df-hash 13101  df-struct 15840  df-ndx 15841  df-slot 15842  df-base 15844  df-sets 15845  df-ress 15846  df-plusg 15935  df-mulr 15936  df-starv 15937  df-sca 15938  df-vsca 15939  df-ip 15940  df-tset 15941  df-ple 15942  df-ds 15945  df-unif 15946  df-0g 16083  df-gsum 16084  df-mre 16227  df-mrc 16228  df-acs 16230  df-mgm 17223  df-sgrp 17265  df-mnd 17276  df-mhm 17316  df-submnd 17317  df-grp 17406  df-minusg 17407  df-sbg 17408  df-mulg 17522  df-subg 17572  df-ghm 17639  df-cntz 17731  df-cmn 18176  df-abl 18177  df-mgp 18471  df-ur 18483  df-ring 18530  df-cring 18531  df-oppr 18604  df-dvdsr 18622  df-unit 18623  df-invr 18653  df-drng 18730  df-subrg 18759  df-lmod 18846  df-lss 18914  df-sra 19153  df-rgmod 19154  df-lidl 19155  df-rlreg 19264  df-ascl 19295  df-psr 19337  df-mvr 19338  df-mpl 19339  df-opsr 19341  df-psr1 19531  df-vr1 19532  df-ply1 19533  df-coe1 19534  df-cnfld 19728  df-mdeg 23796  df-deg1 23797  df-mon1 23871  df-uc1p 23872  df-ig1p 23875 This theorem is referenced by:  ig1pcl  23916  ig1pdvds  23917
 Copyright terms: Public domain W3C validator