MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iihalf1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iihalf1 22486
Description: Map the first half of II into II. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
iihalf1 (𝑋 ∈ (0[,](1 / 2)) → (2 · 𝑋) ∈ (0[,]1))

Proof of Theorem iihalf1
StepHypRef Expression
1 2re 10940 . . . . 5 2 ∈ ℝ
2 remulcl 9878 . . . . 5 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (2 · 𝑋) ∈ ℝ)
31, 2mpan 702 . . . 4 (𝑋 ∈ ℝ → (2 · 𝑋) ∈ ℝ)
433ad2ant1 1075 . . 3 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋𝑋 ≤ (1 / 2)) → (2 · 𝑋) ∈ ℝ)
5 0le2 10961 . . . . 5 0 ≤ 2
6 mulge0 10398 . . . . 5 (((2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋)) → 0 ≤ (2 · 𝑋))
71, 5, 6mpanl12 714 . . . 4 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) → 0 ≤ (2 · 𝑋))
873adant3 1074 . . 3 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋𝑋 ≤ (1 / 2)) → 0 ≤ (2 · 𝑋))
9 1re 9896 . . . . . 6 1 ∈ ℝ
10 2pos 10962 . . . . . . 7 0 < 2
111, 10pm3.2i 470 . . . . . 6 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
12 lemuldiv2 10756 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((2 · 𝑋) ≤ 1 ↔ 𝑋 ≤ (1 / 2)))
139, 11, 12mp3an23 1408 . . . . 5 (𝑋 ∈ ℝ → ((2 · 𝑋) ≤ 1 ↔ 𝑋 ≤ (1 / 2)))
1413biimpar 501 . . . 4 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2)) → (2 · 𝑋) ≤ 1)
15143adant2 1073 . . 3 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋𝑋 ≤ (1 / 2)) → (2 · 𝑋) ≤ 1)
164, 8, 153jca 1235 . 2 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋𝑋 ≤ (1 / 2)) → ((2 · 𝑋) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2 · 𝑋) ∧ (2 · 𝑋) ≤ 1))
17 0re 9897 . . 3 0 ∈ ℝ
18 halfre 11096 . . 3 (1 / 2) ∈ ℝ
1917, 18elicc2i 12069 . 2 (𝑋 ∈ (0[,](1 / 2)) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋𝑋 ≤ (1 / 2)))
2017, 9elicc2i 12069 . 2 ((2 · 𝑋) ∈ (0[,]1) ↔ ((2 · 𝑋) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2 · 𝑋) ∧ (2 · 𝑋) ≤ 1))
2116, 19, 203imtr4i 280 1 (𝑋 ∈ (0[,](1 / 2)) → (2 · 𝑋) ∈ (0[,]1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 195  wa 383  w3a 1031  wcel 1977   class class class wbr 4578  (class class class)co 6527  cr 9792  0cc0 9793  1c1 9794   · cmul 9798   < clt 9931  cle 9932   / cdiv 10536  2c2 10920  [,]cicc 12008
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4704  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-cnex 9849  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-mulcom 9857  ax-addass 9858  ax-mulass 9859  ax-distr 9860  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-1rid 9863  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868  ax-pre-ltadd 9869  ax-pre-mulgt0 9870
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4368  df-br 4579  df-opab 4639  df-mpt 4640  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-er 7607  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-xr 9935  df-ltxr 9936  df-le 9937  df-sub 10120  df-neg 10121  df-div 10537  df-2 10929  df-icc 12012
This theorem is referenced by:  iihalf1cn  22487  phtpycc  22546  copco  22574  pcohtpylem  22575  pcopt  22578  pcopt2  22579  pcorevlem  22582
  Copyright terms: Public domain W3C validator