Theorem iihalf2cn 23530

Description: The second half function is a continuous map. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jun-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
iihalf2cn.1	⊢ 𝐽 = ((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1))

Assertion

Ref	Expression
iihalf2cn	⊢ (𝑥 ∈ ((1 / 2)[,]1) ↦ ((2 · 𝑥) − 1)) ∈ (𝐽 Cn II)

Proof of Theorem iihalf2cn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2819	. . 3 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
2		iihalf2cn.1	. . 3 ⊢ 𝐽 = ((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1))
3		dfii2 23482	. . 3 ⊢ II = ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,]1))
4		halfre 11843	. . . . 5 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
5		1re 10633	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
6		iccssre 12810	. . . . 5 ⊢ (((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((1 / 2)[,]1) ⊆ ℝ)
7	4, 5, 6	mp2an 690	. . . 4 ⊢ ((1 / 2)[,]1) ⊆ ℝ
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → ((1 / 2)[,]1) ⊆ ℝ)
9		unitssre 12877	. . . 4 ⊢ (0[,]1) ⊆ ℝ
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → (0[,]1) ⊆ ℝ)
11		iihalf2 23529	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ((1 / 2)[,]1) → ((2 · 𝑥) − 1) ∈ (0[,]1))
12	11	adantl 484	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ((1 / 2)[,]1)) → ((2 · 𝑥) − 1) ∈ (0[,]1))
13	1	cnfldtopon 23383	. . . . 5 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
14	13	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ))
15		2cnd 11707	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 2 ∈ ℂ)
16	14, 14, 15	cnmptc 22262	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ 2) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
17	14	cnmptid 22261	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑥) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
18	1	mulcn 23467	. . . . . 6 ⊢ · ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
19	18	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → · ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
20	14, 16, 17, 19	cnmpt12f 22266	. . . 4 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (2 · 𝑥)) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
21		1cnd 10628	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℂ)
22	14, 14, 21	cnmptc 22262	. . . 4 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
23	1	subcn 23466	. . . . 5 ⊢ − ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
24	23	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → − ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
25	14, 20, 22, 24	cnmpt12f 22266	. . 3 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((2 · 𝑥) − 1)) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
26	1, 2, 3, 8, 10, 12, 25	cnmptre 23523	. 2 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ((1 / 2)[,]1) ↦ ((2 · 𝑥) − 1)) ∈ (𝐽 Cn II))
27	26	mptru 1538	1 ⊢ (𝑥 ∈ ((1 / 2)[,]1) ↦ ((2 · 𝑥) − 1)) ∈ (𝐽 Cn II)

Syntax hints:   = wceq 1531  ⊤wtru 1532   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3934   ↦ cmpt 5137  ran crn 5549  ‘cfv 6348  (class class class)co 7148  ℂcc 10527  ℝcr 10528  0cc0 10529  1c1 10530   · cmul 10534   − cmin 10862   / cdiv 11289  2c2 11684  (,)cioo 12730  [,]cicc 12733   ↾_t crest 16686  TopOpenctopn 16687  topGenctg 16703  ℂ_fldccnfld 20537  TopOnctopon 21510   Cn ccn 21824   ×_t ctx 22160  IIcii 23475

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607  ax-mulf 10609

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1534  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-of 7401  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-supp 7823  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-2o 8095  df-oadd 8098  df-er 8281  df-map 8400  df-ixp 8454  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-fsupp 8826  df-fi 8867  df-sup 8898  df-inf 8899  df-oi 8966  df-card 9360  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12382  df-xneg 12499  df-xadd 12500  df-xmul 12501  df-ioo 12734  df-icc 12737  df-fz 12885  df-fzo 13026  df-seq 13362  df-exp 13422  df-hash 13683  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-ip 16575  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-hom 16581  df-cco 16582  df-rest 16688  df-topn 16689  df-0g 16707  df-gsum 16708  df-topgen 16709  df-pt 16710  df-prds 16713  df-xrs 16767  df-qtop 16772  df-imas 16773  df-xps 16775  df-mre 16849  df-mrc 16850  df-acs 16852  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-submnd 17949  df-mulg 18217  df-cntz 18439  df-cmn 18900  df-psmet 20529  df-xmet 20530  df-met 20531  df-bl 20532  df-mopn 20533  df-cnfld 20538  df-top 21494  df-topon 21511  df-topsp 21533  df-bases 21546  df-cn 21827  df-cnp 21828  df-tx 22162  df-hmeo 22355  df-xms 22922  df-ms 22923  df-tms 22924  df-ii 23477

This theorem is referenced by:  htpycc  23576  pcocn  23613  pcohtpylem  23615  pcopt  23618  pcorevlem  23622