MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iinfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iinfi 8869
Description: An indexed intersection of elements of 𝐶 is an element of the finite intersections of 𝐶. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
iinfi ((𝐶𝑉 ∧ (∀𝑥𝐴 𝐵𝐶𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → 𝑥𝐴 𝐵 ∈ (fi‘𝐶))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem iinfi
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr1 1186 . . . 4 ((𝐶𝑉 ∧ (∀𝑥𝐴 𝐵𝐶𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → ∀𝑥𝐴 𝐵𝐶)
2 dfiin2g 4948 . . . 4 (∀𝑥𝐴 𝐵𝐶 𝑥𝐴 𝐵 = {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵})
31, 2syl 17 . . 3 ((𝐶𝑉 ∧ (∀𝑥𝐴 𝐵𝐶𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → 𝑥𝐴 𝐵 = {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵})
4 eqid 2818 . . . . 5 (𝑥𝐴𝐵) = (𝑥𝐴𝐵)
54rnmpt 5820 . . . 4 ran (𝑥𝐴𝐵) = {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵}
65inteqi 4871 . . 3 ran (𝑥𝐴𝐵) = {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵}
73, 6syl6eqr 2871 . 2 ((𝐶𝑉 ∧ (∀𝑥𝐴 𝐵𝐶𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → 𝑥𝐴 𝐵 = ran (𝑥𝐴𝐵))
84fmpt 6866 . . . 4 (∀𝑥𝐴 𝐵𝐶 ↔ (𝑥𝐴𝐵):𝐴𝐶)
983anbi1i 1149 . . 3 ((∀𝑥𝐴 𝐵𝐶𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) ↔ ((𝑥𝐴𝐵):𝐴𝐶𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin))
10 intrnfi 8868 . . 3 ((𝐶𝑉 ∧ ((𝑥𝐴𝐵):𝐴𝐶𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → ran (𝑥𝐴𝐵) ∈ (fi‘𝐶))
119, 10sylan2b 593 . 2 ((𝐶𝑉 ∧ (∀𝑥𝐴 𝐵𝐶𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → ran (𝑥𝐴𝐵) ∈ (fi‘𝐶))
127, 11eqeltrd 2910 1 ((𝐶𝑉 ∧ (∀𝑥𝐴 𝐵𝐶𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → 𝑥𝐴 𝐵 ∈ (fi‘𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  {cab 2796  wne 3013  wral 3135  wrex 3136  c0 4288   cint 4867   ciin 4911  cmpt 5137  ran crn 5549  wf 6344  cfv 6348  Fincfn 8497  ficfi 8862
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-om 7570  df-1o 8091  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-fin 8501  df-fi 8863
This theorem is referenced by:  firest  16694  iscmet3  23823  sigapildsyslem  31319
  Copyright terms: Public domain W3C validator