MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iinfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iinfi 8270
Description: An indexed intersection of elements of 𝐶 is an element of the finite intersections of 𝐶. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
iinfi ((𝐶𝑉 ∧ (∀𝑥𝐴 𝐵𝐶𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → 𝑥𝐴 𝐵 ∈ (fi‘𝐶))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem iinfi
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr1 1065 . . . 4 ((𝐶𝑉 ∧ (∀𝑥𝐴 𝐵𝐶𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → ∀𝑥𝐴 𝐵𝐶)
2 dfiin2g 4521 . . . 4 (∀𝑥𝐴 𝐵𝐶 𝑥𝐴 𝐵 = {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵})
31, 2syl 17 . . 3 ((𝐶𝑉 ∧ (∀𝑥𝐴 𝐵𝐶𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → 𝑥𝐴 𝐵 = {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵})
4 eqid 2621 . . . . 5 (𝑥𝐴𝐵) = (𝑥𝐴𝐵)
54rnmpt 5333 . . . 4 ran (𝑥𝐴𝐵) = {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵}
65inteqi 4446 . . 3 ran (𝑥𝐴𝐵) = {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵}
73, 6syl6eqr 2673 . 2 ((𝐶𝑉 ∧ (∀𝑥𝐴 𝐵𝐶𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → 𝑥𝐴 𝐵 = ran (𝑥𝐴𝐵))
84fmpt 6339 . . . 4 (∀𝑥𝐴 𝐵𝐶 ↔ (𝑥𝐴𝐵):𝐴𝐶)
983anbi1i 1251 . . 3 ((∀𝑥𝐴 𝐵𝐶𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) ↔ ((𝑥𝐴𝐵):𝐴𝐶𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin))
10 intrnfi 8269 . . 3 ((𝐶𝑉 ∧ ((𝑥𝐴𝐵):𝐴𝐶𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → ran (𝑥𝐴𝐵) ∈ (fi‘𝐶))
119, 10sylan2b 492 . 2 ((𝐶𝑉 ∧ (∀𝑥𝐴 𝐵𝐶𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → ran (𝑥𝐴𝐵) ∈ (fi‘𝐶))
127, 11eqeltrd 2698 1 ((𝐶𝑉 ∧ (∀𝑥𝐴 𝐵𝐶𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → 𝑥𝐴 𝐵 ∈ (fi‘𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  {cab 2607  wne 2790  wral 2907  wrex 2908  c0 3893   cint 4442   ciin 4488  cmpt 4675  ran crn 5077  wf 5845  cfv 5849  Fincfn 7902  ficfi 8263
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4743  ax-nul 4751  ax-pow 4805  ax-pr 4869  ax-un 6905
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3419  df-dif 3559  df-un 3561  df-in 3563  df-ss 3570  df-pss 3572  df-nul 3894  df-if 4061  df-pw 4134  df-sn 4151  df-pr 4153  df-tp 4155  df-op 4157  df-uni 4405  df-int 4443  df-iin 4490  df-br 4616  df-opab 4676  df-mpt 4677  df-tr 4715  df-eprel 4987  df-id 4991  df-po 4997  df-so 4998  df-fr 5035  df-we 5037  df-xp 5082  df-rel 5083  df-cnv 5084  df-co 5085  df-dm 5086  df-rn 5087  df-res 5088  df-ima 5089  df-ord 5687  df-on 5688  df-lim 5689  df-suc 5690  df-iota 5812  df-fun 5851  df-fn 5852  df-f 5853  df-f1 5854  df-fo 5855  df-f1o 5856  df-fv 5857  df-om 7016  df-1o 7508  df-er 7690  df-en 7903  df-dom 7904  df-fin 7906  df-fi 8264
This theorem is referenced by:  firest  16017  iscmet3  23004  sigapildsyslem  30017
  Copyright terms: Public domain W3C validator