Theorem iinhoiicc 42950

Description: A n-dimensional closed interval expressed as the indexed intersection of half-open intervals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
iunhoiicc.k	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
iunhoiicc.a	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
iunhoiicc.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
iinhoiicc	⊢ (𝜑 → ∩ 𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) = X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,]𝐵))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝐵,𝑛   𝑘,𝑋,𝑛   𝜑,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem iinhoiicc

Dummy variables 𝑓 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7158	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (1 / 𝑛) = (1 / 𝑚))
2	1	oveq2d 7166	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝐵 + (1 / 𝑛)) = (𝐵 + (1 / 𝑚)))
3	2	oveq2d 7166	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) = (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑚))))
4	3	ixpeq2dv 8471	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) = X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑚))))
5	4	cbviinv 4958	. . . . . . . 8 ⊢ ∩ 𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) = ∩ 𝑚 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑚)))
6	5	eleq2i 2904	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ↔ 𝑓 ∈ ∩ 𝑚 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑚))))
7	6	biimpi 218	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) → 𝑓 ∈ ∩ 𝑚 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑚))))
8	7	adantl 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) → 𝑓 ∈ ∩ 𝑚 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑚))))
9		iunhoiicc.k	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
10		nfcv 2977	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘𝑓
11		nfcv 2977	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘ℕ
12		nfixp1 8476	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑚)))
13	11, 12	nfiin 4942	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘∩ 𝑚 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑚)))
14	10, 13	nfel 2992	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑓 ∈ ∩ 𝑚 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑚)))
15	9, 14	nfan 1896	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∩ 𝑚 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑚))))
16		iunhoiicc.a	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
17	16	adantlr 713	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∩ 𝑚 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑚)))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
18		iunhoiicc.b	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ)
19	18	adantlr 713	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∩ 𝑚 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑚)))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ)
20	6	biimpri 230	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ ∩ 𝑚 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑚))) → 𝑓 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
21	20	adantl 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∩ 𝑚 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑚)))) → 𝑓 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
22	15, 17, 19, 21	iinhoiicclem 42949	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∩ 𝑚 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑚)))) → 𝑓 ∈ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,]𝐵))
23	8, 22	syldan 593	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) → 𝑓 ∈ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,]𝐵))
24	23	ralrimiva 3182	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑓 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))𝑓 ∈ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,]𝐵))
25		dfss3 3955	. . 3 ⊢ (∩ 𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,]𝐵) ↔ ∀𝑓 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))𝑓 ∈ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,]𝐵))
26	24, 25	sylibr 236	. 2 ⊢ (𝜑 → ∩ 𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,]𝐵))
27		nfv 1911	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑛 ∈ ℕ
28	9, 27	nfan 1896	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ)
29	16	rexrd 10685	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ*)
30	29	adantlr 713	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ*)
31	18	adantlr 713	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ)
32		nnrp 12394	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ+)
33	32	ad2antlr 725	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝑛 ∈ ℝ+)
34	33	rpreccld 12435	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ+)
35	34	rpred 12425	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
36	31, 35	readdcld 10664	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐵 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
37	36	rexrd 10685	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐵 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ*)
38	16	adantlr 713	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
39	38	leidd 11200	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐴 ≤ 𝐴)
40	31, 34	ltaddrpd 12458	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐵 < (𝐵 + (1 / 𝑛)))
41		iccssico 12802	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 < (𝐵 + (1 / 𝑛)))) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
42	30, 37, 39, 40, 41	syl22anc 836	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
43	28, 42	ixpssixp 41351	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,]𝐵) ⊆ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
44	43	ralrimiva 3182	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,]𝐵) ⊆ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
45		ssiin 4971	. . 3 ⊢ (X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,]𝐵) ⊆ ∩ 𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,]𝐵) ⊆ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
46	44, 45	sylibr 236	. 2 ⊢ (𝜑 → X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,]𝐵) ⊆ ∩ 𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
47	26, 46	eqssd 3983	1 ⊢ (𝜑 → ∩ 𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) = X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,]𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1533  Ⅎwnf 1780   ∈ wcel 2110  ∀wral 3138   ⊆ wss 3935  ∩ ciin 4912   class class class wbr 5058  (class class class)co 7150  Xcixp 8455  ℝcr 10530  1c1 10532   + caddc 10534  ℝ^*cxr 10668   < clt 10669   ≤ cle 10670   / cdiv 11291  ℕcn 11632  ℝ⁺crp 12383  [,)cico 12734  [,]cicc 12735

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-iun 4913  df-iin 4914  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8283  df-ixp 8456  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-sup 8900  df-inf 8901  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-q 12343  df-rp 12384  df-ico 12738  df-icc 12739  df-fl 13156

This theorem is referenced by:  vonicclem2  42960