Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iinhoiicclem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iinhoiicclem 41393
Description: A n-dimensional closed interval expressed as the indexed intersection of half-open intervals. One side of the double inclusion. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
iinhoiicclem.k 𝑘𝜑
iinhoiicclem.a ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
iinhoiicclem.b ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ)
iinhoiicclem.f (𝜑𝐹 𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
Assertion
Ref Expression
iinhoiicclem (𝜑𝐹X𝑘𝑋 (𝐴[,]𝐵))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝐵,𝑛   𝑘,𝐹,𝑛   𝑘,𝑋,𝑛   𝜑,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem iinhoiicclem
StepHypRef Expression
1 iinhoiicclem.f . . . 4 (𝜑𝐹 𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
21elexd 3354 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ V)
3 1nn 11223 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℕ
43a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 ∈ ℕ)
5 iinhoiicclem.k . . . . . . . . 9 𝑘𝜑
6 iinhoiicclem.a . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
7 iinhoiicclem.b . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ)
8 peano2re 10401 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 + 1) ∈ ℝ)
97, 8syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐵 + 1) ∈ ℝ)
109rexrd 10281 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐵 + 1) ∈ ℝ*)
11 icossre 12447 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 1) ∈ ℝ*) → (𝐴[,)(𝐵 + 1)) ⊆ ℝ)
126, 10, 11syl2anc 696 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐴[,)(𝐵 + 1)) ⊆ ℝ)
135, 12ixpssixp 39768 . . . . . . . 8 (𝜑X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + 1)) ⊆ X𝑘𝑋 ℝ)
14 oveq2 6821 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 1 → (1 / 𝑛) = (1 / 1))
15 1div1e1 10909 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 / 1) = 1
1615a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 1 → (1 / 1) = 1)
1714, 16eqtrd 2794 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 1 → (1 / 𝑛) = 1)
1817oveq2d 6829 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 1 → (𝐵 + (1 / 𝑛)) = (𝐵 + 1))
1918oveq2d 6829 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 1 → (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) = (𝐴[,)(𝐵 + 1)))
2019ixpeq2dv 8090 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 1 → X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) = X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + 1)))
2120sseq1d 3773 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 1 → (X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ X𝑘𝑋 ℝ ↔ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + 1)) ⊆ X𝑘𝑋 ℝ))
2221rspcev 3449 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℕ ∧ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + 1)) ⊆ X𝑘𝑋 ℝ) → ∃𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ X𝑘𝑋 ℝ)
234, 13, 22syl2anc 696 . . . . . . 7 (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ X𝑘𝑋 ℝ)
24 iinss 4723 . . . . . . 7 (∃𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ X𝑘𝑋 ℝ → 𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ X𝑘𝑋 ℝ)
2523, 24syl 17 . . . . . 6 (𝜑 𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ X𝑘𝑋 ℝ)
2625, 1sseldd 3745 . . . . 5 (𝜑𝐹X𝑘𝑋 ℝ)
27 elixpconstg 39765 . . . . . 6 (𝐹 𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) → (𝐹X𝑘𝑋 ℝ ↔ 𝐹:𝑋⟶ℝ))
281, 27syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹X𝑘𝑋 ℝ ↔ 𝐹:𝑋⟶ℝ))
2926, 28mpbid 222 . . . 4 (𝜑𝐹:𝑋⟶ℝ)
3029ffnd 6207 . . 3 (𝜑𝐹 Fn 𝑋)
3129ffvelrnda 6522 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
326rexrd 10281 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ*)
33 ssid 3765 . . . . . . . . . . . . 13 X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + 1)) ⊆ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + 1))
3433a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + 1)) ⊆ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + 1)))
3520sseq1d 3773 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 1 → (X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + 1)) ↔ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + 1)) ⊆ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + 1))))
3635rspcev 3449 . . . . . . . . . . . 12 ((1 ∈ ℕ ∧ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + 1)) ⊆ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + 1))) → ∃𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + 1)))
374, 34, 36syl2anc 696 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + 1)))
38 iinss 4723 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + 1)) → 𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + 1)))
3937, 38syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + 1)))
4039, 1sseldd 3745 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + 1)))
4140adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐹X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + 1)))
42 simpr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑋) → 𝑘𝑋)
43 fvixp2 39888 . . . . . . . 8 ((𝐹X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + 1)) ∧ 𝑘𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ (𝐴[,)(𝐵 + 1)))
4441, 42, 43syl2anc 696 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ (𝐴[,)(𝐵 + 1)))
45 icogelb 12418 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 + 1) ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝑘) ∈ (𝐴[,)(𝐵 + 1))) → 𝐴 ≤ (𝐹𝑘))
4632, 10, 44, 45syl3anc 1477 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐴 ≤ (𝐹𝑘))
4731adantr 472 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘𝑋) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
487adantr 472 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘𝑋) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ)
49 nnrecre 11249 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
5049adantl 473 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘𝑋) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
5148, 50readdcld 10261 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘𝑋) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐵 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
5232adantr 472 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘𝑋) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ*)
53 ressxr 10275 . . . . . . . . . . 11 ℝ ⊆ ℝ*
5453, 51sseldi 3742 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘𝑋) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐵 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ*)
55 eliin 4677 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹 ∈ V → (𝐹 𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐹X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))))
562, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐹 𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐹X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))))
571, 56mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐹X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
5857r19.21bi 3070 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐹X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
59 elixp2 8078 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ↔ (𝐹 ∈ V ∧ 𝐹 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑘𝑋 (𝐹𝑘) ∈ (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))))
6058, 59sylib 208 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹 ∈ V ∧ 𝐹 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑘𝑋 (𝐹𝑘) ∈ (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))))
6160simp3d 1139 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ∀𝑘𝑋 (𝐹𝑘) ∈ (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
6261r19.21bi 3070 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
6362an32s 881 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘𝑋) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
64 icoltub 40235 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝑘) ∈ (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) → (𝐹𝑘) < (𝐵 + (1 / 𝑛)))
6552, 54, 63, 64syl3anc 1477 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘𝑋) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) < (𝐵 + (1 / 𝑛)))
6647, 51, 65ltled 10377 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘𝑋) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛)))
6766ralrimiva 3104 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑋) → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑘) ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛)))
68 nfv 1992 . . . . . . . 8 𝑛(𝜑𝑘𝑋)
6953, 31sseldi 3742 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ*)
7068, 69, 7xrralrecnnle 40100 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑋) → ((𝐹𝑘) ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑘) ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛))))
7167, 70mpbird 247 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐹𝑘) ≤ 𝐵)
726, 7, 31, 46, 71eliccd 40229 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ (𝐴[,]𝐵))
7372ex 449 . . . 4 (𝜑 → (𝑘𝑋 → (𝐹𝑘) ∈ (𝐴[,]𝐵)))
745, 73ralrimi 3095 . . 3 (𝜑 → ∀𝑘𝑋 (𝐹𝑘) ∈ (𝐴[,]𝐵))
752, 30, 743jca 1123 . 2 (𝜑 → (𝐹 ∈ V ∧ 𝐹 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑘𝑋 (𝐹𝑘) ∈ (𝐴[,]𝐵)))
76 elixp2 8078 . 2 (𝐹X𝑘𝑋 (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐹 ∈ V ∧ 𝐹 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑘𝑋 (𝐹𝑘) ∈ (𝐴[,]𝐵)))
7775, 76sylibr 224 1 (𝜑𝐹X𝑘𝑋 (𝐴[,]𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wnf 1857  wcel 2139  wral 3050  wrex 3051  Vcvv 3340  wss 3715   ciin 4673   class class class wbr 4804   Fn wfn 6044  wf 6045  cfv 6049  (class class class)co 6813  Xcixp 8074  cr 10127  1c1 10129   + caddc 10131  *cxr 10265   < clt 10266  cle 10267   / cdiv 10876  cn 11212  [,)cico 12370  [,]cicc 12371
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-er 7911  df-ixp 8075  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-sup 8513  df-inf 8514  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-q 11982  df-rp 12026  df-ico 12374  df-icc 12375  df-fl 12787
This theorem is referenced by:  iinhoiicc  41394
  Copyright terms: Public domain W3C validator