MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iinpreima Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iinpreima 6301
Description: Preimage of an intersection. (Contributed by FL, 16-Apr-2012.)
Assertion
Ref Expression
iinpreima ((Fun 𝐹𝐴 ≠ ∅) → (𝐹 𝑥𝐴 𝐵) = 𝑥𝐴 (𝐹𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem iinpreima
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 789 . . . . 5 (((Fun 𝐹𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 𝑥𝐴 𝐵)) → Fun 𝐹)
2 cnvimass 5444 . . . . . . 7 (𝐹 𝑥𝐴 𝐵) ⊆ dom 𝐹
32sseli 3579 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (𝐹 𝑥𝐴 𝐵) → 𝑦 ∈ dom 𝐹)
43adantl 482 . . . . 5 (((Fun 𝐹𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 𝑥𝐴 𝐵)) → 𝑦 ∈ dom 𝐹)
5 fvex 6158 . . . . . 6 (𝐹𝑦) ∈ V
6 fvimacnvi 6287 . . . . . . 7 ((Fun 𝐹𝑦 ∈ (𝐹 𝑥𝐴 𝐵)) → (𝐹𝑦) ∈ 𝑥𝐴 𝐵)
76adantlr 750 . . . . . 6 (((Fun 𝐹𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 𝑥𝐴 𝐵)) → (𝐹𝑦) ∈ 𝑥𝐴 𝐵)
8 eliin 4491 . . . . . . 7 ((𝐹𝑦) ∈ V → ((𝐹𝑦) ∈ 𝑥𝐴 𝐵 ↔ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑦) ∈ 𝐵))
98biimpa 501 . . . . . 6 (((𝐹𝑦) ∈ V ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑥𝐴 𝐵) → ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑦) ∈ 𝐵)
105, 7, 9sylancr 694 . . . . 5 (((Fun 𝐹𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 𝑥𝐴 𝐵)) → ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑦) ∈ 𝐵)
11 fvimacnv 6288 . . . . . . 7 ((Fun 𝐹𝑦 ∈ dom 𝐹) → ((𝐹𝑦) ∈ 𝐵𝑦 ∈ (𝐹𝐵)))
1211ralbidv 2980 . . . . . 6 ((Fun 𝐹𝑦 ∈ dom 𝐹) → (∀𝑥𝐴 (𝐹𝑦) ∈ 𝐵 ↔ ∀𝑥𝐴 𝑦 ∈ (𝐹𝐵)))
1312biimpa 501 . . . . 5 (((Fun 𝐹𝑦 ∈ dom 𝐹) ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑦) ∈ 𝐵) → ∀𝑥𝐴 𝑦 ∈ (𝐹𝐵))
141, 4, 10, 13syl21anc 1322 . . . 4 (((Fun 𝐹𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 𝑥𝐴 𝐵)) → ∀𝑥𝐴 𝑦 ∈ (𝐹𝐵))
15 vex 3189 . . . . 5 𝑦 ∈ V
16 eliin 4491 . . . . 5 (𝑦 ∈ V → (𝑦 𝑥𝐴 (𝐹𝐵) ↔ ∀𝑥𝐴 𝑦 ∈ (𝐹𝐵)))
1715, 16ax-mp 5 . . . 4 (𝑦 𝑥𝐴 (𝐹𝐵) ↔ ∀𝑥𝐴 𝑦 ∈ (𝐹𝐵))
1814, 17sylibr 224 . . 3 (((Fun 𝐹𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 𝑥𝐴 𝐵)) → 𝑦 𝑥𝐴 (𝐹𝐵))
19 simpll 789 . . . . . 6 (((Fun 𝐹𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑦 𝑥𝐴 (𝐹𝐵)) → Fun 𝐹)
2016biimpd 219 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ V → (𝑦 𝑥𝐴 (𝐹𝐵) → ∀𝑥𝐴 𝑦 ∈ (𝐹𝐵)))
2115, 20ax-mp 5 . . . . . . 7 (𝑦 𝑥𝐴 (𝐹𝐵) → ∀𝑥𝐴 𝑦 ∈ (𝐹𝐵))
2221adantl 482 . . . . . 6 (((Fun 𝐹𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑦 𝑥𝐴 (𝐹𝐵)) → ∀𝑥𝐴 𝑦 ∈ (𝐹𝐵))
23 fvimacnvi 6287 . . . . . . . 8 ((Fun 𝐹𝑦 ∈ (𝐹𝐵)) → (𝐹𝑦) ∈ 𝐵)
2423ex 450 . . . . . . 7 (Fun 𝐹 → (𝑦 ∈ (𝐹𝐵) → (𝐹𝑦) ∈ 𝐵))
2524ralimdv 2957 . . . . . 6 (Fun 𝐹 → (∀𝑥𝐴 𝑦 ∈ (𝐹𝐵) → ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑦) ∈ 𝐵))
2619, 22, 25sylc 65 . . . . 5 (((Fun 𝐹𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑦 𝑥𝐴 (𝐹𝐵)) → ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑦) ∈ 𝐵)
275, 8ax-mp 5 . . . . 5 ((𝐹𝑦) ∈ 𝑥𝐴 𝐵 ↔ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑦) ∈ 𝐵)
2826, 27sylibr 224 . . . 4 (((Fun 𝐹𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑦 𝑥𝐴 (𝐹𝐵)) → (𝐹𝑦) ∈ 𝑥𝐴 𝐵)
29 r19.2zb 4033 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ≠ ∅ ↔ (∀𝑥𝐴 𝑦 ∈ (𝐹𝐵) → ∃𝑥𝐴 𝑦 ∈ (𝐹𝐵)))
3029biimpi 206 . . . . . . . . 9 (𝐴 ≠ ∅ → (∀𝑥𝐴 𝑦 ∈ (𝐹𝐵) → ∃𝑥𝐴 𝑦 ∈ (𝐹𝐵)))
31 cnvimass 5444 . . . . . . . . . . 11 (𝐹𝐵) ⊆ dom 𝐹
3231sseli 3579 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (𝐹𝐵) → 𝑦 ∈ dom 𝐹)
3332rexlimivw 3022 . . . . . . . . 9 (∃𝑥𝐴 𝑦 ∈ (𝐹𝐵) → 𝑦 ∈ dom 𝐹)
3430, 33syl6 35 . . . . . . . 8 (𝐴 ≠ ∅ → (∀𝑥𝐴 𝑦 ∈ (𝐹𝐵) → 𝑦 ∈ dom 𝐹))
3517, 34syl5bi 232 . . . . . . 7 (𝐴 ≠ ∅ → (𝑦 𝑥𝐴 (𝐹𝐵) → 𝑦 ∈ dom 𝐹))
3635adantl 482 . . . . . 6 ((Fun 𝐹𝐴 ≠ ∅) → (𝑦 𝑥𝐴 (𝐹𝐵) → 𝑦 ∈ dom 𝐹))
3736imp 445 . . . . 5 (((Fun 𝐹𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑦 𝑥𝐴 (𝐹𝐵)) → 𝑦 ∈ dom 𝐹)
38 fvimacnv 6288 . . . . 5 ((Fun 𝐹𝑦 ∈ dom 𝐹) → ((𝐹𝑦) ∈ 𝑥𝐴 𝐵𝑦 ∈ (𝐹 𝑥𝐴 𝐵)))
3919, 37, 38syl2anc 692 . . . 4 (((Fun 𝐹𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑦 𝑥𝐴 (𝐹𝐵)) → ((𝐹𝑦) ∈ 𝑥𝐴 𝐵𝑦 ∈ (𝐹 𝑥𝐴 𝐵)))
4028, 39mpbid 222 . . 3 (((Fun 𝐹𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑦 𝑥𝐴 (𝐹𝐵)) → 𝑦 ∈ (𝐹 𝑥𝐴 𝐵))
4118, 40impbida 876 . 2 ((Fun 𝐹𝐴 ≠ ∅) → (𝑦 ∈ (𝐹 𝑥𝐴 𝐵) ↔ 𝑦 𝑥𝐴 (𝐹𝐵)))
4241eqrdv 2619 1 ((Fun 𝐹𝐴 ≠ ∅) → (𝐹 𝑥𝐴 𝐵) = 𝑥𝐴 (𝐹𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wral 2907  wrex 2908  Vcvv 3186  c0 3891   ciin 4486  ccnv 5073  dom cdm 5074  cima 5077  Fun wfun 5841  cfv 5847
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pr 4867
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-iin 4488  df-br 4614  df-opab 4674  df-id 4989  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-fv 5855
This theorem is referenced by:  intpreima  6302
  Copyright terms: Public domain W3C validator