Theorem iinss 2596

Description: Subset implication for an indexed intersection.

Assertion

Ref	Expression
iinss	⊢ (∃x ∈ A B ⊆ C → ∩x ∈ A B ⊆ C)

Distinct variable group:   x,C

Proof of Theorem iinss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		19.12 1046	. . . 4 ⊢ (∃x∀y(x ∈ A ⋀ (y ∈ B → y ∈ C)) → ∀y∃x(x ∈ A ⋀ (y ∈ B → y ∈ C)))
2		df-rex 1648	. . . . 5 ⊢ (∃x ∈ A ∀y(y ∈ B → y ∈ C) ↔ ∃x(x ∈ A ⋀ ∀y(y ∈ B → y ∈ C)))
3		19.28v 1298	. . . . . 6 ⊢ (∀y(x ∈ A ⋀ (y ∈ B → y ∈ C)) ↔ (x ∈ A ⋀ ∀y(y ∈ B → y ∈ C)))
4	3	exbii 1050	. . . . 5 ⊢ (∃x∀y(x ∈ A ⋀ (y ∈ B → y ∈ C)) ↔ ∃x(x ∈ A ⋀ ∀y(y ∈ B → y ∈ C)))
5	2, 4	bitr4 176	. . . 4 ⊢ (∃x ∈ A ∀y(y ∈ B → y ∈ C) ↔ ∃x∀y(x ∈ A ⋀ (y ∈ B → y ∈ C)))
6		df-rex 1648	. . . . 5 ⊢ (∃x ∈ A (y ∈ B → y ∈ C) ↔ ∃x(x ∈ A ⋀ (y ∈ B → y ∈ C)))
7	6	albii 998	. . . 4 ⊢ (∀y∃x ∈ A (y ∈ B → y ∈ C) ↔ ∀y∃x(x ∈ A ⋀ (y ∈ B → y ∈ C)))
8	1, 5, 7	3imtr4 219	. . 3 ⊢ (∃x ∈ A ∀y(y ∈ B → y ∈ C) → ∀y∃x ∈ A (y ∈ B → y ∈ C))
9		r19.36av 1758	. . . . 5 ⊢ (∃x ∈ A (y ∈ B → y ∈ C) → (∀x ∈ A y ∈ B → y ∈ C))
10		visset 1810	. . . . . 6 ⊢ y ∈ V
11		eliin 2567	. . . . . 6 ⊢ (y ∈ V → (y ∈ ∩x ∈ A B ↔ ∀x ∈ A y ∈ B))
12	10, 11	ax-mp 7	. . . . 5 ⊢ (y ∈ ∩x ∈ A B ↔ ∀x ∈ A y ∈ B)
13	9, 12	syl5ib 206	. . . 4 ⊢ (∃x ∈ A (y ∈ B → y ∈ C) → (y ∈ ∩x ∈ A B → y ∈ C))
14	13	19.20i 991	. . 3 ⊢ (∀y∃x ∈ A (y ∈ B → y ∈ C) → ∀y(y ∈ ∩x ∈ A B → y ∈ C))
15	8, 14	syl 10	. 2 ⊢ (∃x ∈ A ∀y(y ∈ B → y ∈ C) → ∀y(y ∈ ∩x ∈ A B → y ∈ C))
16		dfss2 2055	. . 3 ⊢ (B ⊆ C ↔ ∀y(y ∈ B → y ∈ C))
17	16	rexbii 1666	. 2 ⊢ (∃x ∈ A B ⊆ C ↔ ∃x ∈ A ∀y(y ∈ B → y ∈ C))
18		dfss2 2055	. 2 ⊢ (∩x ∈ A B ⊆ C ↔ ∀y(y ∈ ∩x ∈ A B → y ∈ C))
19	15, 17, 18	3imtr4 219	1 ⊢ (∃x ∈ A B ⊆ C → ∩x ∈ A B ⊆ C)

Syntax hints:   → wi 3   ↔ wb 146   ⋀ wa 223  ∀wal 953   ∈ wcel 957  ∃wex 979  ∀wral 1643  ∃wrex 1644  Vcvv 1808   ⊆ wss 2044  ∩ciin 2563

This theorem is referenced by:  scott0 4700  iintlem2 10549

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-10 965  ax-12 967  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1209  ax-11o 1217  ax-ext 1458

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 980  df-sb 1171  df-clab 1463  df-cleq 1468  df-clel 1471  df-ral 1647  df-rex 1648  df-v 1809  df-in 2048  df-ss 2050  df-iin 2565

Copyright terms: Public domain