Theorem imadd 14487

Description: Imaginary part distributes over addition. (Contributed by NM, 18-Mar-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
imadd	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℑ‘(𝐴 + 𝐵)) = ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘𝐵)))

Proof of Theorem imadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recl 14463	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
2	1	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
3	2	recnd 10663	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℜ‘𝐴) ∈ ℂ)
4		ax-icn 10590	. . . . . 6 ⊢ i ∈ ℂ
5		imcl 14464	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
6	5	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
7	6	recnd 10663	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
8		mulcl 10615	. . . . . 6 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ) → (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
9	4, 7, 8	sylancr 589	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
10		recl 14463	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐵) ∈ ℝ)
11	10	adantl 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℜ‘𝐵) ∈ ℝ)
12	11	recnd 10663	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℜ‘𝐵) ∈ ℂ)
13		imcl 14464	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐵) ∈ ℝ)
14	13	adantl 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℑ‘𝐵) ∈ ℝ)
15	14	recnd 10663	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℑ‘𝐵) ∈ ℂ)
16		mulcl 10615	. . . . . 6 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐵) ∈ ℂ) → (i · (ℑ‘𝐵)) ∈ ℂ)
17	4, 15, 16	sylancr 589	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (i · (ℑ‘𝐵)) ∈ ℂ)
18	3, 9, 12, 17	add4d 10862	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))) + ((ℜ‘𝐵) + (i · (ℑ‘𝐵)))) = (((ℜ‘𝐴) + (ℜ‘𝐵)) + ((i · (ℑ‘𝐴)) + (i · (ℑ‘𝐵)))))
19		replim 14469	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 = ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))))
20		replim 14469	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → 𝐵 = ((ℜ‘𝐵) + (i · (ℑ‘𝐵))))
21	19, 20	oveqan12d 7169	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝐵) = (((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))) + ((ℜ‘𝐵) + (i · (ℑ‘𝐵)))))
22	4	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → i ∈ ℂ)
23	22, 7, 15	adddid 10659	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (i · ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘𝐵))) = ((i · (ℑ‘𝐴)) + (i · (ℑ‘𝐵))))
24	23	oveq2d 7166	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((ℜ‘𝐴) + (ℜ‘𝐵)) + (i · ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘𝐵)))) = (((ℜ‘𝐴) + (ℜ‘𝐵)) + ((i · (ℑ‘𝐴)) + (i · (ℑ‘𝐵)))))
25	18, 21, 24	3eqtr4d 2866	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝐵) = (((ℜ‘𝐴) + (ℜ‘𝐵)) + (i · ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘𝐵)))))
26	25	fveq2d 6668	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℑ‘(𝐴 + 𝐵)) = (ℑ‘(((ℜ‘𝐴) + (ℜ‘𝐵)) + (i · ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘𝐵))))))
27		readdcl 10614	. . . 4 ⊢ (((ℜ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (ℜ‘𝐵) ∈ ℝ) → ((ℜ‘𝐴) + (ℜ‘𝐵)) ∈ ℝ)
28	1, 10, 27	syl2an 597	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((ℜ‘𝐴) + (ℜ‘𝐵)) ∈ ℝ)
29		readdcl 10614	. . . 4 ⊢ (((ℑ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (ℑ‘𝐵) ∈ ℝ) → ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘𝐵)) ∈ ℝ)
30	5, 13, 29	syl2an 597	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘𝐵)) ∈ ℝ)
31		crim 14468	. . 3 ⊢ ((((ℜ‘𝐴) + (ℜ‘𝐵)) ∈ ℝ ∧ ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘𝐵)) ∈ ℝ) → (ℑ‘(((ℜ‘𝐴) + (ℜ‘𝐵)) + (i · ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘𝐵))))) = ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘𝐵)))
32	28, 30, 31	syl2anc 586	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℑ‘(((ℜ‘𝐴) + (ℜ‘𝐵)) + (i · ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘𝐵))))) = ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘𝐵)))
33	26, 32	eqtrd 2856	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℑ‘(𝐴 + 𝐵)) = ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  ‘cfv 6349  (class class class)co 7150  ℂcc 10529  ℝcr 10530  ici 10533   + caddc 10534   · cmul 10536  ℜcre 14450  ℑcim 14451

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-op 4567  df-uni 4832  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-id 5454  df-po 5468  df-so 5469  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-2 11694  df-cj 14452  df-re 14453  df-im 14454

This theorem is referenced by:  imsub  14488  cjadd  14494  imaddi  14538  imaddd  14568  fsumim  15158  gzaddcl  16267  logrnaddcl  25152  logimul  25191  atancj  25482  atanlogaddlem  25485  atanlogsublem  25487