MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imafi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem imafi 8806
Description: Images of finite sets are finite. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
imafi ((Fun 𝐹𝑋 ∈ Fin) → (𝐹𝑋) ∈ Fin)

Proof of Theorem imafi
StepHypRef Expression
1 imadmres 6085 . 2 (𝐹 “ dom (𝐹𝑋)) = (𝐹𝑋)
2 simpr 485 . . . 4 ((Fun 𝐹𝑋 ∈ Fin) → 𝑋 ∈ Fin)
3 dmres 5869 . . . . 5 dom (𝐹𝑋) = (𝑋 ∩ dom 𝐹)
4 inss1 4204 . . . . 5 (𝑋 ∩ dom 𝐹) ⊆ 𝑋
53, 4eqsstri 4000 . . . 4 dom (𝐹𝑋) ⊆ 𝑋
6 ssfi 8727 . . . 4 ((𝑋 ∈ Fin ∧ dom (𝐹𝑋) ⊆ 𝑋) → dom (𝐹𝑋) ∈ Fin)
72, 5, 6sylancl 586 . . 3 ((Fun 𝐹𝑋 ∈ Fin) → dom (𝐹𝑋) ∈ Fin)
8 resss 5872 . . . . 5 (𝐹𝑋) ⊆ 𝐹
9 dmss 5765 . . . . 5 ((𝐹𝑋) ⊆ 𝐹 → dom (𝐹𝑋) ⊆ dom 𝐹)
108, 9mp1i 13 . . . 4 ((Fun 𝐹𝑋 ∈ Fin) → dom (𝐹𝑋) ⊆ dom 𝐹)
11 fores 6594 . . . 4 ((Fun 𝐹 ∧ dom (𝐹𝑋) ⊆ dom 𝐹) → (𝐹 ↾ dom (𝐹𝑋)):dom (𝐹𝑋)–onto→(𝐹 “ dom (𝐹𝑋)))
1210, 11syldan 591 . . 3 ((Fun 𝐹𝑋 ∈ Fin) → (𝐹 ↾ dom (𝐹𝑋)):dom (𝐹𝑋)–onto→(𝐹 “ dom (𝐹𝑋)))
13 fofi 8799 . . 3 ((dom (𝐹𝑋) ∈ Fin ∧ (𝐹 ↾ dom (𝐹𝑋)):dom (𝐹𝑋)–onto→(𝐹 “ dom (𝐹𝑋))) → (𝐹 “ dom (𝐹𝑋)) ∈ Fin)
147, 12, 13syl2anc 584 . 2 ((Fun 𝐹𝑋 ∈ Fin) → (𝐹 “ dom (𝐹𝑋)) ∈ Fin)
151, 14eqeltrrid 2918 1 ((Fun 𝐹𝑋 ∈ Fin) → (𝐹𝑋) ∈ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wcel 2105  cin 3934  wss 3935  dom cdm 5549  cres 5551  cima 5552  Fun wfun 6343  ontowfo 6347  Fincfn 8498
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3772  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4833  df-br 5059  df-opab 5121  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-om 7569  df-1o 8093  df-er 8279  df-en 8499  df-dom 8500  df-fin 8502
This theorem is referenced by:  fissuni  8818  fipreima  8819  fsuppcolem  8853  cmpfi  21946  mdegldg  24589  mdegcl  24592  trlsegvdeglem6  27932  fsuppcurry1  30388  fsuppcurry2  30389  locfinreflem  31004  sibfof  31498  eulerpartlemgf  31537  poimirlem30  34804  ftc1anclem7  34855  ftc1anc  34857  elrfirn  39172  sge0f1o  42545
  Copyright terms: Public domain W3C validator