MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imafi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem imafi 8211
Description: Images of finite sets are finite. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
imafi ((Fun 𝐹𝑋 ∈ Fin) → (𝐹𝑋) ∈ Fin)

Proof of Theorem imafi
StepHypRef Expression
1 imadmres 5591 . 2 (𝐹 “ dom (𝐹𝑋)) = (𝐹𝑋)
2 simpr 477 . . . 4 ((Fun 𝐹𝑋 ∈ Fin) → 𝑋 ∈ Fin)
3 dmres 5383 . . . . 5 dom (𝐹𝑋) = (𝑋 ∩ dom 𝐹)
4 inss1 3816 . . . . 5 (𝑋 ∩ dom 𝐹) ⊆ 𝑋
53, 4eqsstri 3619 . . . 4 dom (𝐹𝑋) ⊆ 𝑋
6 ssfi 8132 . . . 4 ((𝑋 ∈ Fin ∧ dom (𝐹𝑋) ⊆ 𝑋) → dom (𝐹𝑋) ∈ Fin)
72, 5, 6sylancl 693 . . 3 ((Fun 𝐹𝑋 ∈ Fin) → dom (𝐹𝑋) ∈ Fin)
8 resss 5386 . . . . 5 (𝐹𝑋) ⊆ 𝐹
9 dmss 5288 . . . . 5 ((𝐹𝑋) ⊆ 𝐹 → dom (𝐹𝑋) ⊆ dom 𝐹)
108, 9mp1i 13 . . . 4 ((Fun 𝐹𝑋 ∈ Fin) → dom (𝐹𝑋) ⊆ dom 𝐹)
11 fores 6086 . . . 4 ((Fun 𝐹 ∧ dom (𝐹𝑋) ⊆ dom 𝐹) → (𝐹 ↾ dom (𝐹𝑋)):dom (𝐹𝑋)–onto→(𝐹 “ dom (𝐹𝑋)))
1210, 11syldan 487 . . 3 ((Fun 𝐹𝑋 ∈ Fin) → (𝐹 ↾ dom (𝐹𝑋)):dom (𝐹𝑋)–onto→(𝐹 “ dom (𝐹𝑋)))
13 fofi 8204 . . 3 ((dom (𝐹𝑋) ∈ Fin ∧ (𝐹 ↾ dom (𝐹𝑋)):dom (𝐹𝑋)–onto→(𝐹 “ dom (𝐹𝑋))) → (𝐹 “ dom (𝐹𝑋)) ∈ Fin)
147, 12, 13syl2anc 692 . 2 ((Fun 𝐹𝑋 ∈ Fin) → (𝐹 “ dom (𝐹𝑋)) ∈ Fin)
151, 14syl5eqelr 2703 1 ((Fun 𝐹𝑋 ∈ Fin) → (𝐹𝑋) ∈ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  wcel 1987  cin 3558  wss 3559  dom cdm 5079  cres 5081  cima 5082  Fun wfun 5846  ontowfo 5850  Fincfn 7907
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-br 4619  df-opab 4679  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-om 7020  df-1o 7512  df-er 7694  df-en 7908  df-dom 7909  df-fin 7911
This theorem is referenced by:  fissuni  8223  fipreima  8224  fsuppcolem  8258  cmpfi  21134  mdegldg  23747  mdegcl  23750  trlsegvdeglem6  26968  locfinreflem  29713  sibfof  30207  eulerpartlemgf  30246  poimirlem30  33106  ftc1anclem7  33158  ftc1anc  33160  elrfirn  36773  sge0f1o  39932
  Copyright terms: Public domain W3C validator