Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  imafi2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem imafi2 30374
Description: The image by a finite set is finite. See also imafi 8806. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Apr-2020.)
Assertion
Ref Expression
imafi2 (𝐴 ∈ Fin → (𝐴𝐵) ∈ Fin)

Proof of Theorem imafi2
StepHypRef Expression
1 df-ima 5562 . 2 (𝐴𝐵) = ran (𝐴𝐵)
2 resss 5872 . . . 4 (𝐴𝐵) ⊆ 𝐴
3 ssfi 8727 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐴𝐵) ⊆ 𝐴) → (𝐴𝐵) ∈ Fin)
42, 3mpan2 687 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → (𝐴𝐵) ∈ Fin)
5 rnfi 8796 . . 3 ((𝐴𝐵) ∈ Fin → ran (𝐴𝐵) ∈ Fin)
64, 5syl 17 . 2 (𝐴 ∈ Fin → ran (𝐴𝐵) ∈ Fin)
71, 6eqeltrid 2917 1 (𝐴 ∈ Fin → (𝐴𝐵) ∈ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2105  wss 3935  ran crn 5550  cres 5551  cima 5552  Fincfn 8498
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3772  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4833  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-om 7569  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-1o 8093  df-er 8279  df-en 8499  df-dom 8500  df-fin 8502
This theorem is referenced by:  gsummpt2d  30615  esum2d  31252
  Copyright terms: Public domain W3C validator