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Theorem imambfm 30102
Description: If the sigma-algebra in the range of a given function is generated by a collection of basic sets 𝐾, then to check the measurability of that function, we need only consider inverse images of basic sets 𝑎. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
imambfm.1 (𝜑𝐾 ∈ V)
imambfm.2 (𝜑𝑆 ran sigAlgebra)
imambfm.3 (𝜑𝑇 = (sigaGen‘𝐾))
Assertion
Ref Expression
imambfm (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝑆MblFnM𝑇) ↔ (𝐹: 𝑆 𝑇 ∧ ∀𝑎𝐾 (𝐹𝑎) ∈ 𝑆)))
Distinct variable groups:   𝐹,𝑎   𝐾,𝑎   𝑆,𝑎   𝑇,𝑎   𝜑,𝑎

Proof of Theorem imambfm
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imambfm.2 . . . . 5 (𝜑𝑆 ran sigAlgebra)
21adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝐹 ∈ (𝑆MblFnM𝑇)) → 𝑆 ran sigAlgebra)
3 imambfm.3 . . . . . 6 (𝜑𝑇 = (sigaGen‘𝐾))
4 imambfm.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐾 ∈ V)
54sgsiga 29983 . . . . . 6 (𝜑 → (sigaGen‘𝐾) ∈ ran sigAlgebra)
63, 5eqeltrd 2698 . . . . 5 (𝜑𝑇 ran sigAlgebra)
76adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝐹 ∈ (𝑆MblFnM𝑇)) → 𝑇 ran sigAlgebra)
8 simpr 477 . . . 4 ((𝜑𝐹 ∈ (𝑆MblFnM𝑇)) → 𝐹 ∈ (𝑆MblFnM𝑇))
92, 7, 8mbfmf 30095 . . 3 ((𝜑𝐹 ∈ (𝑆MblFnM𝑇)) → 𝐹: 𝑆 𝑇)
101ad2antrr 761 . . . . 5 (((𝜑𝐹 ∈ (𝑆MblFnM𝑇)) ∧ 𝑎𝐾) → 𝑆 ran sigAlgebra)
116ad2antrr 761 . . . . 5 (((𝜑𝐹 ∈ (𝑆MblFnM𝑇)) ∧ 𝑎𝐾) → 𝑇 ran sigAlgebra)
12 simplr 791 . . . . 5 (((𝜑𝐹 ∈ (𝑆MblFnM𝑇)) ∧ 𝑎𝐾) → 𝐹 ∈ (𝑆MblFnM𝑇))
13 sssigagen 29986 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ V → 𝐾 ⊆ (sigaGen‘𝐾))
144, 13syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐾 ⊆ (sigaGen‘𝐾))
1514, 3sseqtr4d 3621 . . . . . . 7 (𝜑𝐾𝑇)
1615ad2antrr 761 . . . . . 6 (((𝜑𝐹 ∈ (𝑆MblFnM𝑇)) ∧ 𝑎𝐾) → 𝐾𝑇)
17 simpr 477 . . . . . 6 (((𝜑𝐹 ∈ (𝑆MblFnM𝑇)) ∧ 𝑎𝐾) → 𝑎𝐾)
1816, 17sseldd 3584 . . . . 5 (((𝜑𝐹 ∈ (𝑆MblFnM𝑇)) ∧ 𝑎𝐾) → 𝑎𝑇)
1910, 11, 12, 18mbfmcnvima 30097 . . . 4 (((𝜑𝐹 ∈ (𝑆MblFnM𝑇)) ∧ 𝑎𝐾) → (𝐹𝑎) ∈ 𝑆)
2019ralrimiva 2960 . . 3 ((𝜑𝐹 ∈ (𝑆MblFnM𝑇)) → ∀𝑎𝐾 (𝐹𝑎) ∈ 𝑆)
219, 20jca 554 . 2 ((𝜑𝐹 ∈ (𝑆MblFnM𝑇)) → (𝐹: 𝑆 𝑇 ∧ ∀𝑎𝐾 (𝐹𝑎) ∈ 𝑆))
22 unielsiga 29969 . . . . . 6 (𝑇 ran sigAlgebra → 𝑇𝑇)
236, 22syl 17 . . . . 5 (𝜑 𝑇𝑇)
2423adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐹: 𝑆 𝑇 ∧ ∀𝑎𝐾 (𝐹𝑎) ∈ 𝑆)) → 𝑇𝑇)
25 unielsiga 29969 . . . . . 6 (𝑆 ran sigAlgebra → 𝑆𝑆)
261, 25syl 17 . . . . 5 (𝜑 𝑆𝑆)
2726adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐹: 𝑆 𝑇 ∧ ∀𝑎𝐾 (𝐹𝑎) ∈ 𝑆)) → 𝑆𝑆)
28 simprl 793 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐹: 𝑆 𝑇 ∧ ∀𝑎𝐾 (𝐹𝑎) ∈ 𝑆)) → 𝐹: 𝑆 𝑇)
29 elmapg 7815 . . . . 5 (( 𝑇𝑇 𝑆𝑆) → (𝐹 ∈ ( 𝑇𝑚 𝑆) ↔ 𝐹: 𝑆 𝑇))
3029biimpar 502 . . . 4 ((( 𝑇𝑇 𝑆𝑆) ∧ 𝐹: 𝑆 𝑇) → 𝐹 ∈ ( 𝑇𝑚 𝑆))
3124, 27, 28, 30syl21anc 1322 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐹: 𝑆 𝑇 ∧ ∀𝑎𝐾 (𝐹𝑎) ∈ 𝑆)) → 𝐹 ∈ ( 𝑇𝑚 𝑆))
323adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐹: 𝑆 𝑇 ∧ ∀𝑎𝐾 (𝐹𝑎) ∈ 𝑆)) → 𝑇 = (sigaGen‘𝐾))
33 simpl 473 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐹: 𝑆 𝑇 ∧ ∀𝑎𝐾 (𝐹𝑎) ∈ 𝑆)) → 𝜑)
34 ssrab2 3666 . . . . . . . . . . 11 {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆} ⊆ 𝑇
35 pwuni 4859 . . . . . . . . . . 11 𝑇 ⊆ 𝒫 𝑇
3634, 35sstri 3592 . . . . . . . . . 10 {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆} ⊆ 𝒫 𝑇
3736a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐹: 𝑆 𝑇 ∧ ∀𝑎𝐾 (𝐹𝑎) ∈ 𝑆)) → {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆} ⊆ 𝒫 𝑇)
38 fimacnv 6303 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹: 𝑆 𝑇 → (𝐹 𝑇) = 𝑆)
3938ad2antrl 763 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝐹: 𝑆 𝑇 ∧ ∀𝑎𝐾 (𝐹𝑎) ∈ 𝑆)) → (𝐹 𝑇) = 𝑆)
4039, 27eqeltrd 2698 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝐹: 𝑆 𝑇 ∧ ∀𝑎𝐾 (𝐹𝑎) ∈ 𝑆)) → (𝐹 𝑇) ∈ 𝑆)
41 imaeq2 5421 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 = 𝑇 → (𝐹𝑎) = (𝐹 𝑇))
4241eleq1d 2683 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 = 𝑇 → ((𝐹𝑎) ∈ 𝑆 ↔ (𝐹 𝑇) ∈ 𝑆))
4342elrab 3346 . . . . . . . . . . 11 ( 𝑇 ∈ {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆} ↔ ( 𝑇𝑇 ∧ (𝐹 𝑇) ∈ 𝑆))
4424, 40, 43sylanbrc 697 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐹: 𝑆 𝑇 ∧ ∀𝑎𝐾 (𝐹𝑎) ∈ 𝑆)) → 𝑇 ∈ {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆})
456ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝐹: 𝑆 𝑇 ∧ ∀𝑎𝐾 (𝐹𝑎) ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆}) → 𝑇 ran sigAlgebra)
4645, 22syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝐹: 𝑆 𝑇 ∧ ∀𝑎𝐾 (𝐹𝑎) ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆}) → 𝑇𝑇)
47 elrabi 3342 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆} → 𝑥𝑇)
4847adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝐹: 𝑆 𝑇 ∧ ∀𝑎𝐾 (𝐹𝑎) ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆}) → 𝑥𝑇)
49 difelsiga 29974 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑇 ran sigAlgebra ∧ 𝑇𝑇𝑥𝑇) → ( 𝑇𝑥) ∈ 𝑇)
5045, 46, 48, 49syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝐹: 𝑆 𝑇 ∧ ∀𝑎𝐾 (𝐹𝑎) ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆}) → ( 𝑇𝑥) ∈ 𝑇)
51 simplrl 799 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝐹: 𝑆 𝑇 ∧ ∀𝑎𝐾 (𝐹𝑎) ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆}) → 𝐹: 𝑆 𝑇)
52 ffun 6005 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹: 𝑆 𝑇 → Fun 𝐹)
53 difpreima 6299 . . . . . . . . . . . . . 14 (Fun 𝐹 → (𝐹 “ ( 𝑇𝑥)) = ((𝐹 𝑇) ∖ (𝐹𝑥)))
5451, 52, 533syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝐹: 𝑆 𝑇 ∧ ∀𝑎𝐾 (𝐹𝑎) ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆}) → (𝐹 “ ( 𝑇𝑥)) = ((𝐹 𝑇) ∖ (𝐹𝑥)))
5539difeq1d 3705 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝐹: 𝑆 𝑇 ∧ ∀𝑎𝐾 (𝐹𝑎) ∈ 𝑆)) → ((𝐹 𝑇) ∖ (𝐹𝑥)) = ( 𝑆 ∖ (𝐹𝑥)))
5655adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝐹: 𝑆 𝑇 ∧ ∀𝑎𝐾 (𝐹𝑎) ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆}) → ((𝐹 𝑇) ∖ (𝐹𝑥)) = ( 𝑆 ∖ (𝐹𝑥)))
571ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝐹: 𝑆 𝑇 ∧ ∀𝑎𝐾 (𝐹𝑎) ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆}) → 𝑆 ran sigAlgebra)
5857, 25syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝐹: 𝑆 𝑇 ∧ ∀𝑎𝐾 (𝐹𝑎) ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆}) → 𝑆𝑆)
59 imaeq2 5421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑎 = 𝑥 → (𝐹𝑎) = (𝐹𝑥))
6059eleq1d 2683 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑎 = 𝑥 → ((𝐹𝑎) ∈ 𝑆 ↔ (𝐹𝑥) ∈ 𝑆))
6160elrab 3346 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆} ↔ (𝑥𝑇 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑆))
6261simprbi 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆} → (𝐹𝑥) ∈ 𝑆)
6362adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝐹: 𝑆 𝑇 ∧ ∀𝑎𝐾 (𝐹𝑎) ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆}) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑆)
64 difelsiga 29974 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑆 ran sigAlgebra ∧ 𝑆𝑆 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑆) → ( 𝑆 ∖ (𝐹𝑥)) ∈ 𝑆)
6557, 58, 63, 64syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝐹: 𝑆 𝑇 ∧ ∀𝑎𝐾 (𝐹𝑎) ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆}) → ( 𝑆 ∖ (𝐹𝑥)) ∈ 𝑆)
6656, 65eqeltrd 2698 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝐹: 𝑆 𝑇 ∧ ∀𝑎𝐾 (𝐹𝑎) ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆}) → ((𝐹 𝑇) ∖ (𝐹𝑥)) ∈ 𝑆)
6754, 66eqeltrd 2698 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝐹: 𝑆 𝑇 ∧ ∀𝑎𝐾 (𝐹𝑎) ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆}) → (𝐹 “ ( 𝑇𝑥)) ∈ 𝑆)
68 imaeq2 5421 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 = ( 𝑇𝑥) → (𝐹𝑎) = (𝐹 “ ( 𝑇𝑥)))
6968eleq1d 2683 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 = ( 𝑇𝑥) → ((𝐹𝑎) ∈ 𝑆 ↔ (𝐹 “ ( 𝑇𝑥)) ∈ 𝑆))
7069elrab 3346 . . . . . . . . . . . 12 (( 𝑇𝑥) ∈ {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆} ↔ (( 𝑇𝑥) ∈ 𝑇 ∧ (𝐹 “ ( 𝑇𝑥)) ∈ 𝑆))
7150, 67, 70sylanbrc 697 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐹: 𝑆 𝑇 ∧ ∀𝑎𝐾 (𝐹𝑎) ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆}) → ( 𝑇𝑥) ∈ {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆})
7271ralrimiva 2960 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐹: 𝑆 𝑇 ∧ ∀𝑎𝐾 (𝐹𝑎) ∈ 𝑆)) → ∀𝑥 ∈ {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆} ( 𝑇𝑥) ∈ {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆})
736ad3antrrr 765 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝐹: 𝑆 𝑇 ∧ ∀𝑎𝐾 (𝐹𝑎) ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆}) ∧ 𝑥 ≼ ω) → 𝑇 ran sigAlgebra)
74 sspwb 4878 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ({𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆} ⊆ 𝑇 ↔ 𝒫 {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆} ⊆ 𝒫 𝑇)
7534, 74mpbi 220 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝒫 {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆} ⊆ 𝒫 𝑇
7675sseli 3579 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ 𝒫 {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆} → 𝑥 ∈ 𝒫 𝑇)
7776ad2antlr 762 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝐹: 𝑆 𝑇 ∧ ∀𝑎𝐾 (𝐹𝑎) ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆}) ∧ 𝑥 ≼ ω) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝑇)
78 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝐹: 𝑆 𝑇 ∧ ∀𝑎𝐾 (𝐹𝑎) ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆}) ∧ 𝑥 ≼ ω) → 𝑥 ≼ ω)
79 sigaclcu 29958 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑇 ran sigAlgebra ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑇𝑥 ≼ ω) → 𝑥𝑇)
8073, 77, 78, 79syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝐹: 𝑆 𝑇 ∧ ∀𝑎𝐾 (𝐹𝑎) ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆}) ∧ 𝑥 ≼ ω) → 𝑥𝑇)
81 simpllr 798 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝐹: 𝑆 𝑇 ∧ ∀𝑎𝐾 (𝐹𝑎) ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆}) ∧ 𝑥 ≼ ω) → (𝐹: 𝑆 𝑇 ∧ ∀𝑎𝐾 (𝐹𝑎) ∈ 𝑆))
8281simpld 475 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝐹: 𝑆 𝑇 ∧ ∀𝑎𝐾 (𝐹𝑎) ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆}) ∧ 𝑥 ≼ ω) → 𝐹: 𝑆 𝑇)
83 unipreima 29285 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Fun 𝐹 → (𝐹 𝑥) = 𝑦𝑥 (𝐹𝑦))
8482, 52, 833syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝐹: 𝑆 𝑇 ∧ ∀𝑎𝐾 (𝐹𝑎) ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆}) ∧ 𝑥 ≼ ω) → (𝐹 𝑥) = 𝑦𝑥 (𝐹𝑦))
851ad3antrrr 765 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝐹: 𝑆 𝑇 ∧ ∀𝑎𝐾 (𝐹𝑎) ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆}) ∧ 𝑥 ≼ ω) → 𝑆 ran sigAlgebra)
86 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑 ∧ (𝐹: 𝑆 𝑇 ∧ ∀𝑎𝐾 (𝐹𝑎) ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆}) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑦𝑥)
87 simpllr 798 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑 ∧ (𝐹: 𝑆 𝑇 ∧ ∀𝑎𝐾 (𝐹𝑎) ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆}) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆})
88 elelpwi 4142 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦𝑥𝑥 ∈ 𝒫 {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆}) → 𝑦 ∈ {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆})
8986, 87, 88syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑 ∧ (𝐹: 𝑆 𝑇 ∧ ∀𝑎𝐾 (𝐹𝑎) ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆}) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑦 ∈ {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆})
90 imaeq2 5421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑎 = 𝑦 → (𝐹𝑎) = (𝐹𝑦))
9190eleq1d 2683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑎 = 𝑦 → ((𝐹𝑎) ∈ 𝑆 ↔ (𝐹𝑦) ∈ 𝑆))
9291elrab 3346 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 ∈ {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆} ↔ (𝑦𝑇 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑆))
9392simprbi 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆} → (𝐹𝑦) ∈ 𝑆)
9489, 93syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑 ∧ (𝐹: 𝑆 𝑇 ∧ ∀𝑎𝐾 (𝐹𝑎) ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆}) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑦𝑥) → (𝐹𝑦) ∈ 𝑆)
9594ralrimiva 2960 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝐹: 𝑆 𝑇 ∧ ∀𝑎𝐾 (𝐹𝑎) ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆}) ∧ 𝑥 ≼ ω) → ∀𝑦𝑥 (𝐹𝑦) ∈ 𝑆)
96 nfcv 2761 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑦𝑥
9796sigaclcuni 29959 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑆 ran sigAlgebra ∧ ∀𝑦𝑥 (𝐹𝑦) ∈ 𝑆𝑥 ≼ ω) → 𝑦𝑥 (𝐹𝑦) ∈ 𝑆)
9885, 95, 78, 97syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝐹: 𝑆 𝑇 ∧ ∀𝑎𝐾 (𝐹𝑎) ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆}) ∧ 𝑥 ≼ ω) → 𝑦𝑥 (𝐹𝑦) ∈ 𝑆)
9984, 98eqeltrd 2698 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝐹: 𝑆 𝑇 ∧ ∀𝑎𝐾 (𝐹𝑎) ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆}) ∧ 𝑥 ≼ ω) → (𝐹 𝑥) ∈ 𝑆)
100 imaeq2 5421 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎 = 𝑥 → (𝐹𝑎) = (𝐹 𝑥))
101100eleq1d 2683 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 = 𝑥 → ((𝐹𝑎) ∈ 𝑆 ↔ (𝐹 𝑥) ∈ 𝑆))
102101elrab 3346 . . . . . . . . . . . . 13 ( 𝑥 ∈ {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆} ↔ ( 𝑥𝑇 ∧ (𝐹 𝑥) ∈ 𝑆))
10380, 99, 102sylanbrc 697 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝐹: 𝑆 𝑇 ∧ ∀𝑎𝐾 (𝐹𝑎) ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆}) ∧ 𝑥 ≼ ω) → 𝑥 ∈ {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆})
104103ex 450 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐹: 𝑆 𝑇 ∧ ∀𝑎𝐾 (𝐹𝑎) ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆}) → (𝑥 ≼ ω → 𝑥 ∈ {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆}))
105104ralrimiva 2960 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐹: 𝑆 𝑇 ∧ ∀𝑎𝐾 (𝐹𝑎) ∈ 𝑆)) → ∀𝑥 ∈ 𝒫 {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆} (𝑥 ≼ ω → 𝑥 ∈ {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆}))
10644, 72, 1053jca 1240 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐹: 𝑆 𝑇 ∧ ∀𝑎𝐾 (𝐹𝑎) ∈ 𝑆)) → ( 𝑇 ∈ {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆} ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆} ( 𝑇𝑥) ∈ {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆} ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆} (𝑥 ≼ ω → 𝑥 ∈ {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆})))
107 rabexg 4772 . . . . . . . . . . 11 (𝑇 ran sigAlgebra → {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆} ∈ V)
108 issiga 29952 . . . . . . . . . . 11 ({𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆} ∈ V → ({𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆} ∈ (sigAlgebra‘ 𝑇) ↔ ({𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆} ⊆ 𝒫 𝑇 ∧ ( 𝑇 ∈ {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆} ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆} ( 𝑇𝑥) ∈ {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆} ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆} (𝑥 ≼ ω → 𝑥 ∈ {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆})))))
1096, 107, 1083syl 18 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ({𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆} ∈ (sigAlgebra‘ 𝑇) ↔ ({𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆} ⊆ 𝒫 𝑇 ∧ ( 𝑇 ∈ {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆} ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆} ( 𝑇𝑥) ∈ {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆} ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆} (𝑥 ≼ ω → 𝑥 ∈ {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆})))))
110109biimpar 502 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ({𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆} ⊆ 𝒫 𝑇 ∧ ( 𝑇 ∈ {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆} ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆} ( 𝑇𝑥) ∈ {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆} ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆} (𝑥 ≼ ω → 𝑥 ∈ {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆})))) → {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆} ∈ (sigAlgebra‘ 𝑇))
11133, 37, 106, 110syl12anc 1321 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐹: 𝑆 𝑇 ∧ ∀𝑎𝐾 (𝐹𝑎) ∈ 𝑆)) → {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆} ∈ (sigAlgebra‘ 𝑇))
1123unieqd 4412 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 𝑇 = (sigaGen‘𝐾))
113 unisg 29984 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ V → (sigaGen‘𝐾) = 𝐾)
1144, 113syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 (sigaGen‘𝐾) = 𝐾)
115112, 114eqtrd 2655 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 𝑇 = 𝐾)
116115fveq2d 6152 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (sigAlgebra‘ 𝑇) = (sigAlgebra‘ 𝐾))
117116eleq2d 2684 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ({𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆} ∈ (sigAlgebra‘ 𝑇) ↔ {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆} ∈ (sigAlgebra‘ 𝐾)))
118117adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐹: 𝑆 𝑇 ∧ ∀𝑎𝐾 (𝐹𝑎) ∈ 𝑆)) → ({𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆} ∈ (sigAlgebra‘ 𝑇) ↔ {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆} ∈ (sigAlgebra‘ 𝐾)))
119111, 118mpbid 222 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐹: 𝑆 𝑇 ∧ ∀𝑎𝐾 (𝐹𝑎) ∈ 𝑆)) → {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆} ∈ (sigAlgebra‘ 𝐾))
12015adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐹: 𝑆 𝑇 ∧ ∀𝑎𝐾 (𝐹𝑎) ∈ 𝑆)) → 𝐾𝑇)
121 simprr 795 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐹: 𝑆 𝑇 ∧ ∀𝑎𝐾 (𝐹𝑎) ∈ 𝑆)) → ∀𝑎𝐾 (𝐹𝑎) ∈ 𝑆)
122 ssrab 3659 . . . . . . . 8 (𝐾 ⊆ {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆} ↔ (𝐾𝑇 ∧ ∀𝑎𝐾 (𝐹𝑎) ∈ 𝑆))
123120, 121, 122sylanbrc 697 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐹: 𝑆 𝑇 ∧ ∀𝑎𝐾 (𝐹𝑎) ∈ 𝑆)) → 𝐾 ⊆ {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆})
124 sigagenss 29990 . . . . . . 7 (({𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆} ∈ (sigAlgebra‘ 𝐾) ∧ 𝐾 ⊆ {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆}) → (sigaGen‘𝐾) ⊆ {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆})
125119, 123, 124syl2anc 692 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐹: 𝑆 𝑇 ∧ ∀𝑎𝐾 (𝐹𝑎) ∈ 𝑆)) → (sigaGen‘𝐾) ⊆ {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆})
12632, 125eqsstrd 3618 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐹: 𝑆 𝑇 ∧ ∀𝑎𝐾 (𝐹𝑎) ∈ 𝑆)) → 𝑇 ⊆ {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆})
12734a1i 11 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐹: 𝑆 𝑇 ∧ ∀𝑎𝐾 (𝐹𝑎) ∈ 𝑆)) → {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆} ⊆ 𝑇)
128126, 127eqssd 3600 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐹: 𝑆 𝑇 ∧ ∀𝑎𝐾 (𝐹𝑎) ∈ 𝑆)) → 𝑇 = {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆})
129 rabid2 3107 . . . 4 (𝑇 = {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆} ↔ ∀𝑎𝑇 (𝐹𝑎) ∈ 𝑆)
130128, 129sylib 208 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐹: 𝑆 𝑇 ∧ ∀𝑎𝐾 (𝐹𝑎) ∈ 𝑆)) → ∀𝑎𝑇 (𝐹𝑎) ∈ 𝑆)
1311adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐹: 𝑆 𝑇 ∧ ∀𝑎𝐾 (𝐹𝑎) ∈ 𝑆)) → 𝑆 ran sigAlgebra)
1326adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐹: 𝑆 𝑇 ∧ ∀𝑎𝐾 (𝐹𝑎) ∈ 𝑆)) → 𝑇 ran sigAlgebra)
133131, 132ismbfm 30092 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐹: 𝑆 𝑇 ∧ ∀𝑎𝐾 (𝐹𝑎) ∈ 𝑆)) → (𝐹 ∈ (𝑆MblFnM𝑇) ↔ (𝐹 ∈ ( 𝑇𝑚 𝑆) ∧ ∀𝑎𝑇 (𝐹𝑎) ∈ 𝑆)))
13431, 130, 133mpbir2and 956 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐹: 𝑆 𝑇 ∧ ∀𝑎𝐾 (𝐹𝑎) ∈ 𝑆)) → 𝐹 ∈ (𝑆MblFnM𝑇))
13521, 134impbida 876 1 (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝑆MblFnM𝑇) ↔ (𝐹: 𝑆 𝑇 ∧ ∀𝑎𝐾 (𝐹𝑎) ∈ 𝑆)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2907  {crab 2911  Vcvv 3186  cdif 3552  wss 3555  𝒫 cpw 4130   cuni 4402   ciun 4485   class class class wbr 4613  ccnv 5073  ran crn 5075  cima 5077  Fun wfun 5841  wf 5843  cfv 5847  (class class class)co 6604  ωcom 7012  𝑚 cmap 7802  cdom 7897  sigAlgebracsiga 29948  sigaGencsigagen 29979  MblFnMcmbfm 30090
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-ac2 9229
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-iin 4488  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-oi 8359  df-card 8709  df-acn 8712  df-ac 8883  df-cda 8934  df-siga 29949  df-sigagen 29980  df-mbfm 30091
This theorem is referenced by:  cnmbfm  30103  mbfmco2  30105
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