MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imasdsval2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem imasdsval2 16097
Description: The distance function of an image structure. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.) (Revised by AV, 6-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
imasbas.u (𝜑𝑈 = (𝐹s 𝑅))
imasbas.v (𝜑𝑉 = (Base‘𝑅))
imasbas.f (𝜑𝐹:𝑉onto𝐵)
imasbas.r (𝜑𝑅𝑍)
imasds.e 𝐸 = (dist‘𝑅)
imasds.d 𝐷 = (dist‘𝑈)
imasdsval.x (𝜑𝑋𝐵)
imasdsval.y (𝜑𝑌𝐵)
imasdsval.s 𝑆 = { ∈ ((𝑉 × 𝑉) ↑𝑚 (1...𝑛)) ∣ ((𝐹‘(1st ‘(‘1))) = 𝑋 ∧ (𝐹‘(2nd ‘(𝑛))) = 𝑌 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...(𝑛 − 1))(𝐹‘(2nd ‘(𝑖))) = (𝐹‘(1st ‘(‘(𝑖 + 1)))))}
imasds.u 𝑇 = (𝐸 ↾ (𝑉 × 𝑉))
Assertion
Ref Expression
imasdsval2 (𝜑 → (𝑋𝐷𝑌) = inf( 𝑛 ∈ ℕ ran (𝑔𝑆 ↦ (ℝ*𝑠 Σg (𝑇𝑔))), ℝ*, < ))
Distinct variable groups:   𝑔,,𝑖,𝑛,𝐹   𝑅,𝑔,,𝑖,𝑛   𝜑,𝑔,,𝑖,𝑛   ,𝑋,𝑛   𝑆,𝑔   𝑔,𝑉,   ,𝑌,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑔,,𝑖,𝑛)   𝐷(𝑔,,𝑖,𝑛)   𝑆(,𝑖,𝑛)   𝑇(𝑔,,𝑖,𝑛)   𝑈(𝑔,,𝑖,𝑛)   𝐸(𝑔,,𝑖,𝑛)   𝑉(𝑖,𝑛)   𝑋(𝑔,𝑖)   𝑌(𝑔,𝑖)   𝑍(𝑔,,𝑖,𝑛)

Proof of Theorem imasdsval2
StepHypRef Expression
1 imasbas.u . . 3 (𝜑𝑈 = (𝐹s 𝑅))
2 imasbas.v . . 3 (𝜑𝑉 = (Base‘𝑅))
3 imasbas.f . . 3 (𝜑𝐹:𝑉onto𝐵)
4 imasbas.r . . 3 (𝜑𝑅𝑍)
5 imasds.e . . 3 𝐸 = (dist‘𝑅)
6 imasds.d . . 3 𝐷 = (dist‘𝑈)
7 imasdsval.x . . 3 (𝜑𝑋𝐵)
8 imasdsval.y . . 3 (𝜑𝑌𝐵)
9 imasdsval.s . . 3 𝑆 = { ∈ ((𝑉 × 𝑉) ↑𝑚 (1...𝑛)) ∣ ((𝐹‘(1st ‘(‘1))) = 𝑋 ∧ (𝐹‘(2nd ‘(𝑛))) = 𝑌 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...(𝑛 − 1))(𝐹‘(2nd ‘(𝑖))) = (𝐹‘(1st ‘(‘(𝑖 + 1)))))}
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9imasdsval 16096 . 2 (𝜑 → (𝑋𝐷𝑌) = inf( 𝑛 ∈ ℕ ran (𝑔𝑆 ↦ (ℝ*𝑠 Σg (𝐸𝑔))), ℝ*, < ))
11 imasds.u . . . . . . . . . 10 𝑇 = (𝐸 ↾ (𝑉 × 𝑉))
1211coeq1i 5241 . . . . . . . . 9 (𝑇𝑔) = ((𝐸 ↾ (𝑉 × 𝑉)) ∘ 𝑔)
13 ssrab2 3666 . . . . . . . . . . . 12 { ∈ ((𝑉 × 𝑉) ↑𝑚 (1...𝑛)) ∣ ((𝐹‘(1st ‘(‘1))) = 𝑋 ∧ (𝐹‘(2nd ‘(𝑛))) = 𝑌 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...(𝑛 − 1))(𝐹‘(2nd ‘(𝑖))) = (𝐹‘(1st ‘(‘(𝑖 + 1)))))} ⊆ ((𝑉 × 𝑉) ↑𝑚 (1...𝑛))
149, 13eqsstri 3614 . . . . . . . . . . 11 𝑆 ⊆ ((𝑉 × 𝑉) ↑𝑚 (1...𝑛))
1514sseli 3579 . . . . . . . . . 10 (𝑔𝑆𝑔 ∈ ((𝑉 × 𝑉) ↑𝑚 (1...𝑛)))
16 elmapi 7823 . . . . . . . . . 10 (𝑔 ∈ ((𝑉 × 𝑉) ↑𝑚 (1...𝑛)) → 𝑔:(1...𝑛)⟶(𝑉 × 𝑉))
17 frn 6010 . . . . . . . . . 10 (𝑔:(1...𝑛)⟶(𝑉 × 𝑉) → ran 𝑔 ⊆ (𝑉 × 𝑉))
18 cores 5597 . . . . . . . . . 10 (ran 𝑔 ⊆ (𝑉 × 𝑉) → ((𝐸 ↾ (𝑉 × 𝑉)) ∘ 𝑔) = (𝐸𝑔))
1915, 16, 17, 184syl 19 . . . . . . . . 9 (𝑔𝑆 → ((𝐸 ↾ (𝑉 × 𝑉)) ∘ 𝑔) = (𝐸𝑔))
2012, 19syl5eq 2667 . . . . . . . 8 (𝑔𝑆 → (𝑇𝑔) = (𝐸𝑔))
2120oveq2d 6620 . . . . . . 7 (𝑔𝑆 → (ℝ*𝑠 Σg (𝑇𝑔)) = (ℝ*𝑠 Σg (𝐸𝑔)))
2221mpteq2ia 4700 . . . . . 6 (𝑔𝑆 ↦ (ℝ*𝑠 Σg (𝑇𝑔))) = (𝑔𝑆 ↦ (ℝ*𝑠 Σg (𝐸𝑔)))
2322rneqi 5312 . . . . 5 ran (𝑔𝑆 ↦ (ℝ*𝑠 Σg (𝑇𝑔))) = ran (𝑔𝑆 ↦ (ℝ*𝑠 Σg (𝐸𝑔)))
2423a1i 11 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ → ran (𝑔𝑆 ↦ (ℝ*𝑠 Σg (𝑇𝑔))) = ran (𝑔𝑆 ↦ (ℝ*𝑠 Σg (𝐸𝑔))))
2524iuneq2i 4505 . . 3 𝑛 ∈ ℕ ran (𝑔𝑆 ↦ (ℝ*𝑠 Σg (𝑇𝑔))) = 𝑛 ∈ ℕ ran (𝑔𝑆 ↦ (ℝ*𝑠 Σg (𝐸𝑔)))
2625infeq1i 8328 . 2 inf( 𝑛 ∈ ℕ ran (𝑔𝑆 ↦ (ℝ*𝑠 Σg (𝑇𝑔))), ℝ*, < ) = inf( 𝑛 ∈ ℕ ran (𝑔𝑆 ↦ (ℝ*𝑠 Σg (𝐸𝑔))), ℝ*, < )
2710, 26syl6eqr 2673 1 (𝜑 → (𝑋𝐷𝑌) = inf( 𝑛 ∈ ℕ ran (𝑔𝑆 ↦ (ℝ*𝑠 Σg (𝑇𝑔))), ℝ*, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2907  {crab 2911  wss 3555   ciun 4485  cmpt 4673   × cxp 5072  ran crn 5075  cres 5076  ccom 5078  wf 5843  ontowfo 5845  cfv 5847  (class class class)co 6604  1st c1st 7111  2nd c2nd 7112  𝑚 cmap 7802  infcinf 8291  1c1 9881   + caddc 9883  *cxr 10017   < clt 10018  cmin 10210  cn 10964  ...cfz 12268  Basecbs 15781  distcds 15871   Σg cgsu 16022  *𝑠cxrs 16081  s cimas 16085
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-sup 8292  df-inf 8293  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-fz 12269  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-sca 15878  df-vsca 15879  df-ip 15880  df-tset 15881  df-ple 15882  df-ds 15885  df-imas 16089
This theorem is referenced by:  imasdsf1olem  22088
  Copyright terms: Public domain W3C validator