Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imasf1obl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem imasf1obl 22216
 Description: The image of a metric space ball. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
imasf1obl.u (𝜑𝑈 = (𝐹s 𝑅))
imasf1obl.v (𝜑𝑉 = (Base‘𝑅))
imasf1obl.f (𝜑𝐹:𝑉1-1-onto𝐵)
imasf1obl.r (𝜑𝑅𝑍)
imasf1obl.e 𝐸 = ((dist‘𝑅) ↾ (𝑉 × 𝑉))
imasf1obl.d 𝐷 = (dist‘𝑈)
imasf1obl.m (𝜑𝐸 ∈ (∞Met‘𝑉))
imasf1obl.x (𝜑𝑃𝑉)
imasf1obl.s (𝜑𝑆 ∈ ℝ*)
Assertion
Ref Expression
imasf1obl (𝜑 → ((𝐹𝑃)(ball‘𝐷)𝑆) = (𝐹 “ (𝑃(ball‘𝐸)𝑆)))

Proof of Theorem imasf1obl
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imasf1obl.f . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹:𝑉1-1-onto𝐵)
2 f1ocnvfv2 6493 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:𝑉1-1-onto𝐵𝑥𝐵) → (𝐹‘(𝐹𝑥)) = 𝑥)
31, 2sylan 488 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝐹‘(𝐹𝑥)) = 𝑥)
43oveq2d 6626 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐵) → ((𝐹𝑃)𝐷(𝐹‘(𝐹𝑥))) = ((𝐹𝑃)𝐷𝑥))
5 imasf1obl.u . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑈 = (𝐹s 𝑅))
65adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑈 = (𝐹s 𝑅))
7 imasf1obl.v . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑉 = (Base‘𝑅))
87adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑉 = (Base‘𝑅))
91adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝐹:𝑉1-1-onto𝐵)
10 imasf1obl.r . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑅𝑍)
1110adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑅𝑍)
12 imasf1obl.e . . . . . . . . 9 𝐸 = ((dist‘𝑅) ↾ (𝑉 × 𝑉))
13 imasf1obl.d . . . . . . . . 9 𝐷 = (dist‘𝑈)
14 imasf1obl.m . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐸 ∈ (∞Met‘𝑉))
1514adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑉))
16 imasf1obl.x . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑃𝑉)
1716adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑃𝑉)
18 f1ocnv 6111 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:𝑉1-1-onto𝐵𝐹:𝐵1-1-onto𝑉)
191, 18syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹:𝐵1-1-onto𝑉)
20 f1of 6099 . . . . . . . . . . 11 (𝐹:𝐵1-1-onto𝑉𝐹:𝐵𝑉)
2119, 20syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹:𝐵𝑉)
2221ffvelrnda 6320 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑉)
236, 8, 9, 11, 12, 13, 15, 17, 22imasdsf1o 22102 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐵) → ((𝐹𝑃)𝐷(𝐹‘(𝐹𝑥))) = (𝑃𝐸(𝐹𝑥)))
244, 23eqtr3d 2657 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐵) → ((𝐹𝑃)𝐷𝑥) = (𝑃𝐸(𝐹𝑥)))
2524breq1d 4628 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐵) → (((𝐹𝑃)𝐷𝑥) < 𝑆 ↔ (𝑃𝐸(𝐹𝑥)) < 𝑆))
26 imasf1obl.s . . . . . . . 8 (𝜑𝑆 ∈ ℝ*)
2726adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑆 ∈ ℝ*)
28 elbl2 22118 . . . . . . 7 (((𝐸 ∈ (∞Met‘𝑉) ∧ 𝑆 ∈ ℝ*) ∧ (𝑃𝑉 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑉)) → ((𝐹𝑥) ∈ (𝑃(ball‘𝐸)𝑆) ↔ (𝑃𝐸(𝐹𝑥)) < 𝑆))
2915, 27, 17, 22, 28syl22anc 1324 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐵) → ((𝐹𝑥) ∈ (𝑃(ball‘𝐸)𝑆) ↔ (𝑃𝐸(𝐹𝑥)) < 𝑆))
3025, 29bitr4d 271 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐵) → (((𝐹𝑃)𝐷𝑥) < 𝑆 ↔ (𝐹𝑥) ∈ (𝑃(ball‘𝐸)𝑆)))
3130pm5.32da 672 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥𝐵 ∧ ((𝐹𝑃)𝐷𝑥) < 𝑆) ↔ (𝑥𝐵 ∧ (𝐹𝑥) ∈ (𝑃(ball‘𝐸)𝑆))))
325, 7, 1, 10, 12, 13, 14imasf1oxmet 22103 . . . . 5 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝐵))
33 f1of 6099 . . . . . . 7 (𝐹:𝑉1-1-onto𝐵𝐹:𝑉𝐵)
341, 33syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐹:𝑉𝐵)
3534, 16ffvelrnd 6321 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹𝑃) ∈ 𝐵)
36 elbl 22116 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝐵) ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝐵𝑆 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ ((𝐹𝑃)(ball‘𝐷)𝑆) ↔ (𝑥𝐵 ∧ ((𝐹𝑃)𝐷𝑥) < 𝑆)))
3732, 35, 26, 36syl3anc 1323 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝐹𝑃)(ball‘𝐷)𝑆) ↔ (𝑥𝐵 ∧ ((𝐹𝑃)𝐷𝑥) < 𝑆)))
38 f1ofn 6100 . . . . 5 (𝐹:𝐵1-1-onto𝑉𝐹 Fn 𝐵)
39 elpreima 6298 . . . . 5 (𝐹 Fn 𝐵 → (𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑃(ball‘𝐸)𝑆)) ↔ (𝑥𝐵 ∧ (𝐹𝑥) ∈ (𝑃(ball‘𝐸)𝑆))))
4019, 38, 393syl 18 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑃(ball‘𝐸)𝑆)) ↔ (𝑥𝐵 ∧ (𝐹𝑥) ∈ (𝑃(ball‘𝐸)𝑆))))
4131, 37, 403bitr4d 300 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝐹𝑃)(ball‘𝐷)𝑆) ↔ 𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑃(ball‘𝐸)𝑆))))
4241eqrdv 2619 . 2 (𝜑 → ((𝐹𝑃)(ball‘𝐷)𝑆) = (𝐹 “ (𝑃(ball‘𝐸)𝑆)))
43 imacnvcnv 5563 . 2 (𝐹 “ (𝑃(ball‘𝐸)𝑆)) = (𝐹 “ (𝑃(ball‘𝐸)𝑆))
4442, 43syl6eq 2671 1 (𝜑 → ((𝐹𝑃)(ball‘𝐷)𝑆) = (𝐹 “ (𝑃(ball‘𝐸)𝑆)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   class class class wbr 4618   × cxp 5077  ◡ccnv 5078   ↾ cres 5081   “ cima 5082   Fn wfn 5847  ⟶wf 5848  –1-1-onto→wf1o 5851  ‘cfv 5852  (class class class)co 6610  ℝ*cxr 10025   < clt 10026  Basecbs 15792  distcds 15882   “s cimas 16096  ∞Metcxmt 19663  ballcbl 19665 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-inf2 8490  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965  ax-pre-sup 9966 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-iin 4493  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-isom 5861  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-of 6857  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-supp 7248  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-oadd 7516  df-er 7694  df-map 7811  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-fin 7911  df-fsupp 8228  df-sup 8300  df-inf 8301  df-oi 8367  df-card 8717  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-div 10637  df-nn 10973  df-2 11031  df-3 11032  df-4 11033  df-5 11034  df-6 11035  df-7 11036  df-8 11037  df-9 11038  df-n0 11245  df-z 11330  df-dec 11446  df-uz 11640  df-rp 11785  df-xneg 11898  df-xadd 11899  df-xmul 11900  df-fz 12277  df-fzo 12415  df-seq 12750  df-hash 13066  df-struct 15794  df-ndx 15795  df-slot 15796  df-base 15797  df-sets 15798  df-ress 15799  df-plusg 15886  df-mulr 15887  df-sca 15889  df-vsca 15890  df-ip 15891  df-tset 15892  df-ple 15893  df-ds 15896  df-0g 16034  df-gsum 16035  df-xrs 16094  df-imas 16100  df-mre 16178  df-mrc 16179  df-acs 16181  df-mgm 17174  df-sgrp 17216  df-mnd 17227  df-submnd 17268  df-mulg 17473  df-cntz 17682  df-cmn 18127  df-psmet 19670  df-xmet 19671  df-bl 19673 This theorem is referenced by:  imasf1oxms  22217
 Copyright terms: Public domain W3C validator