MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imasf1oxmet Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem imasf1oxmet 22099
Description: The image of an extended metric is an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
imasf1oxmet.u (𝜑𝑈 = (𝐹s 𝑅))
imasf1oxmet.v (𝜑𝑉 = (Base‘𝑅))
imasf1oxmet.f (𝜑𝐹:𝑉1-1-onto𝐵)
imasf1oxmet.r (𝜑𝑅𝑍)
imasf1oxmet.e 𝐸 = ((dist‘𝑅) ↾ (𝑉 × 𝑉))
imasf1oxmet.d 𝐷 = (dist‘𝑈)
imasf1oxmet.m (𝜑𝐸 ∈ (∞Met‘𝑉))
Assertion
Ref Expression
imasf1oxmet (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝐵))

Proof of Theorem imasf1oxmet
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 𝑦 𝑧 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imasf1oxmet.u . . . 4 (𝜑𝑈 = (𝐹s 𝑅))
2 imasf1oxmet.v . . . 4 (𝜑𝑉 = (Base‘𝑅))
3 imasf1oxmet.f . . . . 5 (𝜑𝐹:𝑉1-1-onto𝐵)
4 f1ofo 6106 . . . . 5 (𝐹:𝑉1-1-onto𝐵𝐹:𝑉onto𝐵)
53, 4syl 17 . . . 4 (𝜑𝐹:𝑉onto𝐵)
6 imasf1oxmet.r . . . 4 (𝜑𝑅𝑍)
7 eqid 2621 . . . 4 (dist‘𝑅) = (dist‘𝑅)
8 imasf1oxmet.d . . . 4 𝐷 = (dist‘𝑈)
91, 2, 5, 6, 7, 8imasdsfn 16102 . . 3 (𝜑𝐷 Fn (𝐵 × 𝐵))
101adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → 𝑈 = (𝐹s 𝑅))
112adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → 𝑉 = (Base‘𝑅))
123adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → 𝐹:𝑉1-1-onto𝐵)
136adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → 𝑅𝑍)
14 imasf1oxmet.e . . . . . . . 8 𝐸 = ((dist‘𝑅) ↾ (𝑉 × 𝑉))
15 imasf1oxmet.m . . . . . . . . 9 (𝜑𝐸 ∈ (∞Met‘𝑉))
1615adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑉))
17 simprl 793 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → 𝑎𝑉)
18 simprr 795 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → 𝑏𝑉)
1910, 11, 12, 13, 14, 8, 16, 17, 18imasdsf1o 22098 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → ((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) = (𝑎𝐸𝑏))
20 xmetcl 22055 . . . . . . . . 9 ((𝐸 ∈ (∞Met‘𝑉) ∧ 𝑎𝑉𝑏𝑉) → (𝑎𝐸𝑏) ∈ ℝ*)
21203expb 1263 . . . . . . . 8 ((𝐸 ∈ (∞Met‘𝑉) ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → (𝑎𝐸𝑏) ∈ ℝ*)
2215, 21sylan 488 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → (𝑎𝐸𝑏) ∈ ℝ*)
2319, 22eqeltrd 2698 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → ((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) ∈ ℝ*)
2423ralrimivva 2966 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑎𝑉𝑏𝑉 ((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) ∈ ℝ*)
25 f1ofn 6100 . . . . . . . . 9 (𝐹:𝑉1-1-onto𝐵𝐹 Fn 𝑉)
263, 25syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 Fn 𝑉)
27 oveq2 6618 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (𝐹𝑏) → ((𝐹𝑎)𝐷𝑦) = ((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)))
2827eleq1d 2683 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (𝐹𝑏) → (((𝐹𝑎)𝐷𝑦) ∈ ℝ* ↔ ((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) ∈ ℝ*))
2928ralrn 6323 . . . . . . . 8 (𝐹 Fn 𝑉 → (∀𝑦 ∈ ran 𝐹((𝐹𝑎)𝐷𝑦) ∈ ℝ* ↔ ∀𝑏𝑉 ((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) ∈ ℝ*))
3026, 29syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ran 𝐹((𝐹𝑎)𝐷𝑦) ∈ ℝ* ↔ ∀𝑏𝑉 ((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) ∈ ℝ*))
31 forn 6080 . . . . . . . . 9 (𝐹:𝑉onto𝐵 → ran 𝐹 = 𝐵)
325, 31syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ran 𝐹 = 𝐵)
3332raleqdv 3136 . . . . . . 7 (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ran 𝐹((𝐹𝑎)𝐷𝑦) ∈ ℝ* ↔ ∀𝑦𝐵 ((𝐹𝑎)𝐷𝑦) ∈ ℝ*))
3430, 33bitr3d 270 . . . . . 6 (𝜑 → (∀𝑏𝑉 ((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) ∈ ℝ* ↔ ∀𝑦𝐵 ((𝐹𝑎)𝐷𝑦) ∈ ℝ*))
3534ralbidv 2981 . . . . 5 (𝜑 → (∀𝑎𝑉𝑏𝑉 ((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) ∈ ℝ* ↔ ∀𝑎𝑉𝑦𝐵 ((𝐹𝑎)𝐷𝑦) ∈ ℝ*))
3624, 35mpbid 222 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑎𝑉𝑦𝐵 ((𝐹𝑎)𝐷𝑦) ∈ ℝ*)
37 oveq1 6617 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝐹𝑎) → (𝑥𝐷𝑦) = ((𝐹𝑎)𝐷𝑦))
3837eleq1d 2683 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝐹𝑎) → ((𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ* ↔ ((𝐹𝑎)𝐷𝑦) ∈ ℝ*))
3938ralbidv 2981 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝐹𝑎) → (∀𝑦𝐵 (𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ* ↔ ∀𝑦𝐵 ((𝐹𝑎)𝐷𝑦) ∈ ℝ*))
4039ralrn 6323 . . . . . 6 (𝐹 Fn 𝑉 → (∀𝑥 ∈ ran 𝐹𝑦𝐵 (𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ* ↔ ∀𝑎𝑉𝑦𝐵 ((𝐹𝑎)𝐷𝑦) ∈ ℝ*))
4126, 40syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ran 𝐹𝑦𝐵 (𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ* ↔ ∀𝑎𝑉𝑦𝐵 ((𝐹𝑎)𝐷𝑦) ∈ ℝ*))
4232raleqdv 3136 . . . . 5 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ran 𝐹𝑦𝐵 (𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ* ↔ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ*))
4341, 42bitr3d 270 . . . 4 (𝜑 → (∀𝑎𝑉𝑦𝐵 ((𝐹𝑎)𝐷𝑦) ∈ ℝ* ↔ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ*))
4436, 43mpbid 222 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ*)
45 ffnov 6724 . . 3 (𝐷:(𝐵 × 𝐵)⟶ℝ* ↔ (𝐷 Fn (𝐵 × 𝐵) ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ*))
469, 44, 45sylanbrc 697 . 2 (𝜑𝐷:(𝐵 × 𝐵)⟶ℝ*)
47 xmeteq0 22062 . . . . . . . 8 ((𝐸 ∈ (∞Met‘𝑉) ∧ 𝑎𝑉𝑏𝑉) → ((𝑎𝐸𝑏) = 0 ↔ 𝑎 = 𝑏))
4816, 17, 18, 47syl3anc 1323 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → ((𝑎𝐸𝑏) = 0 ↔ 𝑎 = 𝑏))
4919eqeq1d 2623 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → (((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) = 0 ↔ (𝑎𝐸𝑏) = 0))
50 f1of1 6098 . . . . . . . . 9 (𝐹:𝑉1-1-onto𝐵𝐹:𝑉1-1𝐵)
513, 50syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:𝑉1-1𝐵)
52 f1fveq 6479 . . . . . . . 8 ((𝐹:𝑉1-1𝐵 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → ((𝐹𝑎) = (𝐹𝑏) ↔ 𝑎 = 𝑏))
5351, 52sylan 488 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → ((𝐹𝑎) = (𝐹𝑏) ↔ 𝑎 = 𝑏))
5448, 49, 533bitr4d 300 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → (((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) = 0 ↔ (𝐹𝑎) = (𝐹𝑏)))
5516adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) ∧ 𝑐𝑉) → 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑉))
56 simpr 477 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) ∧ 𝑐𝑉) → 𝑐𝑉)
5717adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) ∧ 𝑐𝑉) → 𝑎𝑉)
5818adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) ∧ 𝑐𝑉) → 𝑏𝑉)
59 xmettri2 22064 . . . . . . . . . 10 ((𝐸 ∈ (∞Met‘𝑉) ∧ (𝑐𝑉𝑎𝑉𝑏𝑉)) → (𝑎𝐸𝑏) ≤ ((𝑐𝐸𝑎) +𝑒 (𝑐𝐸𝑏)))
6055, 56, 57, 58, 59syl13anc 1325 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) ∧ 𝑐𝑉) → (𝑎𝐸𝑏) ≤ ((𝑐𝐸𝑎) +𝑒 (𝑐𝐸𝑏)))
6119adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) ∧ 𝑐𝑉) → ((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) = (𝑎𝐸𝑏))
6210adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) ∧ 𝑐𝑉) → 𝑈 = (𝐹s 𝑅))
6311adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) ∧ 𝑐𝑉) → 𝑉 = (Base‘𝑅))
6412adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) ∧ 𝑐𝑉) → 𝐹:𝑉1-1-onto𝐵)
6513adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) ∧ 𝑐𝑉) → 𝑅𝑍)
6662, 63, 64, 65, 14, 8, 55, 56, 57imasdsf1o 22098 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) ∧ 𝑐𝑉) → ((𝐹𝑐)𝐷(𝐹𝑎)) = (𝑐𝐸𝑎))
6762, 63, 64, 65, 14, 8, 55, 56, 58imasdsf1o 22098 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) ∧ 𝑐𝑉) → ((𝐹𝑐)𝐷(𝐹𝑏)) = (𝑐𝐸𝑏))
6866, 67oveq12d 6628 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) ∧ 𝑐𝑉) → (((𝐹𝑐)𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 ((𝐹𝑐)𝐷(𝐹𝑏))) = ((𝑐𝐸𝑎) +𝑒 (𝑐𝐸𝑏)))
6960, 61, 683brtr4d 4650 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) ∧ 𝑐𝑉) → ((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) ≤ (((𝐹𝑐)𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 ((𝐹𝑐)𝐷(𝐹𝑏))))
7069ralrimiva 2961 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → ∀𝑐𝑉 ((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) ≤ (((𝐹𝑐)𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 ((𝐹𝑐)𝐷(𝐹𝑏))))
71 oveq1 6617 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = (𝐹𝑐) → (𝑧𝐷(𝐹𝑎)) = ((𝐹𝑐)𝐷(𝐹𝑎)))
72 oveq1 6617 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = (𝐹𝑐) → (𝑧𝐷(𝐹𝑏)) = ((𝐹𝑐)𝐷(𝐹𝑏)))
7371, 72oveq12d 6628 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = (𝐹𝑐) → ((𝑧𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 (𝑧𝐷(𝐹𝑏))) = (((𝐹𝑐)𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 ((𝐹𝑐)𝐷(𝐹𝑏))))
7473breq2d 4630 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = (𝐹𝑐) → (((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) ≤ ((𝑧𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 (𝑧𝐷(𝐹𝑏))) ↔ ((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) ≤ (((𝐹𝑐)𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 ((𝐹𝑐)𝐷(𝐹𝑏)))))
7574ralrn 6323 . . . . . . . . . 10 (𝐹 Fn 𝑉 → (∀𝑧 ∈ ran 𝐹((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) ≤ ((𝑧𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 (𝑧𝐷(𝐹𝑏))) ↔ ∀𝑐𝑉 ((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) ≤ (((𝐹𝑐)𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 ((𝐹𝑐)𝐷(𝐹𝑏)))))
7626, 75syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (∀𝑧 ∈ ran 𝐹((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) ≤ ((𝑧𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 (𝑧𝐷(𝐹𝑏))) ↔ ∀𝑐𝑉 ((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) ≤ (((𝐹𝑐)𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 ((𝐹𝑐)𝐷(𝐹𝑏)))))
7732raleqdv 3136 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (∀𝑧 ∈ ran 𝐹((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) ≤ ((𝑧𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 (𝑧𝐷(𝐹𝑏))) ↔ ∀𝑧𝐵 ((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) ≤ ((𝑧𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 (𝑧𝐷(𝐹𝑏)))))
7876, 77bitr3d 270 . . . . . . . 8 (𝜑 → (∀𝑐𝑉 ((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) ≤ (((𝐹𝑐)𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 ((𝐹𝑐)𝐷(𝐹𝑏))) ↔ ∀𝑧𝐵 ((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) ≤ ((𝑧𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 (𝑧𝐷(𝐹𝑏)))))
7978adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → (∀𝑐𝑉 ((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) ≤ (((𝐹𝑐)𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 ((𝐹𝑐)𝐷(𝐹𝑏))) ↔ ∀𝑧𝐵 ((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) ≤ ((𝑧𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 (𝑧𝐷(𝐹𝑏)))))
8070, 79mpbid 222 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → ∀𝑧𝐵 ((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) ≤ ((𝑧𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 (𝑧𝐷(𝐹𝑏))))
8154, 80jca 554 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → ((((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) = 0 ↔ (𝐹𝑎) = (𝐹𝑏)) ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) ≤ ((𝑧𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 (𝑧𝐷(𝐹𝑏)))))
8281ralrimivva 2966 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑎𝑉𝑏𝑉 ((((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) = 0 ↔ (𝐹𝑎) = (𝐹𝑏)) ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) ≤ ((𝑧𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 (𝑧𝐷(𝐹𝑏)))))
8327eqeq1d 2623 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (𝐹𝑏) → (((𝐹𝑎)𝐷𝑦) = 0 ↔ ((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) = 0))
84 eqeq2 2632 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (𝐹𝑏) → ((𝐹𝑎) = 𝑦 ↔ (𝐹𝑎) = (𝐹𝑏)))
8583, 84bibi12d 335 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (𝐹𝑏) → ((((𝐹𝑎)𝐷𝑦) = 0 ↔ (𝐹𝑎) = 𝑦) ↔ (((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) = 0 ↔ (𝐹𝑎) = (𝐹𝑏))))
86 oveq2 6618 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = (𝐹𝑏) → (𝑧𝐷𝑦) = (𝑧𝐷(𝐹𝑏)))
8786oveq2d 6626 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (𝐹𝑏) → ((𝑧𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)) = ((𝑧𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 (𝑧𝐷(𝐹𝑏))))
8827, 87breq12d 4631 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (𝐹𝑏) → (((𝐹𝑎)𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)) ↔ ((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) ≤ ((𝑧𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 (𝑧𝐷(𝐹𝑏)))))
8988ralbidv 2981 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (𝐹𝑏) → (∀𝑧𝐵 ((𝐹𝑎)𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)) ↔ ∀𝑧𝐵 ((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) ≤ ((𝑧𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 (𝑧𝐷(𝐹𝑏)))))
9085, 89anbi12d 746 . . . . . . . 8 (𝑦 = (𝐹𝑏) → (((((𝐹𝑎)𝐷𝑦) = 0 ↔ (𝐹𝑎) = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝐹𝑎)𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))) ↔ ((((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) = 0 ↔ (𝐹𝑎) = (𝐹𝑏)) ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) ≤ ((𝑧𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 (𝑧𝐷(𝐹𝑏))))))
9190ralrn 6323 . . . . . . 7 (𝐹 Fn 𝑉 → (∀𝑦 ∈ ran 𝐹((((𝐹𝑎)𝐷𝑦) = 0 ↔ (𝐹𝑎) = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝐹𝑎)𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))) ↔ ∀𝑏𝑉 ((((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) = 0 ↔ (𝐹𝑎) = (𝐹𝑏)) ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) ≤ ((𝑧𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 (𝑧𝐷(𝐹𝑏))))))
9226, 91syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ran 𝐹((((𝐹𝑎)𝐷𝑦) = 0 ↔ (𝐹𝑎) = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝐹𝑎)𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))) ↔ ∀𝑏𝑉 ((((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) = 0 ↔ (𝐹𝑎) = (𝐹𝑏)) ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) ≤ ((𝑧𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 (𝑧𝐷(𝐹𝑏))))))
9332raleqdv 3136 . . . . . 6 (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ran 𝐹((((𝐹𝑎)𝐷𝑦) = 0 ↔ (𝐹𝑎) = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝐹𝑎)𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))) ↔ ∀𝑦𝐵 ((((𝐹𝑎)𝐷𝑦) = 0 ↔ (𝐹𝑎) = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝐹𝑎)𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))))
9492, 93bitr3d 270 . . . . 5 (𝜑 → (∀𝑏𝑉 ((((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) = 0 ↔ (𝐹𝑎) = (𝐹𝑏)) ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) ≤ ((𝑧𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 (𝑧𝐷(𝐹𝑏)))) ↔ ∀𝑦𝐵 ((((𝐹𝑎)𝐷𝑦) = 0 ↔ (𝐹𝑎) = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝐹𝑎)𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))))
9594ralbidv 2981 . . . 4 (𝜑 → (∀𝑎𝑉𝑏𝑉 ((((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) = 0 ↔ (𝐹𝑎) = (𝐹𝑏)) ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) ≤ ((𝑧𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 (𝑧𝐷(𝐹𝑏)))) ↔ ∀𝑎𝑉𝑦𝐵 ((((𝐹𝑎)𝐷𝑦) = 0 ↔ (𝐹𝑎) = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝐹𝑎)𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))))
9682, 95mpbid 222 . . 3 (𝜑 → ∀𝑎𝑉𝑦𝐵 ((((𝐹𝑎)𝐷𝑦) = 0 ↔ (𝐹𝑎) = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝐹𝑎)𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))))
9737eqeq1d 2623 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝐹𝑎) → ((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ ((𝐹𝑎)𝐷𝑦) = 0))
98 eqeq1 2625 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝐹𝑎) → (𝑥 = 𝑦 ↔ (𝐹𝑎) = 𝑦))
9997, 98bibi12d 335 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝐹𝑎) → (((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ↔ (((𝐹𝑎)𝐷𝑦) = 0 ↔ (𝐹𝑎) = 𝑦)))
100 oveq2 6618 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝐹𝑎) → (𝑧𝐷𝑥) = (𝑧𝐷(𝐹𝑎)))
101100oveq1d 6625 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝐹𝑎) → ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)) = ((𝑧𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))
10237, 101breq12d 4631 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝐹𝑎) → ((𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)) ↔ ((𝐹𝑎)𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))))
103102ralbidv 2981 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝐹𝑎) → (∀𝑧𝐵 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)) ↔ ∀𝑧𝐵 ((𝐹𝑎)𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))))
10499, 103anbi12d 746 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝐹𝑎) → ((((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝐵 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))) ↔ ((((𝐹𝑎)𝐷𝑦) = 0 ↔ (𝐹𝑎) = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝐹𝑎)𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))))
105104ralbidv 2981 . . . . . 6 (𝑥 = (𝐹𝑎) → (∀𝑦𝐵 (((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝐵 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))) ↔ ∀𝑦𝐵 ((((𝐹𝑎)𝐷𝑦) = 0 ↔ (𝐹𝑎) = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝐹𝑎)𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))))
106105ralrn 6323 . . . . 5 (𝐹 Fn 𝑉 → (∀𝑥 ∈ ran 𝐹𝑦𝐵 (((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝐵 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))) ↔ ∀𝑎𝑉𝑦𝐵 ((((𝐹𝑎)𝐷𝑦) = 0 ↔ (𝐹𝑎) = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝐹𝑎)𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))))
10726, 106syl 17 . . . 4 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ran 𝐹𝑦𝐵 (((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝐵 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))) ↔ ∀𝑎𝑉𝑦𝐵 ((((𝐹𝑎)𝐷𝑦) = 0 ↔ (𝐹𝑎) = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝐹𝑎)𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))))
10832raleqdv 3136 . . . 4 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ran 𝐹𝑦𝐵 (((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝐵 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))) ↔ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝐵 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))))
109107, 108bitr3d 270 . . 3 (𝜑 → (∀𝑎𝑉𝑦𝐵 ((((𝐹𝑎)𝐷𝑦) = 0 ↔ (𝐹𝑎) = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝐹𝑎)𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))) ↔ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝐵 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))))
11096, 109mpbid 222 . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝐵 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))))
11115elfvexd 6184 . . . 4 (𝜑𝑉 ∈ V)
112 fornex 7089 . . . 4 (𝑉 ∈ V → (𝐹:𝑉onto𝐵𝐵 ∈ V))
113111, 5, 112sylc 65 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ V)
114 isxmet 22048 . . 3 (𝐵 ∈ V → (𝐷 ∈ (∞Met‘𝐵) ↔ (𝐷:(𝐵 × 𝐵)⟶ℝ* ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝐵 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))))))
115113, 114syl 17 . 2 (𝜑 → (𝐷 ∈ (∞Met‘𝐵) ↔ (𝐷:(𝐵 × 𝐵)⟶ℝ* ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝐵 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))))))
11646, 110, 115mpbir2and 956 1 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2907  Vcvv 3189   class class class wbr 4618   × cxp 5077  ran crn 5080  cres 5081   Fn wfn 5847  wf 5848  1-1wf1 5849  ontowfo 5850  1-1-ontowf1o 5851  cfv 5852  (class class class)co 6610  0cc0 9887  *cxr 10024  cle 10026   +𝑒 cxad 11895  Basecbs 15788  distcds 15878  s cimas 16092  ∞Metcxmt 19659
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-inf2 8489  ax-cnex 9943  ax-resscn 9944  ax-1cn 9945  ax-icn 9946  ax-addcl 9947  ax-addrcl 9948  ax-mulcl 9949  ax-mulrcl 9950  ax-mulcom 9951  ax-addass 9952  ax-mulass 9953  ax-distr 9954  ax-i2m1 9955  ax-1ne0 9956  ax-1rid 9957  ax-rnegex 9958  ax-rrecex 9959  ax-cnre 9960  ax-pre-lttri 9961  ax-pre-lttrn 9962  ax-pre-ltadd 9963  ax-pre-mulgt0 9964  ax-pre-sup 9965
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-iin 4493  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-isom 5861  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-of 6857  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-supp 7248  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-oadd 7516  df-er 7694  df-map 7811  df-en 7907  df-dom 7908  df-sdom 7909  df-fin 7910  df-fsupp 8227  df-sup 8299  df-inf 8300  df-oi 8366  df-card 8716  df-pnf 10027  df-mnf 10028  df-xr 10029  df-ltxr 10030  df-le 10031  df-sub 10219  df-neg 10220  df-div 10636  df-nn 10972  df-2 11030  df-3 11031  df-4 11032  df-5 11033  df-6 11034  df-7 11035  df-8 11036  df-9 11037  df-n0 11244  df-z 11329  df-dec 11445  df-uz 11639  df-rp 11784  df-xneg 11897  df-xadd 11898  df-xmul 11899  df-fz 12276  df-fzo 12414  df-seq 12749  df-hash 13065  df-struct 15790  df-ndx 15791  df-slot 15792  df-base 15793  df-sets 15794  df-ress 15795  df-plusg 15882  df-mulr 15883  df-sca 15885  df-vsca 15886  df-ip 15887  df-tset 15888  df-ple 15889  df-ds 15892  df-0g 16030  df-gsum 16031  df-xrs 16090  df-imas 16096  df-mre 16174  df-mrc 16175  df-acs 16177  df-mgm 17170  df-sgrp 17212  df-mnd 17223  df-submnd 17264  df-mulg 17469  df-cntz 17678  df-cmn 18123  df-xmet 19667
This theorem is referenced by:  imasf1omet  22100  xpsxmet  22104  imasf1obl  22212  imasf1oxms  22213
  Copyright terms: Public domain W3C validator