Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imasgrp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem imasgrp 17578
 Description: The image structure of a group is a group. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
imasgrp.u (𝜑𝑈 = (𝐹s 𝑅))
imasgrp.v (𝜑𝑉 = (Base‘𝑅))
imasgrp.p (𝜑+ = (+g𝑅))
imasgrp.f (𝜑𝐹:𝑉onto𝐵)
imasgrp.e ((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉) ∧ (𝑝𝑉𝑞𝑉)) → (((𝐹𝑎) = (𝐹𝑝) ∧ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑞)) → (𝐹‘(𝑎 + 𝑏)) = (𝐹‘(𝑝 + 𝑞))))
imasgrp.r (𝜑𝑅 ∈ Grp)
imasgrp.z 0 = (0g𝑅)
Assertion
Ref Expression
imasgrp (𝜑 → (𝑈 ∈ Grp ∧ (𝐹0 ) = (0g𝑈)))
Distinct variable groups:   𝑞,𝑝,𝐵   𝑎,𝑏,𝑝,𝑞,𝜑   𝑅,𝑝,𝑞   𝐹,𝑎,𝑏,𝑝,𝑞   + ,𝑝,𝑞   𝑈,𝑎,𝑏,𝑝,𝑞   𝑉,𝑎,𝑏,𝑝,𝑞   0 ,𝑝,𝑞
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑎,𝑏)   + (𝑎,𝑏)   𝑅(𝑎,𝑏)   0 (𝑎,𝑏)

Proof of Theorem imasgrp
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imasgrp.u . 2 (𝜑𝑈 = (𝐹s 𝑅))
2 imasgrp.v . 2 (𝜑𝑉 = (Base‘𝑅))
3 imasgrp.p . 2 (𝜑+ = (+g𝑅))
4 imasgrp.f . 2 (𝜑𝐹:𝑉onto𝐵)
5 imasgrp.e . 2 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉) ∧ (𝑝𝑉𝑞𝑉)) → (((𝐹𝑎) = (𝐹𝑝) ∧ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑞)) → (𝐹‘(𝑎 + 𝑏)) = (𝐹‘(𝑝 + 𝑞))))
6 imasgrp.r . 2 (𝜑𝑅 ∈ Grp)
763ad2ant1 1102 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑉𝑦𝑉) → 𝑅 ∈ Grp)
8 simp2 1082 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑉𝑦𝑉) → 𝑥𝑉)
923ad2ant1 1102 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑉𝑦𝑉) → 𝑉 = (Base‘𝑅))
108, 9eleqtrd 2732 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑉𝑦𝑉) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
11 simp3 1083 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑉𝑦𝑉) → 𝑦𝑉)
1211, 9eleqtrd 2732 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑉𝑦𝑉) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))
13 eqid 2651 . . . . 5 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
14 eqid 2651 . . . . 5 (+g𝑅) = (+g𝑅)
1513, 14grpcl 17477 . . . 4 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥(+g𝑅)𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
167, 10, 12, 15syl3anc 1366 . . 3 ((𝜑𝑥𝑉𝑦𝑉) → (𝑥(+g𝑅)𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
1733ad2ant1 1102 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑉𝑦𝑉) → + = (+g𝑅))
1817oveqd 6707 . . 3 ((𝜑𝑥𝑉𝑦𝑉) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑥(+g𝑅)𝑦))
1916, 18, 93eltr4d 2745 . 2 ((𝜑𝑥𝑉𝑦𝑉) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑉)
206adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉𝑧𝑉)) → 𝑅 ∈ Grp)
21103adant3r3 1297 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉𝑧𝑉)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
22123adant3r3 1297 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉𝑧𝑉)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))
23 simpr3 1089 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉𝑧𝑉)) → 𝑧𝑉)
242adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉𝑧𝑉)) → 𝑉 = (Base‘𝑅))
2523, 24eleqtrd 2732 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉𝑧𝑉)) → 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))
2613, 14grpass 17478 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑥(+g𝑅)𝑦)(+g𝑅)𝑧) = (𝑥(+g𝑅)(𝑦(+g𝑅)𝑧)))
2720, 21, 22, 25, 26syl13anc 1368 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉𝑧𝑉)) → ((𝑥(+g𝑅)𝑦)(+g𝑅)𝑧) = (𝑥(+g𝑅)(𝑦(+g𝑅)𝑧)))
283adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉𝑧𝑉)) → + = (+g𝑅))
29183adant3r3 1297 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉𝑧𝑉)) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑥(+g𝑅)𝑦))
30 eqidd 2652 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉𝑧𝑉)) → 𝑧 = 𝑧)
3128, 29, 30oveq123d 6711 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉𝑧𝑉)) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = ((𝑥(+g𝑅)𝑦)(+g𝑅)𝑧))
32 eqidd 2652 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉𝑧𝑉)) → 𝑥 = 𝑥)
3328oveqd 6707 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉𝑧𝑉)) → (𝑦 + 𝑧) = (𝑦(+g𝑅)𝑧))
3428, 32, 33oveq123d 6711 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉𝑧𝑉)) → (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)) = (𝑥(+g𝑅)(𝑦(+g𝑅)𝑧)))
3527, 31, 343eqtr4d 2695 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉𝑧𝑉)) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
3635fveq2d 6233 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉𝑧𝑉)) → (𝐹‘((𝑥 + 𝑦) + 𝑧)) = (𝐹‘(𝑥 + (𝑦 + 𝑧))))
37 imasgrp.z . . . . 5 0 = (0g𝑅)
3813, 37grpidcl 17497 . . . 4 (𝑅 ∈ Grp → 0 ∈ (Base‘𝑅))
396, 38syl 17 . . 3 (𝜑0 ∈ (Base‘𝑅))
4039, 2eleqtrrd 2733 . 2 (𝜑0𝑉)
413adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑉) → + = (+g𝑅))
4241oveqd 6707 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑉) → ( 0 + 𝑥) = ( 0 (+g𝑅)𝑥))
436adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑉) → 𝑅 ∈ Grp)
442eleq2d 2716 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝑉𝑥 ∈ (Base‘𝑅)))
4544biimpa 500 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑉) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
4613, 14, 37grplid 17499 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ( 0 (+g𝑅)𝑥) = 𝑥)
4743, 45, 46syl2anc 694 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑉) → ( 0 (+g𝑅)𝑥) = 𝑥)
4842, 47eqtrd 2685 . . 3 ((𝜑𝑥𝑉) → ( 0 + 𝑥) = 𝑥)
4948fveq2d 6233 . 2 ((𝜑𝑥𝑉) → (𝐹‘( 0 + 𝑥)) = (𝐹𝑥))
50 eqid 2651 . . . . 5 (invg𝑅) = (invg𝑅)
5113, 50grpinvcl 17514 . . . 4 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((invg𝑅)‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
5243, 45, 51syl2anc 694 . . 3 ((𝜑𝑥𝑉) → ((invg𝑅)‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
532adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑥𝑉) → 𝑉 = (Base‘𝑅))
5452, 53eleqtrrd 2733 . 2 ((𝜑𝑥𝑉) → ((invg𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑉)
5541oveqd 6707 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑉) → (((invg𝑅)‘𝑥) + 𝑥) = (((invg𝑅)‘𝑥)(+g𝑅)𝑥))
5613, 14, 37, 50grplinv 17515 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (((invg𝑅)‘𝑥)(+g𝑅)𝑥) = 0 )
5743, 45, 56syl2anc 694 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑉) → (((invg𝑅)‘𝑥)(+g𝑅)𝑥) = 0 )
5855, 57eqtrd 2685 . . 3 ((𝜑𝑥𝑉) → (((invg𝑅)‘𝑥) + 𝑥) = 0 )
5958fveq2d 6233 . 2 ((𝜑𝑥𝑉) → (𝐹‘(((invg𝑅)‘𝑥) + 𝑥)) = (𝐹0 ))
601, 2, 3, 4, 5, 6, 19, 36, 40, 49, 54, 59imasgrp2 17577 1 (𝜑 → (𝑈 ∈ Grp ∧ (𝐹0 ) = (0g𝑈)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1054   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  –onto→wfo 5924  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  Basecbs 15904  +gcplusg 15988  0gc0g 16147   “s cimas 16211  Grpcgrp 17469  invgcminusg 17470 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-inf 8390  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-fz 12365  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-0g 16149  df-imas 16215  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-grp 17472  df-minusg 17473 This theorem is referenced by:  imasgrpf1  17579  imasring  18665  imasgim  37987
 Copyright terms: Public domain W3C validator