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Theorem imasleval 16122
Description: The value of the image structure's ordering when the order is compatible with the mapping function. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
imasless.u (𝜑𝑈 = (𝐹s 𝑅))
imasless.v (𝜑𝑉 = (Base‘𝑅))
imasless.f (𝜑𝐹:𝑉onto𝐵)
imasless.r (𝜑𝑅𝑍)
imasless.l = (le‘𝑈)
imasleval.n 𝑁 = (le‘𝑅)
imasleval.e ((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉) ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉)) → (((𝐹𝑎) = (𝐹𝑐) ∧ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑑)) → (𝑎𝑁𝑏𝑐𝑁𝑑)))
Assertion
Ref Expression
imasleval ((𝜑𝑋𝑉𝑌𝑉) → ((𝐹𝑋) (𝐹𝑌) ↔ 𝑋𝑁𝑌))
Distinct variable groups:   𝑐,𝑑,   𝑎,𝑏,𝑐,𝑑,𝐹   𝑁,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑   𝑉,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑   𝑌,𝑑   𝜑,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑   𝑋,𝑐,𝑑
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑎,𝑏,𝑐,𝑑)   𝑅(𝑎,𝑏,𝑐,𝑑)   𝑈(𝑎,𝑏,𝑐,𝑑)   (𝑎,𝑏)   𝑋(𝑎,𝑏)   𝑌(𝑎,𝑏,𝑐)   𝑍(𝑎,𝑏,𝑐,𝑑)

Proof of Theorem imasleval
StepHypRef Expression
1 fveq2 6148 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝑋 → (𝐹𝑐) = (𝐹𝑋))
21breq1d 4623 . . . . . 6 (𝑐 = 𝑋 → ((𝐹𝑐) (𝐹𝑑) ↔ (𝐹𝑋) (𝐹𝑑)))
3 breq1 4616 . . . . . 6 (𝑐 = 𝑋 → (𝑐𝑁𝑑𝑋𝑁𝑑))
42, 3bibi12d 335 . . . . 5 (𝑐 = 𝑋 → (((𝐹𝑐) (𝐹𝑑) ↔ 𝑐𝑁𝑑) ↔ ((𝐹𝑋) (𝐹𝑑) ↔ 𝑋𝑁𝑑)))
54imbi2d 330 . . . 4 (𝑐 = 𝑋 → ((𝜑 → ((𝐹𝑐) (𝐹𝑑) ↔ 𝑐𝑁𝑑)) ↔ (𝜑 → ((𝐹𝑋) (𝐹𝑑) ↔ 𝑋𝑁𝑑))))
6 fveq2 6148 . . . . . . 7 (𝑑 = 𝑌 → (𝐹𝑑) = (𝐹𝑌))
76breq2d 4625 . . . . . 6 (𝑑 = 𝑌 → ((𝐹𝑋) (𝐹𝑑) ↔ (𝐹𝑋) (𝐹𝑌)))
8 breq2 4617 . . . . . 6 (𝑑 = 𝑌 → (𝑋𝑁𝑑𝑋𝑁𝑌))
97, 8bibi12d 335 . . . . 5 (𝑑 = 𝑌 → (((𝐹𝑋) (𝐹𝑑) ↔ 𝑋𝑁𝑑) ↔ ((𝐹𝑋) (𝐹𝑌) ↔ 𝑋𝑁𝑌)))
109imbi2d 330 . . . 4 (𝑑 = 𝑌 → ((𝜑 → ((𝐹𝑋) (𝐹𝑑) ↔ 𝑋𝑁𝑑)) ↔ (𝜑 → ((𝐹𝑋) (𝐹𝑌) ↔ 𝑋𝑁𝑌))))
11 imasless.f . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹:𝑉onto𝐵)
12 fofn 6074 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:𝑉onto𝐵𝐹 Fn 𝑉)
1311, 12syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹 Fn 𝑉)
1413adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉)) → 𝐹 Fn 𝑉)
15 fndm 5948 . . . . . . . . . 10 (𝐹 Fn 𝑉 → dom 𝐹 = 𝑉)
1614, 15syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉)) → dom 𝐹 = 𝑉)
1716rexeqdv 3134 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉)) → (∃𝑎 ∈ dom 𝐹(𝑎𝐹(𝐹𝑐) ∧ 𝑎(𝐹𝑁)(𝐹𝑑)) ↔ ∃𝑎𝑉 (𝑎𝐹(𝐹𝑐) ∧ 𝑎(𝐹𝑁)(𝐹𝑑))))
18 fnbrfvb 6193 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 Fn 𝑉𝑎𝑉) → ((𝐹𝑎) = (𝐹𝑐) ↔ 𝑎𝐹(𝐹𝑐)))
1914, 18sylan 488 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉)) ∧ 𝑎𝑉) → ((𝐹𝑎) = (𝐹𝑐) ↔ 𝑎𝐹(𝐹𝑐)))
2019anbi1d 740 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉)) ∧ 𝑎𝑉) → (((𝐹𝑎) = (𝐹𝑐) ∧ 𝑎(𝐹𝑁)(𝐹𝑑)) ↔ (𝑎𝐹(𝐹𝑐) ∧ 𝑎(𝐹𝑁)(𝐹𝑑))))
21 ancom 466 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑎𝑁𝑏𝑏𝐹(𝐹𝑑)) ↔ (𝑏𝐹(𝐹𝑑) ∧ 𝑎𝑁𝑏))
22 vex 3189 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑏 ∈ V
23 fvex 6158 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹𝑑) ∈ V
2422, 23breldm 5289 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑏𝐹(𝐹𝑑) → 𝑏 ∈ dom 𝐹)
2524adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑏𝐹(𝐹𝑑) ∧ 𝑎𝑁𝑏) → 𝑏 ∈ dom 𝐹)
2625pm4.71ri 664 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑏𝐹(𝐹𝑑) ∧ 𝑎𝑁𝑏) ↔ (𝑏 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝑏𝐹(𝐹𝑑) ∧ 𝑎𝑁𝑏)))
2721, 26bitri 264 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑎𝑁𝑏𝑏𝐹(𝐹𝑑)) ↔ (𝑏 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝑏𝐹(𝐹𝑑) ∧ 𝑎𝑁𝑏)))
2827exbii 1771 . . . . . . . . . . . . 13 (∃𝑏(𝑎𝑁𝑏𝑏𝐹(𝐹𝑑)) ↔ ∃𝑏(𝑏 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝑏𝐹(𝐹𝑑) ∧ 𝑎𝑁𝑏)))
29 vex 3189 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑎 ∈ V
3029, 23brco 5252 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎(𝐹𝑁)(𝐹𝑑) ↔ ∃𝑏(𝑎𝑁𝑏𝑏𝐹(𝐹𝑑)))
31 df-rex 2913 . . . . . . . . . . . . 13 (∃𝑏 ∈ dom 𝐹(𝑏𝐹(𝐹𝑑) ∧ 𝑎𝑁𝑏) ↔ ∃𝑏(𝑏 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝑏𝐹(𝐹𝑑) ∧ 𝑎𝑁𝑏)))
3228, 30, 313bitr4i 292 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎(𝐹𝑁)(𝐹𝑑) ↔ ∃𝑏 ∈ dom 𝐹(𝑏𝐹(𝐹𝑑) ∧ 𝑎𝑁𝑏))
3314ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉)) ∧ 𝑎𝑉) ∧ (𝐹𝑎) = (𝐹𝑐)) → 𝐹 Fn 𝑉)
34 fnbrfvb 6193 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹 Fn 𝑉𝑏𝑉) → ((𝐹𝑏) = (𝐹𝑑) ↔ 𝑏𝐹(𝐹𝑑)))
3533, 34sylan 488 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑 ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉)) ∧ 𝑎𝑉) ∧ (𝐹𝑎) = (𝐹𝑐)) ∧ 𝑏𝑉) → ((𝐹𝑏) = (𝐹𝑑) ↔ 𝑏𝐹(𝐹𝑑)))
3635anbi1d 740 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑 ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉)) ∧ 𝑎𝑉) ∧ (𝐹𝑎) = (𝐹𝑐)) ∧ 𝑏𝑉) → (((𝐹𝑏) = (𝐹𝑑) ∧ 𝑎𝑁𝑏) ↔ (𝑏𝐹(𝐹𝑑) ∧ 𝑎𝑁𝑏)))
37 imasleval.e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉) ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉)) → (((𝐹𝑎) = (𝐹𝑐) ∧ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑑)) → (𝑎𝑁𝑏𝑐𝑁𝑑)))
38373expa 1262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉)) → (((𝐹𝑎) = (𝐹𝑐) ∧ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑑)) → (𝑎𝑁𝑏𝑐𝑁𝑑)))
3938an32s 845 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉)) ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → (((𝐹𝑎) = (𝐹𝑐) ∧ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑑)) → (𝑎𝑁𝑏𝑐𝑁𝑑)))
4039anassrs 679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉)) ∧ 𝑎𝑉) ∧ 𝑏𝑉) → (((𝐹𝑎) = (𝐹𝑐) ∧ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑑)) → (𝑎𝑁𝑏𝑐𝑁𝑑)))
4140impl 649 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑 ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉)) ∧ 𝑎𝑉) ∧ 𝑏𝑉) ∧ (𝐹𝑎) = (𝐹𝑐)) ∧ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑑)) → (𝑎𝑁𝑏𝑐𝑁𝑑))
4241pm5.32da 672 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑 ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉)) ∧ 𝑎𝑉) ∧ 𝑏𝑉) ∧ (𝐹𝑎) = (𝐹𝑐)) → (((𝐹𝑏) = (𝐹𝑑) ∧ 𝑎𝑁𝑏) ↔ ((𝐹𝑏) = (𝐹𝑑) ∧ 𝑐𝑁𝑑)))
4342an32s 845 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑 ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉)) ∧ 𝑎𝑉) ∧ (𝐹𝑎) = (𝐹𝑐)) ∧ 𝑏𝑉) → (((𝐹𝑏) = (𝐹𝑑) ∧ 𝑎𝑁𝑏) ↔ ((𝐹𝑏) = (𝐹𝑑) ∧ 𝑐𝑁𝑑)))
4436, 43bitr3d 270 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑 ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉)) ∧ 𝑎𝑉) ∧ (𝐹𝑎) = (𝐹𝑐)) ∧ 𝑏𝑉) → ((𝑏𝐹(𝐹𝑑) ∧ 𝑎𝑁𝑏) ↔ ((𝐹𝑏) = (𝐹𝑑) ∧ 𝑐𝑁𝑑)))
4544rexbidva 3042 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉)) ∧ 𝑎𝑉) ∧ (𝐹𝑎) = (𝐹𝑐)) → (∃𝑏𝑉 (𝑏𝐹(𝐹𝑑) ∧ 𝑎𝑁𝑏) ↔ ∃𝑏𝑉 ((𝐹𝑏) = (𝐹𝑑) ∧ 𝑐𝑁𝑑)))
46 r19.41v 3081 . . . . . . . . . . . . . 14 (∃𝑏𝑉 ((𝐹𝑏) = (𝐹𝑑) ∧ 𝑐𝑁𝑑) ↔ (∃𝑏𝑉 (𝐹𝑏) = (𝐹𝑑) ∧ 𝑐𝑁𝑑))
4745, 46syl6bb 276 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉)) ∧ 𝑎𝑉) ∧ (𝐹𝑎) = (𝐹𝑐)) → (∃𝑏𝑉 (𝑏𝐹(𝐹𝑑) ∧ 𝑎𝑁𝑏) ↔ (∃𝑏𝑉 (𝐹𝑏) = (𝐹𝑑) ∧ 𝑐𝑁𝑑)))
4816rexeqdv 3134 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉)) → (∃𝑏 ∈ dom 𝐹(𝑏𝐹(𝐹𝑑) ∧ 𝑎𝑁𝑏) ↔ ∃𝑏𝑉 (𝑏𝐹(𝐹𝑑) ∧ 𝑎𝑁𝑏)))
4948ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉)) ∧ 𝑎𝑉) ∧ (𝐹𝑎) = (𝐹𝑐)) → (∃𝑏 ∈ dom 𝐹(𝑏𝐹(𝐹𝑑) ∧ 𝑎𝑁𝑏) ↔ ∃𝑏𝑉 (𝑏𝐹(𝐹𝑑) ∧ 𝑎𝑁𝑏)))
50 simprr 795 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉)) → 𝑑𝑉)
51 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹𝑑) = (𝐹𝑑)
52 fveq2 6148 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑏 = 𝑑 → (𝐹𝑏) = (𝐹𝑑))
5352eqeq1d 2623 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑏 = 𝑑 → ((𝐹𝑏) = (𝐹𝑑) ↔ (𝐹𝑑) = (𝐹𝑑)))
5453rspcev 3295 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑑𝑉 ∧ (𝐹𝑑) = (𝐹𝑑)) → ∃𝑏𝑉 (𝐹𝑏) = (𝐹𝑑))
5550, 51, 54sylancl 693 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉)) → ∃𝑏𝑉 (𝐹𝑏) = (𝐹𝑑))
5655biantrurd 529 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉)) → (𝑐𝑁𝑑 ↔ (∃𝑏𝑉 (𝐹𝑏) = (𝐹𝑑) ∧ 𝑐𝑁𝑑)))
5756ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉)) ∧ 𝑎𝑉) ∧ (𝐹𝑎) = (𝐹𝑐)) → (𝑐𝑁𝑑 ↔ (∃𝑏𝑉 (𝐹𝑏) = (𝐹𝑑) ∧ 𝑐𝑁𝑑)))
5847, 49, 573bitr4d 300 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉)) ∧ 𝑎𝑉) ∧ (𝐹𝑎) = (𝐹𝑐)) → (∃𝑏 ∈ dom 𝐹(𝑏𝐹(𝐹𝑑) ∧ 𝑎𝑁𝑏) ↔ 𝑐𝑁𝑑))
5932, 58syl5bb 272 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉)) ∧ 𝑎𝑉) ∧ (𝐹𝑎) = (𝐹𝑐)) → (𝑎(𝐹𝑁)(𝐹𝑑) ↔ 𝑐𝑁𝑑))
6059pm5.32da 672 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉)) ∧ 𝑎𝑉) → (((𝐹𝑎) = (𝐹𝑐) ∧ 𝑎(𝐹𝑁)(𝐹𝑑)) ↔ ((𝐹𝑎) = (𝐹𝑐) ∧ 𝑐𝑁𝑑)))
6120, 60bitr3d 270 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉)) ∧ 𝑎𝑉) → ((𝑎𝐹(𝐹𝑐) ∧ 𝑎(𝐹𝑁)(𝐹𝑑)) ↔ ((𝐹𝑎) = (𝐹𝑐) ∧ 𝑐𝑁𝑑)))
6261rexbidva 3042 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉)) → (∃𝑎𝑉 (𝑎𝐹(𝐹𝑐) ∧ 𝑎(𝐹𝑁)(𝐹𝑑)) ↔ ∃𝑎𝑉 ((𝐹𝑎) = (𝐹𝑐) ∧ 𝑐𝑁𝑑)))
6317, 62bitrd 268 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉)) → (∃𝑎 ∈ dom 𝐹(𝑎𝐹(𝐹𝑐) ∧ 𝑎(𝐹𝑁)(𝐹𝑑)) ↔ ∃𝑎𝑉 ((𝐹𝑎) = (𝐹𝑐) ∧ 𝑐𝑁𝑑)))
64 fvex 6158 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹𝑐) ∈ V
6564, 29brcnv 5265 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹𝑐)𝐹𝑎𝑎𝐹(𝐹𝑐))
6665anbi1i 730 . . . . . . . . . 10 (((𝐹𝑐)𝐹𝑎𝑎(𝐹𝑁)(𝐹𝑑)) ↔ (𝑎𝐹(𝐹𝑐) ∧ 𝑎(𝐹𝑁)(𝐹𝑑)))
6729, 64breldm 5289 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎𝐹(𝐹𝑐) → 𝑎 ∈ dom 𝐹)
6867adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑎𝐹(𝐹𝑐) ∧ 𝑎(𝐹𝑁)(𝐹𝑑)) → 𝑎 ∈ dom 𝐹)
6968pm4.71ri 664 . . . . . . . . . 10 ((𝑎𝐹(𝐹𝑐) ∧ 𝑎(𝐹𝑁)(𝐹𝑑)) ↔ (𝑎 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝑎𝐹(𝐹𝑐) ∧ 𝑎(𝐹𝑁)(𝐹𝑑))))
7066, 69bitri 264 . . . . . . . . 9 (((𝐹𝑐)𝐹𝑎𝑎(𝐹𝑁)(𝐹𝑑)) ↔ (𝑎 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝑎𝐹(𝐹𝑐) ∧ 𝑎(𝐹𝑁)(𝐹𝑑))))
7170exbii 1771 . . . . . . . 8 (∃𝑎((𝐹𝑐)𝐹𝑎𝑎(𝐹𝑁)(𝐹𝑑)) ↔ ∃𝑎(𝑎 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝑎𝐹(𝐹𝑐) ∧ 𝑎(𝐹𝑁)(𝐹𝑑))))
7264, 23brco 5252 . . . . . . . 8 ((𝐹𝑐)((𝐹𝑁) ∘ 𝐹)(𝐹𝑑) ↔ ∃𝑎((𝐹𝑐)𝐹𝑎𝑎(𝐹𝑁)(𝐹𝑑)))
73 df-rex 2913 . . . . . . . 8 (∃𝑎 ∈ dom 𝐹(𝑎𝐹(𝐹𝑐) ∧ 𝑎(𝐹𝑁)(𝐹𝑑)) ↔ ∃𝑎(𝑎 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝑎𝐹(𝐹𝑐) ∧ 𝑎(𝐹𝑁)(𝐹𝑑))))
7471, 72, 733bitr4ri 293 . . . . . . 7 (∃𝑎 ∈ dom 𝐹(𝑎𝐹(𝐹𝑐) ∧ 𝑎(𝐹𝑁)(𝐹𝑑)) ↔ (𝐹𝑐)((𝐹𝑁) ∘ 𝐹)(𝐹𝑑))
75 r19.41v 3081 . . . . . . 7 (∃𝑎𝑉 ((𝐹𝑎) = (𝐹𝑐) ∧ 𝑐𝑁𝑑) ↔ (∃𝑎𝑉 (𝐹𝑎) = (𝐹𝑐) ∧ 𝑐𝑁𝑑))
7663, 74, 753bitr3g 302 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉)) → ((𝐹𝑐)((𝐹𝑁) ∘ 𝐹)(𝐹𝑑) ↔ (∃𝑎𝑉 (𝐹𝑎) = (𝐹𝑐) ∧ 𝑐𝑁𝑑)))
77 imasless.u . . . . . . . . 9 (𝜑𝑈 = (𝐹s 𝑅))
78 imasless.v . . . . . . . . 9 (𝜑𝑉 = (Base‘𝑅))
79 imasless.r . . . . . . . . 9 (𝜑𝑅𝑍)
80 imasleval.n . . . . . . . . 9 𝑁 = (le‘𝑅)
81 imasless.l . . . . . . . . 9 = (le‘𝑈)
8277, 78, 11, 79, 80, 81imasle 16104 . . . . . . . 8 (𝜑 = ((𝐹𝑁) ∘ 𝐹))
8382adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉)) → = ((𝐹𝑁) ∘ 𝐹))
8483breqd 4624 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉)) → ((𝐹𝑐) (𝐹𝑑) ↔ (𝐹𝑐)((𝐹𝑁) ∘ 𝐹)(𝐹𝑑)))
85 simprl 793 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉)) → 𝑐𝑉)
86 eqid 2621 . . . . . . . 8 (𝐹𝑐) = (𝐹𝑐)
87 fveq2 6148 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = 𝑐 → (𝐹𝑎) = (𝐹𝑐))
8887eqeq1d 2623 . . . . . . . . 9 (𝑎 = 𝑐 → ((𝐹𝑎) = (𝐹𝑐) ↔ (𝐹𝑐) = (𝐹𝑐)))
8988rspcev 3295 . . . . . . . 8 ((𝑐𝑉 ∧ (𝐹𝑐) = (𝐹𝑐)) → ∃𝑎𝑉 (𝐹𝑎) = (𝐹𝑐))
9085, 86, 89sylancl 693 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉)) → ∃𝑎𝑉 (𝐹𝑎) = (𝐹𝑐))
9190biantrurd 529 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉)) → (𝑐𝑁𝑑 ↔ (∃𝑎𝑉 (𝐹𝑎) = (𝐹𝑐) ∧ 𝑐𝑁𝑑)))
9276, 84, 913bitr4d 300 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉)) → ((𝐹𝑐) (𝐹𝑑) ↔ 𝑐𝑁𝑑))
9392expcom 451 . . . 4 ((𝑐𝑉𝑑𝑉) → (𝜑 → ((𝐹𝑐) (𝐹𝑑) ↔ 𝑐𝑁𝑑)))
945, 10, 93vtocl2ga 3260 . . 3 ((𝑋𝑉𝑌𝑉) → (𝜑 → ((𝐹𝑋) (𝐹𝑌) ↔ 𝑋𝑁𝑌)))
9594com12 32 . 2 (𝜑 → ((𝑋𝑉𝑌𝑉) → ((𝐹𝑋) (𝐹𝑌) ↔ 𝑋𝑁𝑌)))
96953impib 1259 1 ((𝜑𝑋𝑉𝑌𝑉) → ((𝐹𝑋) (𝐹𝑌) ↔ 𝑋𝑁𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wex 1701  wcel 1987  wrex 2908   class class class wbr 4613  ccnv 5073  dom cdm 5074  ccom 5078   Fn wfn 5842  ontowfo 5845  cfv 5847  (class class class)co 6604  Basecbs 15781  lecple 15869  s cimas 16085
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-sup 8292  df-inf 8293  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-fz 12269  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-sca 15878  df-vsca 15879  df-ip 15880  df-tset 15881  df-ple 15882  df-ds 15885  df-imas 16089
This theorem is referenced by:  xpsle  16162
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