Theorem imasleval 16817

Description: The value of the image structure's ordering when the order is compatible with the mapping function. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
imasless.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝐹 “s 𝑅))
imasless.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝑅))
imasless.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑉–onto→𝐵)
imasless.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑍)
imasless.l	⊢ ≤ = (le‘𝑈)
imasleval.n	⊢ 𝑁 = (le‘𝑅)
imasleval.e	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) → (((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑐) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑑)) → (𝑎𝑁𝑏 ↔ 𝑐𝑁𝑑)))

Assertion

Ref	Expression
imasleval	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((𝐹‘𝑋) ≤ (𝐹‘𝑌) ↔ 𝑋𝑁𝑌))

Distinct variable groups:   𝑐,𝑑, ≤   𝑎,𝑏,𝑐,𝑑,𝐹   𝑁,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑   𝑉,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑   𝑌,𝑑   𝜑,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑   𝑋,𝑐,𝑑

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑎,𝑏,𝑐,𝑑)   𝑅(𝑎,𝑏,𝑐,𝑑)   𝑈(𝑎,𝑏,𝑐,𝑑)   ≤ (𝑎,𝑏)   𝑋(𝑎,𝑏)   𝑌(𝑎,𝑏,𝑐)   𝑍(𝑎,𝑏,𝑐,𝑑)

Proof of Theorem imasleval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6673	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 = 𝑋 → (𝐹‘𝑐) = (𝐹‘𝑋))
2	1	breq1d 5079	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = 𝑋 → ((𝐹‘𝑐) ≤ (𝐹‘𝑑) ↔ (𝐹‘𝑋) ≤ (𝐹‘𝑑)))
3		breq1 5072	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = 𝑋 → (𝑐𝑁𝑑 ↔ 𝑋𝑁𝑑))
4	2, 3	bibi12d 348	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = 𝑋 → (((𝐹‘𝑐) ≤ (𝐹‘𝑑) ↔ 𝑐𝑁𝑑) ↔ ((𝐹‘𝑋) ≤ (𝐹‘𝑑) ↔ 𝑋𝑁𝑑)))
5	4	imbi2d 343	. . . 4 ⊢ (𝑐 = 𝑋 → ((𝜑 → ((𝐹‘𝑐) ≤ (𝐹‘𝑑) ↔ 𝑐𝑁𝑑)) ↔ (𝜑 → ((𝐹‘𝑋) ≤ (𝐹‘𝑑) ↔ 𝑋𝑁𝑑))))
6		fveq2 6673	. . . . . . 7 ⊢ (𝑑 = 𝑌 → (𝐹‘𝑑) = (𝐹‘𝑌))
7	6	breq2d 5081	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 = 𝑌 → ((𝐹‘𝑋) ≤ (𝐹‘𝑑) ↔ (𝐹‘𝑋) ≤ (𝐹‘𝑌)))
8		breq2 5073	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 = 𝑌 → (𝑋𝑁𝑑 ↔ 𝑋𝑁𝑌))
9	7, 8	bibi12d 348	. . . . 5 ⊢ (𝑑 = 𝑌 → (((𝐹‘𝑋) ≤ (𝐹‘𝑑) ↔ 𝑋𝑁𝑑) ↔ ((𝐹‘𝑋) ≤ (𝐹‘𝑌) ↔ 𝑋𝑁𝑌)))
10	9	imbi2d 343	. . . 4 ⊢ (𝑑 = 𝑌 → ((𝜑 → ((𝐹‘𝑋) ≤ (𝐹‘𝑑) ↔ 𝑋𝑁𝑑)) ↔ (𝜑 → ((𝐹‘𝑋) ≤ (𝐹‘𝑌) ↔ 𝑋𝑁𝑌))))
11		imasless.f	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑉–onto→𝐵)
12		fofn 6595	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹:𝑉–onto→𝐵 → 𝐹 Fn 𝑉)
13	11, 12	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝑉)
14	13	adantr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) → 𝐹 Fn 𝑉)
15		fndm 6458	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 Fn 𝑉 → dom 𝐹 = 𝑉)
16	14, 15	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) → dom 𝐹 = 𝑉)
17	16	rexeqdv 3419	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) → (∃𝑎 ∈ dom 𝐹(𝑎𝐹(𝐹‘𝑐) ∧ 𝑎(𝐹 ∘ 𝑁)(𝐹‘𝑑)) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑉 (𝑎𝐹(𝐹‘𝑐) ∧ 𝑎(𝐹 ∘ 𝑁)(𝐹‘𝑑))))
18		fnbrfvb 6721	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹 Fn 𝑉 ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) → ((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑐) ↔ 𝑎𝐹(𝐹‘𝑐)))
19	14, 18	sylan 582	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) → ((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑐) ↔ 𝑎𝐹(𝐹‘𝑐)))
20	19	anbi1d 631	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) → (((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑐) ∧ 𝑎(𝐹 ∘ 𝑁)(𝐹‘𝑑)) ↔ (𝑎𝐹(𝐹‘𝑐) ∧ 𝑎(𝐹 ∘ 𝑁)(𝐹‘𝑑))))
21		ancom 463	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑎𝑁𝑏 ∧ 𝑏𝐹(𝐹‘𝑑)) ↔ (𝑏𝐹(𝐹‘𝑑) ∧ 𝑎𝑁𝑏))
22		vex 3500	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝑏 ∈ V
23		fvex 6686	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐹‘𝑑) ∈ V
24	22, 23	breldm 5780	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑏𝐹(𝐹‘𝑑) → 𝑏 ∈ dom 𝐹)
25	24	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑏𝐹(𝐹‘𝑑) ∧ 𝑎𝑁𝑏) → 𝑏 ∈ dom 𝐹)
26	25	pm4.71ri 563	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑏𝐹(𝐹‘𝑑) ∧ 𝑎𝑁𝑏) ↔ (𝑏 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝑏𝐹(𝐹‘𝑑) ∧ 𝑎𝑁𝑏)))
27	21, 26	bitri 277	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎𝑁𝑏 ∧ 𝑏𝐹(𝐹‘𝑑)) ↔ (𝑏 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝑏𝐹(𝐹‘𝑑) ∧ 𝑎𝑁𝑏)))
28	27	exbii 1847	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∃𝑏(𝑎𝑁𝑏 ∧ 𝑏𝐹(𝐹‘𝑑)) ↔ ∃𝑏(𝑏 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝑏𝐹(𝐹‘𝑑) ∧ 𝑎𝑁𝑏)))
29		vex 3500	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑎 ∈ V
30	29, 23	brco 5744	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎(𝐹 ∘ 𝑁)(𝐹‘𝑑) ↔ ∃𝑏(𝑎𝑁𝑏 ∧ 𝑏𝐹(𝐹‘𝑑)))
31		df-rex 3147	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∃𝑏 ∈ dom 𝐹(𝑏𝐹(𝐹‘𝑑) ∧ 𝑎𝑁𝑏) ↔ ∃𝑏(𝑏 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝑏𝐹(𝐹‘𝑑) ∧ 𝑎𝑁𝑏)))
32	28, 30, 31	3bitr4i 305	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎(𝐹 ∘ 𝑁)(𝐹‘𝑑) ↔ ∃𝑏 ∈ dom 𝐹(𝑏𝐹(𝐹‘𝑑) ∧ 𝑎𝑁𝑏))
33	14	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑐)) → 𝐹 Fn 𝑉)
34		fnbrfvb 6721	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐹 Fn 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → ((𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑑) ↔ 𝑏𝐹(𝐹‘𝑑)))
35	33, 34	sylan 582	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑐)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → ((𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑑) ↔ 𝑏𝐹(𝐹‘𝑑)))
36	35	anbi1d 631	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑐)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → (((𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑑) ∧ 𝑎𝑁𝑏) ↔ (𝑏𝐹(𝐹‘𝑑) ∧ 𝑎𝑁𝑏)))
37		imasleval.e	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) → (((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑐) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑑)) → (𝑎𝑁𝑏 ↔ 𝑐𝑁𝑑)))
38	37	3expa 1114	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) → (((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑐) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑑)) → (𝑎𝑁𝑏 ↔ 𝑐𝑁𝑑)))
39	38	an32s 650	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) → (((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑐) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑑)) → (𝑎𝑁𝑏 ↔ 𝑐𝑁𝑑)))
40	39	anassrs 470	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → (((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑐) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑑)) → (𝑎𝑁𝑏 ↔ 𝑐𝑁𝑑)))
41	40	impl 458	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑐)) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑑)) → (𝑎𝑁𝑏 ↔ 𝑐𝑁𝑑))
42	41	pm5.32da 581	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑐)) → (((𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑑) ∧ 𝑎𝑁𝑏) ↔ ((𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑑) ∧ 𝑐𝑁𝑑)))
43	42	an32s 650	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑐)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → (((𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑑) ∧ 𝑎𝑁𝑏) ↔ ((𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑑) ∧ 𝑐𝑁𝑑)))
44	36, 43	bitr3d 283	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑐)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → ((𝑏𝐹(𝐹‘𝑑) ∧ 𝑎𝑁𝑏) ↔ ((𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑑) ∧ 𝑐𝑁𝑑)))
45	44	rexbidva 3299	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑐)) → (∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑏𝐹(𝐹‘𝑑) ∧ 𝑎𝑁𝑏) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝑉 ((𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑑) ∧ 𝑐𝑁𝑑)))
46		r19.41v 3350	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∃𝑏 ∈ 𝑉 ((𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑑) ∧ 𝑐𝑁𝑑) ↔ (∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑑) ∧ 𝑐𝑁𝑑))
47	45, 46	syl6bb 289	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑐)) → (∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑏𝐹(𝐹‘𝑑) ∧ 𝑎𝑁𝑏) ↔ (∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑑) ∧ 𝑐𝑁𝑑)))
48	16	rexeqdv 3419	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) → (∃𝑏 ∈ dom 𝐹(𝑏𝐹(𝐹‘𝑑) ∧ 𝑎𝑁𝑏) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑏𝐹(𝐹‘𝑑) ∧ 𝑎𝑁𝑏)))
49	48	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑐)) → (∃𝑏 ∈ dom 𝐹(𝑏𝐹(𝐹‘𝑑) ∧ 𝑎𝑁𝑏) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑏𝐹(𝐹‘𝑑) ∧ 𝑎𝑁𝑏)))
50		simprr 771	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) → 𝑑 ∈ 𝑉)
51		eqid 2824	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐹‘𝑑) = (𝐹‘𝑑)
52		fveqeq2 6682	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑏 = 𝑑 → ((𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑑) ↔ (𝐹‘𝑑) = (𝐹‘𝑑)))
53	52	rspcev 3626	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑑 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹‘𝑑) = (𝐹‘𝑑)) → ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑑))
54	50, 51, 53	sylancl 588	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) → ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑑))
55	54	biantrurd 535	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) → (𝑐𝑁𝑑 ↔ (∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑑) ∧ 𝑐𝑁𝑑)))
56	55	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑐)) → (𝑐𝑁𝑑 ↔ (∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑑) ∧ 𝑐𝑁𝑑)))
57	47, 49, 56	3bitr4d 313	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑐)) → (∃𝑏 ∈ dom 𝐹(𝑏𝐹(𝐹‘𝑑) ∧ 𝑎𝑁𝑏) ↔ 𝑐𝑁𝑑))
58	32, 57	syl5bb 285	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑐)) → (𝑎(𝐹 ∘ 𝑁)(𝐹‘𝑑) ↔ 𝑐𝑁𝑑))
59	58	pm5.32da 581	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) → (((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑐) ∧ 𝑎(𝐹 ∘ 𝑁)(𝐹‘𝑑)) ↔ ((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑐) ∧ 𝑐𝑁𝑑)))
60	20, 59	bitr3d 283	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) → ((𝑎𝐹(𝐹‘𝑐) ∧ 𝑎(𝐹 ∘ 𝑁)(𝐹‘𝑑)) ↔ ((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑐) ∧ 𝑐𝑁𝑑)))
61	60	rexbidva 3299	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) → (∃𝑎 ∈ 𝑉 (𝑎𝐹(𝐹‘𝑐) ∧ 𝑎(𝐹 ∘ 𝑁)(𝐹‘𝑑)) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑐) ∧ 𝑐𝑁𝑑)))
62	17, 61	bitrd 281	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) → (∃𝑎 ∈ dom 𝐹(𝑎𝐹(𝐹‘𝑐) ∧ 𝑎(𝐹 ∘ 𝑁)(𝐹‘𝑑)) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑐) ∧ 𝑐𝑁𝑑)))
63		fvex 6686	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹‘𝑐) ∈ V
64	63, 29	brcnv 5756	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹‘𝑐)◡𝐹𝑎 ↔ 𝑎𝐹(𝐹‘𝑐))
65	64	anbi1i 625	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹‘𝑐)◡𝐹𝑎 ∧ 𝑎(𝐹 ∘ 𝑁)(𝐹‘𝑑)) ↔ (𝑎𝐹(𝐹‘𝑐) ∧ 𝑎(𝐹 ∘ 𝑁)(𝐹‘𝑑)))
66	29, 63	breldm 5780	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎𝐹(𝐹‘𝑐) → 𝑎 ∈ dom 𝐹)
67	66	adantr 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎𝐹(𝐹‘𝑐) ∧ 𝑎(𝐹 ∘ 𝑁)(𝐹‘𝑑)) → 𝑎 ∈ dom 𝐹)
68	67	pm4.71ri 563	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎𝐹(𝐹‘𝑐) ∧ 𝑎(𝐹 ∘ 𝑁)(𝐹‘𝑑)) ↔ (𝑎 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝑎𝐹(𝐹‘𝑐) ∧ 𝑎(𝐹 ∘ 𝑁)(𝐹‘𝑑))))
69	65, 68	bitri 277	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹‘𝑐)◡𝐹𝑎 ∧ 𝑎(𝐹 ∘ 𝑁)(𝐹‘𝑑)) ↔ (𝑎 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝑎𝐹(𝐹‘𝑐) ∧ 𝑎(𝐹 ∘ 𝑁)(𝐹‘𝑑))))
70	69	exbii 1847	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑎((𝐹‘𝑐)◡𝐹𝑎 ∧ 𝑎(𝐹 ∘ 𝑁)(𝐹‘𝑑)) ↔ ∃𝑎(𝑎 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝑎𝐹(𝐹‘𝑐) ∧ 𝑎(𝐹 ∘ 𝑁)(𝐹‘𝑑))))
71	63, 23	brco 5744	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘𝑐)((𝐹 ∘ 𝑁) ∘ ◡𝐹)(𝐹‘𝑑) ↔ ∃𝑎((𝐹‘𝑐)◡𝐹𝑎 ∧ 𝑎(𝐹 ∘ 𝑁)(𝐹‘𝑑)))
72		df-rex 3147	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑎 ∈ dom 𝐹(𝑎𝐹(𝐹‘𝑐) ∧ 𝑎(𝐹 ∘ 𝑁)(𝐹‘𝑑)) ↔ ∃𝑎(𝑎 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝑎𝐹(𝐹‘𝑐) ∧ 𝑎(𝐹 ∘ 𝑁)(𝐹‘𝑑))))
73	70, 71, 72	3bitr4ri 306	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑎 ∈ dom 𝐹(𝑎𝐹(𝐹‘𝑐) ∧ 𝑎(𝐹 ∘ 𝑁)(𝐹‘𝑑)) ↔ (𝐹‘𝑐)((𝐹 ∘ 𝑁) ∘ ◡𝐹)(𝐹‘𝑑))
74		r19.41v 3350	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑎 ∈ 𝑉 ((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑐) ∧ 𝑐𝑁𝑑) ↔ (∃𝑎 ∈ 𝑉 (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑐) ∧ 𝑐𝑁𝑑))
75	62, 73, 74	3bitr3g 315	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) → ((𝐹‘𝑐)((𝐹 ∘ 𝑁) ∘ ◡𝐹)(𝐹‘𝑑) ↔ (∃𝑎 ∈ 𝑉 (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑐) ∧ 𝑐𝑁𝑑)))
76		imasless.u	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝐹 “s 𝑅))
77		imasless.v	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝑅))
78		imasless.r	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑍)
79		imasleval.n	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑁 = (le‘𝑅)
80		imasless.l	. . . . . . . . 9 ⊢ ≤ = (le‘𝑈)
81	76, 77, 11, 78, 79, 80	imasle 16799	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ≤ = ((𝐹 ∘ 𝑁) ∘ ◡𝐹))
82	81	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) → ≤ = ((𝐹 ∘ 𝑁) ∘ ◡𝐹))
83	82	breqd 5080	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) → ((𝐹‘𝑐) ≤ (𝐹‘𝑑) ↔ (𝐹‘𝑐)((𝐹 ∘ 𝑁) ∘ ◡𝐹)(𝐹‘𝑑)))
84		simprl 769	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) → 𝑐 ∈ 𝑉)
85		eqid 2824	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹‘𝑐) = (𝐹‘𝑐)
86		fveqeq2 6682	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 𝑐 → ((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑐) ↔ (𝐹‘𝑐) = (𝐹‘𝑐)))
87	86	rspcev 3626	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑐 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹‘𝑐) = (𝐹‘𝑐)) → ∃𝑎 ∈ 𝑉 (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑐))
88	84, 85, 87	sylancl 588	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) → ∃𝑎 ∈ 𝑉 (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑐))
89	88	biantrurd 535	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) → (𝑐𝑁𝑑 ↔ (∃𝑎 ∈ 𝑉 (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑐) ∧ 𝑐𝑁𝑑)))
90	75, 83, 89	3bitr4d 313	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) → ((𝐹‘𝑐) ≤ (𝐹‘𝑑) ↔ 𝑐𝑁𝑑))
91	90	expcom 416	. . . 4 ⊢ ((𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) → (𝜑 → ((𝐹‘𝑐) ≤ (𝐹‘𝑑) ↔ 𝑐𝑁𝑑)))
92	5, 10, 91	vtocl2ga 3578	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝜑 → ((𝐹‘𝑋) ≤ (𝐹‘𝑌) ↔ 𝑋𝑁𝑌)))
93	92	com12 32	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((𝐹‘𝑋) ≤ (𝐹‘𝑌) ↔ 𝑋𝑁𝑌)))
94	93	3impib 1112	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((𝐹‘𝑋) ≤ (𝐹‘𝑌) ↔ 𝑋𝑁𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1536  ∃wex 1779   ∈ wcel 2113  ∃wrex 3142   class class class wbr 5069  ^◡ccnv 5557  dom cdm 5558   ∘ ccom 5562   Fn wfn 6353  –onto→wfo 6356  ‘cfv 6358  (class class class)co 7159  Basecbs 16486  lecple 16575   “_s cimas 16780

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-rep 5193  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-cnex 10596  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616  ax-pre-mulgt0 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-int 4880  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-om 7584  df-1st 7692  df-2nd 7693  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-1o 8105  df-oadd 8109  df-er 8292  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-fin 8516  df-sup 8909  df-inf 8910  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684  df-sub 10875  df-neg 10876  df-nn 11642  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-7 11708  df-8 11709  df-9 11710  df-n0 11901  df-z 11985  df-dec 12102  df-uz 12247  df-fz 12896  df-struct 16488  df-ndx 16489  df-slot 16490  df-base 16492  df-plusg 16581  df-mulr 16582  df-sca 16584  df-vsca 16585  df-ip 16586  df-tset 16587  df-ple 16588  df-ds 16590  df-imas 16784

This theorem is referenced by:  xpsle  16855