MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imasmnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem imasmnd 17244
Description: The image structure of a monoid is a monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
imasmnd.u (𝜑𝑈 = (𝐹s 𝑅))
imasmnd.v (𝜑𝑉 = (Base‘𝑅))
imasmnd.p + = (+g𝑅)
imasmnd.f (𝜑𝐹:𝑉onto𝐵)
imasmnd.e ((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉) ∧ (𝑝𝑉𝑞𝑉)) → (((𝐹𝑎) = (𝐹𝑝) ∧ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑞)) → (𝐹‘(𝑎 + 𝑏)) = (𝐹‘(𝑝 + 𝑞))))
imasmnd.r (𝜑𝑅 ∈ Mnd)
imasmnd.z 0 = (0g𝑅)
Assertion
Ref Expression
imasmnd (𝜑 → (𝑈 ∈ Mnd ∧ (𝐹0 ) = (0g𝑈)))
Distinct variable groups:   𝑞,𝑝, +   𝑎,𝑏,𝑝,𝑞,𝜑   𝑈,𝑎,𝑏,𝑝,𝑞   0 ,𝑝,𝑞   𝐵,𝑝,𝑞   𝐹,𝑎,𝑏,𝑝,𝑞   𝑅,𝑝,𝑞   𝑉,𝑎,𝑏,𝑝,𝑞
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑎,𝑏)   + (𝑎,𝑏)   𝑅(𝑎,𝑏)   0 (𝑎,𝑏)

Proof of Theorem imasmnd
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imasmnd.u . 2 (𝜑𝑈 = (𝐹s 𝑅))
2 imasmnd.v . 2 (𝜑𝑉 = (Base‘𝑅))
3 imasmnd.p . 2 + = (+g𝑅)
4 imasmnd.f . 2 (𝜑𝐹:𝑉onto𝐵)
5 imasmnd.e . 2 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉) ∧ (𝑝𝑉𝑞𝑉)) → (((𝐹𝑎) = (𝐹𝑝) ∧ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑞)) → (𝐹‘(𝑎 + 𝑏)) = (𝐹‘(𝑝 + 𝑞))))
6 imasmnd.r . 2 (𝜑𝑅 ∈ Mnd)
763ad2ant1 1080 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑉𝑦𝑉) → 𝑅 ∈ Mnd)
8 simp2 1060 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑉𝑦𝑉) → 𝑥𝑉)
923ad2ant1 1080 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑉𝑦𝑉) → 𝑉 = (Base‘𝑅))
108, 9eleqtrd 2706 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑉𝑦𝑉) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
11 simp3 1061 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑉𝑦𝑉) → 𝑦𝑉)
1211, 9eleqtrd 2706 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑉𝑦𝑉) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))
13 eqid 2626 . . . . 5 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
1413, 3mndcl 17217 . . . 4 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
157, 10, 12, 14syl3anc 1323 . . 3 ((𝜑𝑥𝑉𝑦𝑉) → (𝑥 + 𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
1615, 9eleqtrrd 2707 . 2 ((𝜑𝑥𝑉𝑦𝑉) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑉)
176adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉𝑧𝑉)) → 𝑅 ∈ Mnd)
18103adant3r3 1273 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉𝑧𝑉)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
19123adant3r3 1273 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉𝑧𝑉)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))
20 simpr3 1067 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉𝑧𝑉)) → 𝑧𝑉)
212adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉𝑧𝑉)) → 𝑉 = (Base‘𝑅))
2220, 21eleqtrd 2706 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉𝑧𝑉)) → 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))
2313, 3mndass 17218 . . . 4 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
2417, 18, 19, 22, 23syl13anc 1325 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉𝑧𝑉)) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
2524fveq2d 6154 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉𝑧𝑉)) → (𝐹‘((𝑥 + 𝑦) + 𝑧)) = (𝐹‘(𝑥 + (𝑦 + 𝑧))))
26 imasmnd.z . . . . 5 0 = (0g𝑅)
2713, 26mndidcl 17224 . . . 4 (𝑅 ∈ Mnd → 0 ∈ (Base‘𝑅))
286, 27syl 17 . . 3 (𝜑0 ∈ (Base‘𝑅))
2928, 2eleqtrrd 2707 . 2 (𝜑0𝑉)
306adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑉) → 𝑅 ∈ Mnd)
312eleq2d 2689 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝑉𝑥 ∈ (Base‘𝑅)))
3231biimpa 501 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑉) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
3313, 3, 26mndlid 17227 . . . 4 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ( 0 + 𝑥) = 𝑥)
3430, 32, 33syl2anc 692 . . 3 ((𝜑𝑥𝑉) → ( 0 + 𝑥) = 𝑥)
3534fveq2d 6154 . 2 ((𝜑𝑥𝑉) → (𝐹‘( 0 + 𝑥)) = (𝐹𝑥))
3613, 3, 26mndrid 17228 . . . 4 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥 + 0 ) = 𝑥)
3730, 32, 36syl2anc 692 . . 3 ((𝜑𝑥𝑉) → (𝑥 + 0 ) = 𝑥)
3837fveq2d 6154 . 2 ((𝜑𝑥𝑉) → (𝐹‘(𝑥 + 0 )) = (𝐹𝑥))
391, 2, 3, 4, 5, 6, 16, 25, 29, 35, 38imasmnd2 17243 1 (𝜑 → (𝑈 ∈ Mnd ∧ (𝐹0 ) = (0g𝑈)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1992  ontowfo 5848  cfv 5850  (class class class)co 6605  Basecbs 15776  +gcplusg 15857  0gc0g 16016  s cimas 16080  Mndcmnd 17210
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-oadd 7510  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-sup 8293  df-inf 8294  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-nn 10966  df-2 11024  df-3 11025  df-4 11026  df-5 11027  df-6 11028  df-7 11029  df-8 11030  df-9 11031  df-n0 11238  df-z 11323  df-dec 11438  df-uz 11632  df-fz 12266  df-struct 15778  df-ndx 15779  df-slot 15780  df-base 15781  df-plusg 15870  df-mulr 15871  df-sca 15873  df-vsca 15874  df-ip 15875  df-tset 15876  df-ple 15877  df-ds 15880  df-0g 16018  df-imas 16084  df-mgm 17158  df-sgrp 17200  df-mnd 17211
This theorem is referenced by:  imasmndf1  17245
  Copyright terms: Public domain W3C validator