MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imastopn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem imastopn 21433
Description: The topology of an image structure. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
imastps.u (𝜑𝑈 = (𝐹s 𝑅))
imastps.v (𝜑𝑉 = (Base‘𝑅))
imastps.f (𝜑𝐹:𝑉onto𝐵)
imastopn.r (𝜑𝑅𝑊)
imastopn.j 𝐽 = (TopOpen‘𝑅)
imastopn.o 𝑂 = (TopOpen‘𝑈)
Assertion
Ref Expression
imastopn (𝜑𝑂 = (𝐽 qTop 𝐹))

Proof of Theorem imastopn
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imastps.u . . . . . . 7 (𝜑𝑈 = (𝐹s 𝑅))
2 imastps.v . . . . . . 7 (𝜑𝑉 = (Base‘𝑅))
3 imastps.f . . . . . . 7 (𝜑𝐹:𝑉onto𝐵)
4 imastopn.r . . . . . . 7 (𝜑𝑅𝑊)
5 imastopn.j . . . . . . 7 𝐽 = (TopOpen‘𝑅)
6 eqid 2621 . . . . . . 7 (TopSet‘𝑈) = (TopSet‘𝑈)
71, 2, 3, 4, 5, 6imastset 16103 . . . . . 6 (𝜑 → (TopSet‘𝑈) = (𝐽 qTop 𝐹))
8 fvex 6158 . . . . . . . 8 (TopOpen‘𝑅) ∈ V
95, 8eqeltri 2694 . . . . . . 7 𝐽 ∈ V
10 fofn 6074 . . . . . . . . 9 (𝐹:𝑉onto𝐵𝐹 Fn 𝑉)
113, 10syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 Fn 𝑉)
12 fvex 6158 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑅) ∈ V
132, 12syl6eqel 2706 . . . . . . . 8 (𝜑𝑉 ∈ V)
14 fnex 6435 . . . . . . . 8 ((𝐹 Fn 𝑉𝑉 ∈ V) → 𝐹 ∈ V)
1511, 13, 14syl2anc 692 . . . . . . 7 (𝜑𝐹 ∈ V)
16 eqid 2621 . . . . . . . 8 𝐽 = 𝐽
1716qtopval 21408 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V) → (𝐽 qTop 𝐹) = {𝑥 ∈ 𝒫 (𝐹 𝐽) ∣ ((𝐹𝑥) ∩ 𝐽) ∈ 𝐽})
189, 15, 17sylancr 694 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐽 qTop 𝐹) = {𝑥 ∈ 𝒫 (𝐹 𝐽) ∣ ((𝐹𝑥) ∩ 𝐽) ∈ 𝐽})
197, 18eqtrd 2655 . . . . 5 (𝜑 → (TopSet‘𝑈) = {𝑥 ∈ 𝒫 (𝐹 𝐽) ∣ ((𝐹𝑥) ∩ 𝐽) ∈ 𝐽})
20 ssrab2 3666 . . . . . 6 {𝑥 ∈ 𝒫 (𝐹 𝐽) ∣ ((𝐹𝑥) ∩ 𝐽) ∈ 𝐽} ⊆ 𝒫 (𝐹 𝐽)
21 imassrn 5436 . . . . . . . 8 (𝐹 𝐽) ⊆ ran 𝐹
22 forn 6075 . . . . . . . . . 10 (𝐹:𝑉onto𝐵 → ran 𝐹 = 𝐵)
233, 22syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ran 𝐹 = 𝐵)
241, 2, 3, 4imasbas 16093 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 = (Base‘𝑈))
2523, 24eqtrd 2655 . . . . . . . 8 (𝜑 → ran 𝐹 = (Base‘𝑈))
2621, 25syl5sseq 3632 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹 𝐽) ⊆ (Base‘𝑈))
27 sspwb 4878 . . . . . . 7 ((𝐹 𝐽) ⊆ (Base‘𝑈) ↔ 𝒫 (𝐹 𝐽) ⊆ 𝒫 (Base‘𝑈))
2826, 27sylib 208 . . . . . 6 (𝜑 → 𝒫 (𝐹 𝐽) ⊆ 𝒫 (Base‘𝑈))
2920, 28syl5ss 3594 . . . . 5 (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝒫 (𝐹 𝐽) ∣ ((𝐹𝑥) ∩ 𝐽) ∈ 𝐽} ⊆ 𝒫 (Base‘𝑈))
3019, 29eqsstrd 3618 . . . 4 (𝜑 → (TopSet‘𝑈) ⊆ 𝒫 (Base‘𝑈))
31 eqid 2621 . . . . 5 (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
3231, 6topnid 16017 . . . 4 ((TopSet‘𝑈) ⊆ 𝒫 (Base‘𝑈) → (TopSet‘𝑈) = (TopOpen‘𝑈))
3330, 32syl 17 . . 3 (𝜑 → (TopSet‘𝑈) = (TopOpen‘𝑈))
34 imastopn.o . . 3 𝑂 = (TopOpen‘𝑈)
3533, 34syl6eqr 2673 . 2 (𝜑 → (TopSet‘𝑈) = 𝑂)
3635, 7eqtr3d 2657 1 (𝜑𝑂 = (𝐽 qTop 𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1480  wcel 1987  {crab 2911  Vcvv 3186  cin 3554  wss 3555  𝒫 cpw 4130   cuni 4402  ccnv 5073  ran crn 5075  cima 5077   Fn wfn 5842  ontowfo 5845  cfv 5847  (class class class)co 6604  Basecbs 15781  TopSetcts 15868  TopOpenctopn 16003   qTop cqtop 16084  s cimas 16085
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-sup 8292  df-inf 8293  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-fz 12269  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-sca 15878  df-vsca 15879  df-ip 15880  df-tset 15881  df-ple 15882  df-ds 15885  df-rest 16004  df-topn 16005  df-qtop 16088  df-imas 16089
This theorem is referenced by:  imastps  21434  xpstopnlem2  21524  qustgpopn  21833  qustgplem  21834  qustgphaus  21836  imasf1oxms  22204
  Copyright terms: Public domain W3C validator