MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imastps Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem imastps 22257
Description: The image of a topological space under a function is a topological space. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
imastps.u (𝜑𝑈 = (𝐹s 𝑅))
imastps.v (𝜑𝑉 = (Base‘𝑅))
imastps.f (𝜑𝐹:𝑉onto𝐵)
imastps.r (𝜑𝑅 ∈ TopSp)
Assertion
Ref Expression
imastps (𝜑𝑈 ∈ TopSp)

Proof of Theorem imastps
StepHypRef Expression
1 imastps.u . . . 4 (𝜑𝑈 = (𝐹s 𝑅))
2 imastps.v . . . 4 (𝜑𝑉 = (Base‘𝑅))
3 imastps.f . . . 4 (𝜑𝐹:𝑉onto𝐵)
4 imastps.r . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ TopSp)
5 eqid 2818 . . . 4 (TopOpen‘𝑅) = (TopOpen‘𝑅)
6 eqid 2818 . . . 4 (TopOpen‘𝑈) = (TopOpen‘𝑈)
71, 2, 3, 4, 5, 6imastopn 22256 . . 3 (𝜑 → (TopOpen‘𝑈) = ((TopOpen‘𝑅) qTop 𝐹))
8 eqid 2818 . . . . . . . 8 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
98, 5istps 21470 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ TopSp ↔ (TopOpen‘𝑅) ∈ (TopOn‘(Base‘𝑅)))
104, 9sylib 219 . . . . . 6 (𝜑 → (TopOpen‘𝑅) ∈ (TopOn‘(Base‘𝑅)))
112fveq2d 6667 . . . . . 6 (𝜑 → (TopOn‘𝑉) = (TopOn‘(Base‘𝑅)))
1210, 11eleqtrrd 2913 . . . . 5 (𝜑 → (TopOpen‘𝑅) ∈ (TopOn‘𝑉))
13 qtoptopon 22240 . . . . 5 (((TopOpen‘𝑅) ∈ (TopOn‘𝑉) ∧ 𝐹:𝑉onto𝐵) → ((TopOpen‘𝑅) qTop 𝐹) ∈ (TopOn‘𝐵))
1412, 3, 13syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → ((TopOpen‘𝑅) qTop 𝐹) ∈ (TopOn‘𝐵))
151, 2, 3, 4imasbas 16773 . . . . 5 (𝜑𝐵 = (Base‘𝑈))
1615fveq2d 6667 . . . 4 (𝜑 → (TopOn‘𝐵) = (TopOn‘(Base‘𝑈)))
1714, 16eleqtrd 2912 . . 3 (𝜑 → ((TopOpen‘𝑅) qTop 𝐹) ∈ (TopOn‘(Base‘𝑈)))
187, 17eqeltrd 2910 . 2 (𝜑 → (TopOpen‘𝑈) ∈ (TopOn‘(Base‘𝑈)))
19 eqid 2818 . . 3 (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
2019, 6istps 21470 . 2 (𝑈 ∈ TopSp ↔ (TopOpen‘𝑈) ∈ (TopOn‘(Base‘𝑈)))
2118, 20sylibr 235 1 (𝜑𝑈 ∈ TopSp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1528  wcel 2105  ontowfo 6346  cfv 6348  (class class class)co 7145  Basecbs 16471  TopOpenctopn 16683   qTop cqtop 16764  s cimas 16765  TopOnctopon 21446  TopSpctps 21468
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-fz 12881  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-sca 16569  df-vsca 16570  df-ip 16571  df-tset 16572  df-ple 16573  df-ds 16575  df-rest 16684  df-topn 16685  df-qtop 16768  df-imas 16769  df-top 21430  df-topon 21447  df-topsp 21469
This theorem is referenced by:  qustps  22258  xpstps  22346
  Copyright terms: Public domain W3C validator