MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imasvscaf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem imasvscaf 16120
Description: The image structure's scalar multiplication is closed in the base set. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
imasvscaf.u (𝜑𝑈 = (𝐹s 𝑅))
imasvscaf.v (𝜑𝑉 = (Base‘𝑅))
imasvscaf.f (𝜑𝐹:𝑉onto𝐵)
imasvscaf.r (𝜑𝑅𝑍)
imasvscaf.g 𝐺 = (Scalar‘𝑅)
imasvscaf.k 𝐾 = (Base‘𝐺)
imasvscaf.q · = ( ·𝑠𝑅)
imasvscaf.s = ( ·𝑠𝑈)
imasvscaf.e ((𝜑 ∧ (𝑝𝐾𝑎𝑉𝑞𝑉)) → ((𝐹𝑎) = (𝐹𝑞) → (𝐹‘(𝑝 · 𝑎)) = (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))))
imasvscaf.c ((𝜑 ∧ (𝑝𝐾𝑞𝑉)) → (𝑝 · 𝑞) ∈ 𝑉)
Assertion
Ref Expression
imasvscaf (𝜑 :(𝐾 × 𝐵)⟶𝐵)
Distinct variable groups:   𝑝,𝑎,𝑞,𝐹   𝐾,𝑎,𝑝,𝑞   𝜑,𝑎,𝑝,𝑞   𝐵,𝑝,𝑞   𝑅,𝑝,𝑞   · ,𝑝,𝑞   ,𝑎,𝑝,𝑞   𝑉,𝑎,𝑝,𝑞
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑎)   𝑅(𝑎)   · (𝑎)   𝑈(𝑞,𝑝,𝑎)   𝐺(𝑞,𝑝,𝑎)   𝑍(𝑞,𝑝,𝑎)

Proof of Theorem imasvscaf
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imasvscaf.u . . 3 (𝜑𝑈 = (𝐹s 𝑅))
2 imasvscaf.v . . 3 (𝜑𝑉 = (Base‘𝑅))
3 imasvscaf.f . . 3 (𝜑𝐹:𝑉onto𝐵)
4 imasvscaf.r . . 3 (𝜑𝑅𝑍)
5 imasvscaf.g . . 3 𝐺 = (Scalar‘𝑅)
6 imasvscaf.k . . 3 𝐾 = (Base‘𝐺)
7 imasvscaf.q . . 3 · = ( ·𝑠𝑅)
8 imasvscaf.s . . 3 = ( ·𝑠𝑈)
9 imasvscaf.e . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑝𝐾𝑎𝑉𝑞𝑉)) → ((𝐹𝑎) = (𝐹𝑞) → (𝐹‘(𝑝 · 𝑎)) = (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))))
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9imasvscafn 16118 . 2 (𝜑 Fn (𝐾 × 𝐵))
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8imasvsca 16101 . . 3 (𝜑 = 𝑞𝑉 (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))))
12 imasvscaf.c . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑝𝐾𝑞𝑉)) → (𝑝 · 𝑞) ∈ 𝑉)
13 fof 6072 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹:𝑉onto𝐵𝐹:𝑉𝐵)
143, 13syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐹:𝑉𝐵)
1514ffvelrnda 6315 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑝 · 𝑞) ∈ 𝑉) → (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)) ∈ 𝐵)
1612, 15syldan 487 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑝𝐾𝑞𝑉)) → (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)) ∈ 𝐵)
1716ralrimivw 2961 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑝𝐾𝑞𝑉)) → ∀𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)) ∈ 𝐵)
1817anass1rs 848 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑞𝑉) ∧ 𝑝𝐾) → ∀𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)) ∈ 𝐵)
1918ralrimiva 2960 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑞𝑉) → ∀𝑝𝐾𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)) ∈ 𝐵)
20 eqid 2621 . . . . . . . . 9 (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) = (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)))
2120fmpt2 7182 . . . . . . . 8 (∀𝑝𝐾𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)) ∈ 𝐵 ↔ (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))):(𝐾 × {(𝐹𝑞)})⟶𝐵)
2219, 21sylib 208 . . . . . . 7 ((𝜑𝑞𝑉) → (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))):(𝐾 × {(𝐹𝑞)})⟶𝐵)
23 fssxp 6017 . . . . . . 7 ((𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))):(𝐾 × {(𝐹𝑞)})⟶𝐵 → (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) ⊆ ((𝐾 × {(𝐹𝑞)}) × 𝐵))
2422, 23syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑞𝑉) → (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) ⊆ ((𝐾 × {(𝐹𝑞)}) × 𝐵))
2514ffvelrnda 6315 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑞𝑉) → (𝐹𝑞) ∈ 𝐵)
2625snssd 4309 . . . . . . 7 ((𝜑𝑞𝑉) → {(𝐹𝑞)} ⊆ 𝐵)
27 xpss2 5190 . . . . . . 7 ({(𝐹𝑞)} ⊆ 𝐵 → (𝐾 × {(𝐹𝑞)}) ⊆ (𝐾 × 𝐵))
28 xpss1 5189 . . . . . . 7 ((𝐾 × {(𝐹𝑞)}) ⊆ (𝐾 × 𝐵) → ((𝐾 × {(𝐹𝑞)}) × 𝐵) ⊆ ((𝐾 × 𝐵) × 𝐵))
2926, 27, 283syl 18 . . . . . 6 ((𝜑𝑞𝑉) → ((𝐾 × {(𝐹𝑞)}) × 𝐵) ⊆ ((𝐾 × 𝐵) × 𝐵))
3024, 29sstrd 3593 . . . . 5 ((𝜑𝑞𝑉) → (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) ⊆ ((𝐾 × 𝐵) × 𝐵))
3130ralrimiva 2960 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑞𝑉 (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) ⊆ ((𝐾 × 𝐵) × 𝐵))
32 iunss 4527 . . . 4 ( 𝑞𝑉 (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) ⊆ ((𝐾 × 𝐵) × 𝐵) ↔ ∀𝑞𝑉 (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) ⊆ ((𝐾 × 𝐵) × 𝐵))
3331, 32sylibr 224 . . 3 (𝜑 𝑞𝑉 (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) ⊆ ((𝐾 × 𝐵) × 𝐵))
3411, 33eqsstrd 3618 . 2 (𝜑 ⊆ ((𝐾 × 𝐵) × 𝐵))
35 dff2 6327 . 2 ( :(𝐾 × 𝐵)⟶𝐵 ↔ ( Fn (𝐾 × 𝐵) ∧ ⊆ ((𝐾 × 𝐵) × 𝐵)))
3610, 34, 35sylanbrc 697 1 (𝜑 :(𝐾 × 𝐵)⟶𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2907  wss 3555  {csn 4148   ciun 4485   × cxp 5072   Fn wfn 5842  wf 5843  ontowfo 5845  cfv 5847  (class class class)co 6604  cmpt2 6606  Basecbs 15781  Scalarcsca 15865   ·𝑠 cvsca 15866  s cimas 16085
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-sup 8292  df-inf 8293  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-fz 12269  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-sca 15878  df-vsca 15879  df-ip 15880  df-tset 15881  df-ple 15882  df-ds 15885  df-imas 16089
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator