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Theorem imasvscafn 15966
Description: The image structure's scalar multiplication is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
imasvscaf.u (𝜑𝑈 = (𝐹s 𝑅))
imasvscaf.v (𝜑𝑉 = (Base‘𝑅))
imasvscaf.f (𝜑𝐹:𝑉onto𝐵)
imasvscaf.r (𝜑𝑅𝑍)
imasvscaf.g 𝐺 = (Scalar‘𝑅)
imasvscaf.k 𝐾 = (Base‘𝐺)
imasvscaf.q · = ( ·𝑠𝑅)
imasvscaf.s = ( ·𝑠𝑈)
imasvscaf.e ((𝜑 ∧ (𝑝𝐾𝑎𝑉𝑞𝑉)) → ((𝐹𝑎) = (𝐹𝑞) → (𝐹‘(𝑝 · 𝑎)) = (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))))
Assertion
Ref Expression
imasvscafn (𝜑 Fn (𝐾 × 𝐵))
Distinct variable groups:   𝑝,𝑎,𝑞,𝐹   𝐾,𝑎,𝑝,𝑞   𝜑,𝑎,𝑝,𝑞   𝐵,𝑝,𝑞   𝑅,𝑝,𝑞   · ,𝑝,𝑞   ,𝑎,𝑝,𝑞   𝑉,𝑎,𝑝,𝑞
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑎)   𝑅(𝑎)   · (𝑎)   𝑈(𝑞,𝑝,𝑎)   𝐺(𝑞,𝑝,𝑎)   𝑍(𝑞,𝑝,𝑎)

Proof of Theorem imasvscafn
Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2609 . . . . . . . 8 (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) = (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)))
2 fvex 6098 . . . . . . . 8 (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)) ∈ V
31, 2fnmpt2i 7105 . . . . . . 7 (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) Fn (𝐾 × {(𝐹𝑞)})
4 fnrel 5889 . . . . . . 7 ((𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) Fn (𝐾 × {(𝐹𝑞)}) → Rel (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))))
53, 4ax-mp 5 . . . . . 6 Rel (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)))
65rgenw 2907 . . . . 5 𝑞𝑉 Rel (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)))
7 reliun 5151 . . . . 5 (Rel 𝑞𝑉 (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) ↔ ∀𝑞𝑉 Rel (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))))
86, 7mpbir 219 . . . 4 Rel 𝑞𝑉 (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)))
9 imasvscaf.u . . . . . 6 (𝜑𝑈 = (𝐹s 𝑅))
10 imasvscaf.v . . . . . 6 (𝜑𝑉 = (Base‘𝑅))
11 imasvscaf.f . . . . . 6 (𝜑𝐹:𝑉onto𝐵)
12 imasvscaf.r . . . . . 6 (𝜑𝑅𝑍)
13 imasvscaf.g . . . . . 6 𝐺 = (Scalar‘𝑅)
14 imasvscaf.k . . . . . 6 𝐾 = (Base‘𝐺)
15 imasvscaf.q . . . . . 6 · = ( ·𝑠𝑅)
16 imasvscaf.s . . . . . 6 = ( ·𝑠𝑈)
179, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16imasvsca 15949 . . . . 5 (𝜑 = 𝑞𝑉 (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))))
1817releqd 5116 . . . 4 (𝜑 → (Rel ↔ Rel 𝑞𝑉 (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)))))
198, 18mpbiri 246 . . 3 (𝜑 → Rel )
20 dffn2 5946 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) Fn (𝐾 × {(𝐹𝑞)}) ↔ (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))):(𝐾 × {(𝐹𝑞)})⟶V)
213, 20mpbi 218 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))):(𝐾 × {(𝐹𝑞)})⟶V
22 fssxp 5959 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))):(𝐾 × {(𝐹𝑞)})⟶V → (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) ⊆ ((𝐾 × {(𝐹𝑞)}) × V))
2321, 22ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) ⊆ ((𝐾 × {(𝐹𝑞)}) × V)
24 fof 6013 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹:𝑉onto𝐵𝐹:𝑉𝐵)
2511, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐹:𝑉𝐵)
2625ffvelrnda 6252 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑞𝑉) → (𝐹𝑞) ∈ 𝐵)
2726snssd 4280 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑞𝑉) → {(𝐹𝑞)} ⊆ 𝐵)
28 xpss2 5141 . . . . . . . . . . . 12 ({(𝐹𝑞)} ⊆ 𝐵 → (𝐾 × {(𝐹𝑞)}) ⊆ (𝐾 × 𝐵))
29 xpss1 5140 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 × {(𝐹𝑞)}) ⊆ (𝐾 × 𝐵) → ((𝐾 × {(𝐹𝑞)}) × V) ⊆ ((𝐾 × 𝐵) × V))
3027, 28, 293syl 18 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑞𝑉) → ((𝐾 × {(𝐹𝑞)}) × V) ⊆ ((𝐾 × 𝐵) × V))
3123, 30syl5ss 3578 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑞𝑉) → (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) ⊆ ((𝐾 × 𝐵) × V))
3231ralrimiva 2948 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑞𝑉 (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) ⊆ ((𝐾 × 𝐵) × V))
33 iunss 4491 . . . . . . . . 9 ( 𝑞𝑉 (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) ⊆ ((𝐾 × 𝐵) × V) ↔ ∀𝑞𝑉 (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) ⊆ ((𝐾 × 𝐵) × V))
3432, 33sylibr 222 . . . . . . . 8 (𝜑 𝑞𝑉 (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) ⊆ ((𝐾 × 𝐵) × V))
3517, 34eqsstrd 3601 . . . . . . 7 (𝜑 ⊆ ((𝐾 × 𝐵) × V))
36 dmss 5232 . . . . . . 7 ( ⊆ ((𝐾 × 𝐵) × V) → dom ⊆ dom ((𝐾 × 𝐵) × V))
3735, 36syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → dom ⊆ dom ((𝐾 × 𝐵) × V))
38 vn0 3882 . . . . . . 7 V ≠ ∅
39 dmxp 5252 . . . . . . 7 (V ≠ ∅ → dom ((𝐾 × 𝐵) × V) = (𝐾 × 𝐵))
4038, 39ax-mp 5 . . . . . 6 dom ((𝐾 × 𝐵) × V) = (𝐾 × 𝐵)
4137, 40syl6sseq 3613 . . . . 5 (𝜑 → dom ⊆ (𝐾 × 𝐵))
42 forn 6016 . . . . . . 7 (𝐹:𝑉onto𝐵 → ran 𝐹 = 𝐵)
4311, 42syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ran 𝐹 = 𝐵)
4443xpeq2d 5053 . . . . 5 (𝜑 → (𝐾 × ran 𝐹) = (𝐾 × 𝐵))
4541, 44sseqtr4d 3604 . . . 4 (𝜑 → dom ⊆ (𝐾 × ran 𝐹))
46 df-br 4578 . . . . . . . . . 10 (⟨𝑝, (𝐹𝑎)⟩ 𝑤 ↔ ⟨⟨𝑝, (𝐹𝑎)⟩, 𝑤⟩ ∈ )
4717eleq2d 2672 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (⟨⟨𝑝, (𝐹𝑎)⟩, 𝑤⟩ ∈ ↔ ⟨⟨𝑝, (𝐹𝑎)⟩, 𝑤⟩ ∈ 𝑞𝑉 (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)))))
4847adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑝𝐾𝑎𝑉)) → (⟨⟨𝑝, (𝐹𝑎)⟩, 𝑤⟩ ∈ ↔ ⟨⟨𝑝, (𝐹𝑎)⟩, 𝑤⟩ ∈ 𝑞𝑉 (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)))))
49 eliun 4454 . . . . . . . . . . . 12 (⟨⟨𝑝, (𝐹𝑎)⟩, 𝑤⟩ ∈ 𝑞𝑉 (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) ↔ ∃𝑞𝑉 ⟨⟨𝑝, (𝐹𝑎)⟩, 𝑤⟩ ∈ (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))))
50 df-3an 1032 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑝𝐾𝑎𝑉𝑞𝑉) ↔ ((𝑝𝐾𝑎𝑉) ∧ 𝑞𝑉))
511mpt2fun 6638 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Fun (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)))
52 funopfv 6130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (Fun (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) → (⟨⟨𝑝, (𝐹𝑎)⟩, 𝑤⟩ ∈ (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) → ((𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)))‘⟨𝑝, (𝐹𝑎)⟩) = 𝑤))
5351, 52ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (⟨⟨𝑝, (𝐹𝑎)⟩, 𝑤⟩ ∈ (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) → ((𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)))‘⟨𝑝, (𝐹𝑎)⟩) = 𝑤)
54 df-ov 6530 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑝(𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)))(𝐹𝑎)) = ((𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)))‘⟨𝑝, (𝐹𝑎)⟩)
55 opex 4853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝑝, (𝐹𝑎)⟩ ∈ V
56 vex 3175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝑤 ∈ V
5755, 56opeldm 5237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (⟨⟨𝑝, (𝐹𝑎)⟩, 𝑤⟩ ∈ (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) → ⟨𝑝, (𝐹𝑎)⟩ ∈ dom (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))))
581, 2dmmpt2 7106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 dom (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) = (𝐾 × {(𝐹𝑞)})
5957, 58syl6eleq 2697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (⟨⟨𝑝, (𝐹𝑎)⟩, 𝑤⟩ ∈ (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) → ⟨𝑝, (𝐹𝑎)⟩ ∈ (𝐾 × {(𝐹𝑞)}))
60 opelxp 5060 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (⟨𝑝, (𝐹𝑎)⟩ ∈ (𝐾 × {(𝐹𝑞)}) ↔ (𝑝𝐾 ∧ (𝐹𝑎) ∈ {(𝐹𝑞)}))
6159, 60sylib 206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (⟨⟨𝑝, (𝐹𝑎)⟩, 𝑤⟩ ∈ (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) → (𝑝𝐾 ∧ (𝐹𝑎) ∈ {(𝐹𝑞)}))
62 oveq1 6534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑧 = 𝑝 → (𝑧 · 𝑞) = (𝑝 · 𝑞))
6362fveq2d 6092 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑧 = 𝑝 → (𝐹‘(𝑧 · 𝑞)) = (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)))
64 eqidd 2610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 = (𝐹𝑎) → (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)) = (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)))
6563equcoms 1933 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑝 = 𝑧 → (𝐹‘(𝑧 · 𝑞)) = (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)))
6665eqcomd 2615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑝 = 𝑧 → (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)) = (𝐹‘(𝑧 · 𝑞)))
67 eqidd 2610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = 𝑦 → (𝐹‘(𝑧 · 𝑞)) = (𝐹‘(𝑧 · 𝑞)))
6866, 67cbvmpt2v 6611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) = (𝑧𝐾, 𝑦 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑧 · 𝑞)))
6963, 64, 68, 2ovmpt2 6672 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑝𝐾 ∧ (𝐹𝑎) ∈ {(𝐹𝑞)}) → (𝑝(𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)))(𝐹𝑎)) = (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)))
7061, 69syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (⟨⟨𝑝, (𝐹𝑎)⟩, 𝑤⟩ ∈ (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) → (𝑝(𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)))(𝐹𝑎)) = (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)))
7154, 70syl5eqr 2657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (⟨⟨𝑝, (𝐹𝑎)⟩, 𝑤⟩ ∈ (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) → ((𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)))‘⟨𝑝, (𝐹𝑎)⟩) = (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)))
7253, 71eqtr3d 2645 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (⟨⟨𝑝, (𝐹𝑎)⟩, 𝑤⟩ ∈ (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) → 𝑤 = (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)))
7372adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑝𝐾𝑎𝑉𝑞𝑉)) ∧ ⟨⟨𝑝, (𝐹𝑎)⟩, 𝑤⟩ ∈ (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)))) → 𝑤 = (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)))
7461simprd 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (⟨⟨𝑝, (𝐹𝑎)⟩, 𝑤⟩ ∈ (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) → (𝐹𝑎) ∈ {(𝐹𝑞)})
75 elsni 4141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐹𝑎) ∈ {(𝐹𝑞)} → (𝐹𝑎) = (𝐹𝑞))
7674, 75syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (⟨⟨𝑝, (𝐹𝑎)⟩, 𝑤⟩ ∈ (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) → (𝐹𝑎) = (𝐹𝑞))
77 imasvscaf.e . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑝𝐾𝑎𝑉𝑞𝑉)) → ((𝐹𝑎) = (𝐹𝑞) → (𝐹‘(𝑝 · 𝑎)) = (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))))
7877imp 443 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑝𝐾𝑎𝑉𝑞𝑉)) ∧ (𝐹𝑎) = (𝐹𝑞)) → (𝐹‘(𝑝 · 𝑎)) = (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)))
7976, 78sylan2 489 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑝𝐾𝑎𝑉𝑞𝑉)) ∧ ⟨⟨𝑝, (𝐹𝑎)⟩, 𝑤⟩ ∈ (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)))) → (𝐹‘(𝑝 · 𝑎)) = (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)))
8073, 79eqtr4d 2646 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑝𝐾𝑎𝑉𝑞𝑉)) ∧ ⟨⟨𝑝, (𝐹𝑎)⟩, 𝑤⟩ ∈ (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)))) → 𝑤 = (𝐹‘(𝑝 · 𝑎)))
8180ex 448 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑝𝐾𝑎𝑉𝑞𝑉)) → (⟨⟨𝑝, (𝐹𝑎)⟩, 𝑤⟩ ∈ (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) → 𝑤 = (𝐹‘(𝑝 · 𝑎))))
8250, 81sylan2br 491 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ ((𝑝𝐾𝑎𝑉) ∧ 𝑞𝑉)) → (⟨⟨𝑝, (𝐹𝑎)⟩, 𝑤⟩ ∈ (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) → 𝑤 = (𝐹‘(𝑝 · 𝑎))))
8382anassrs 677 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑝𝐾𝑎𝑉)) ∧ 𝑞𝑉) → (⟨⟨𝑝, (𝐹𝑎)⟩, 𝑤⟩ ∈ (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) → 𝑤 = (𝐹‘(𝑝 · 𝑎))))
8483rexlimdva 3012 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑝𝐾𝑎𝑉)) → (∃𝑞𝑉 ⟨⟨𝑝, (𝐹𝑎)⟩, 𝑤⟩ ∈ (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) → 𝑤 = (𝐹‘(𝑝 · 𝑎))))
8549, 84syl5bi 230 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑝𝐾𝑎𝑉)) → (⟨⟨𝑝, (𝐹𝑎)⟩, 𝑤⟩ ∈ 𝑞𝑉 (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) → 𝑤 = (𝐹‘(𝑝 · 𝑎))))
8648, 85sylbid 228 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑝𝐾𝑎𝑉)) → (⟨⟨𝑝, (𝐹𝑎)⟩, 𝑤⟩ ∈ 𝑤 = (𝐹‘(𝑝 · 𝑎))))
8746, 86syl5bi 230 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑝𝐾𝑎𝑉)) → (⟨𝑝, (𝐹𝑎)⟩ 𝑤𝑤 = (𝐹‘(𝑝 · 𝑎))))
8887alrimiv 1841 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑝𝐾𝑎𝑉)) → ∀𝑤(⟨𝑝, (𝐹𝑎)⟩ 𝑤𝑤 = (𝐹‘(𝑝 · 𝑎))))
89 mo2icl 3351 . . . . . . . 8 (∀𝑤(⟨𝑝, (𝐹𝑎)⟩ 𝑤𝑤 = (𝐹‘(𝑝 · 𝑎))) → ∃*𝑤𝑝, (𝐹𝑎)⟩ 𝑤)
9088, 89syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑝𝐾𝑎𝑉)) → ∃*𝑤𝑝, (𝐹𝑎)⟩ 𝑤)
9190ralrimivva 2953 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑝𝐾𝑎𝑉 ∃*𝑤𝑝, (𝐹𝑎)⟩ 𝑤)
92 fofn 6015 . . . . . . . 8 (𝐹:𝑉onto𝐵𝐹 Fn 𝑉)
93 opeq2 4335 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (𝐹𝑎) → ⟨𝑝, 𝑦⟩ = ⟨𝑝, (𝐹𝑎)⟩)
9493breq1d 4587 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (𝐹𝑎) → (⟨𝑝, 𝑦 𝑤 ↔ ⟨𝑝, (𝐹𝑎)⟩ 𝑤))
9594mobidv 2478 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (𝐹𝑎) → (∃*𝑤𝑝, 𝑦 𝑤 ↔ ∃*𝑤𝑝, (𝐹𝑎)⟩ 𝑤))
9695ralrn 6255 . . . . . . . 8 (𝐹 Fn 𝑉 → (∀𝑦 ∈ ran 𝐹∃*𝑤𝑝, 𝑦 𝑤 ↔ ∀𝑎𝑉 ∃*𝑤𝑝, (𝐹𝑎)⟩ 𝑤))
9711, 92, 963syl 18 . . . . . . 7 (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ran 𝐹∃*𝑤𝑝, 𝑦 𝑤 ↔ ∀𝑎𝑉 ∃*𝑤𝑝, (𝐹𝑎)⟩ 𝑤))
9897ralbidv 2968 . . . . . 6 (𝜑 → (∀𝑝𝐾𝑦 ∈ ran 𝐹∃*𝑤𝑝, 𝑦 𝑤 ↔ ∀𝑝𝐾𝑎𝑉 ∃*𝑤𝑝, (𝐹𝑎)⟩ 𝑤))
9991, 98mpbird 245 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑝𝐾𝑦 ∈ ran 𝐹∃*𝑤𝑝, 𝑦 𝑤)
100 breq1 4580 . . . . . . 7 (𝑥 = ⟨𝑝, 𝑦⟩ → (𝑥 𝑤 ↔ ⟨𝑝, 𝑦 𝑤))
101100mobidv 2478 . . . . . 6 (𝑥 = ⟨𝑝, 𝑦⟩ → (∃*𝑤 𝑥 𝑤 ↔ ∃*𝑤𝑝, 𝑦 𝑤))
102101ralxp 5173 . . . . 5 (∀𝑥 ∈ (𝐾 × ran 𝐹)∃*𝑤 𝑥 𝑤 ↔ ∀𝑝𝐾𝑦 ∈ ran 𝐹∃*𝑤𝑝, 𝑦 𝑤)
10399, 102sylibr 222 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐾 × ran 𝐹)∃*𝑤 𝑥 𝑤)
104 ssralv 3628 . . . 4 (dom ⊆ (𝐾 × ran 𝐹) → (∀𝑥 ∈ (𝐾 × ran 𝐹)∃*𝑤 𝑥 𝑤 → ∀𝑥 ∈ dom ∃*𝑤 𝑥 𝑤))
10545, 103, 104sylc 62 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ dom ∃*𝑤 𝑥 𝑤)
106 dffun7 5816 . . 3 (Fun ↔ (Rel ∧ ∀𝑥 ∈ dom ∃*𝑤 𝑥 𝑤))
10719, 105, 106sylanbrc 694 . 2 (𝜑 → Fun )
108 eqimss2 3620 . . . . . . . . . . . . . . 15 ( = 𝑞𝑉 (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) → 𝑞𝑉 (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) ⊆ )
10917, 108syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 𝑞𝑉 (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) ⊆ )
110 iunss 4491 . . . . . . . . . . . . . 14 ( 𝑞𝑉 (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) ⊆ ↔ ∀𝑞𝑉 (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) ⊆ )
111109, 110sylib 206 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ∀𝑞𝑉 (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) ⊆ )
112111r19.21bi 2915 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑞𝑉) → (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) ⊆ )
113112adantrl 747 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑝𝐾𝑞𝑉)) → (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) ⊆ )
114 dmss 5232 . . . . . . . . . . 11 ((𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) ⊆ → dom (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) ⊆ dom )
115113, 114syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑝𝐾𝑞𝑉)) → dom (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) ⊆ dom )
11658, 115syl5eqssr 3612 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑝𝐾𝑞𝑉)) → (𝐾 × {(𝐹𝑞)}) ⊆ dom )
117 simprl 789 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑝𝐾𝑞𝑉)) → 𝑝𝐾)
118 fvex 6098 . . . . . . . . . . 11 (𝐹𝑞) ∈ V
119118snid 4154 . . . . . . . . . 10 (𝐹𝑞) ∈ {(𝐹𝑞)}
120 opelxpi 5062 . . . . . . . . . 10 ((𝑝𝐾 ∧ (𝐹𝑞) ∈ {(𝐹𝑞)}) → ⟨𝑝, (𝐹𝑞)⟩ ∈ (𝐾 × {(𝐹𝑞)}))
121117, 119, 120sylancl 692 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑝𝐾𝑞𝑉)) → ⟨𝑝, (𝐹𝑞)⟩ ∈ (𝐾 × {(𝐹𝑞)}))
122116, 121sseldd 3568 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑝𝐾𝑞𝑉)) → ⟨𝑝, (𝐹𝑞)⟩ ∈ dom )
123122ralrimivva 2953 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑝𝐾𝑞𝑉𝑝, (𝐹𝑞)⟩ ∈ dom )
124 opeq2 4335 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (𝐹𝑞) → ⟨𝑝, 𝑦⟩ = ⟨𝑝, (𝐹𝑞)⟩)
125124eleq1d 2671 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (𝐹𝑞) → (⟨𝑝, 𝑦⟩ ∈ dom ↔ ⟨𝑝, (𝐹𝑞)⟩ ∈ dom ))
126125ralrn 6255 . . . . . . . . 9 (𝐹 Fn 𝑉 → (∀𝑦 ∈ ran 𝐹𝑝, 𝑦⟩ ∈ dom ↔ ∀𝑞𝑉𝑝, (𝐹𝑞)⟩ ∈ dom ))
12711, 92, 1263syl 18 . . . . . . . 8 (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ran 𝐹𝑝, 𝑦⟩ ∈ dom ↔ ∀𝑞𝑉𝑝, (𝐹𝑞)⟩ ∈ dom ))
128127ralbidv 2968 . . . . . . 7 (𝜑 → (∀𝑝𝐾𝑦 ∈ ran 𝐹𝑝, 𝑦⟩ ∈ dom ↔ ∀𝑝𝐾𝑞𝑉𝑝, (𝐹𝑞)⟩ ∈ dom ))
129123, 128mpbird 245 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑝𝐾𝑦 ∈ ran 𝐹𝑝, 𝑦⟩ ∈ dom )
130 eleq1 2675 . . . . . . 7 (𝑥 = ⟨𝑝, 𝑦⟩ → (𝑥 ∈ dom ↔ ⟨𝑝, 𝑦⟩ ∈ dom ))
131130ralxp 5173 . . . . . 6 (∀𝑥 ∈ (𝐾 × ran 𝐹)𝑥 ∈ dom ↔ ∀𝑝𝐾𝑦 ∈ ran 𝐹𝑝, 𝑦⟩ ∈ dom )
132129, 131sylibr 222 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐾 × ran 𝐹)𝑥 ∈ dom )
133 dfss3 3557 . . . . 5 ((𝐾 × ran 𝐹) ⊆ dom ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐾 × ran 𝐹)𝑥 ∈ dom )
134132, 133sylibr 222 . . . 4 (𝜑 → (𝐾 × ran 𝐹) ⊆ dom )
13544, 134eqsstr3d 3602 . . 3 (𝜑 → (𝐾 × 𝐵) ⊆ dom )
13641, 135eqssd 3584 . 2 (𝜑 → dom = (𝐾 × 𝐵))
137 df-fn 5793 . 2 ( Fn (𝐾 × 𝐵) ↔ (Fun ∧ dom = (𝐾 × 𝐵)))
138107, 136, 137sylanbrc 694 1 (𝜑 Fn (𝐾 × 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382  w3a 1030  wal 1472   = wceq 1474  wcel 1976  ∃*wmo 2458  wne 2779  wral 2895  wrex 2896  Vcvv 3172  wss 3539  c0 3873  {csn 4124  cop 4130   ciun 4449   class class class wbr 4577   × cxp 5026  dom cdm 5028  ran crn 5029  Rel wrel 5033  Fun wfun 5784   Fn wfn 5785  wf 5786  ontowfo 5788  cfv 5790  (class class class)co 6527  cmpt2 6529  Basecbs 15641  Scalarcsca 15717   ·𝑠 cvsca 15718  s cimas 15933
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-oadd 7428  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-sup 8208  df-inf 8209  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10868  df-2 10926  df-3 10927  df-4 10928  df-5 10929  df-6 10930  df-7 10931  df-8 10932  df-9 10933  df-n0 11140  df-z 11211  df-dec 11326  df-uz 11520  df-fz 12153  df-struct 15643  df-ndx 15644  df-slot 15645  df-base 15646  df-plusg 15727  df-mulr 15728  df-sca 15730  df-vsca 15731  df-ip 15732  df-tset 15733  df-ple 15734  df-ds 15737  df-imas 15937
This theorem is referenced by:  imasvscaval  15967  imasvscaf  15968
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