Users' Mathboxes Mathbox for Alan Sare < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  imbi12VD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem imbi12VD 38631
Description: Implication form of imbi12i 340. The following User's Proof is a Virtual Deduction proof completed automatically by the tools program completeusersproof.cmd, which invokes Mel L. O'Cat's mmj2 and Norm Megill's Metamath Proof Assistant. imbi12 336 is imbi12VD 38631 without virtual deductions and was automatically derived from imbi12VD 38631.
1:: (   (𝜑𝜓)   ▶   (𝜑𝜓)   )
2:: (   (𝜑𝜓)   ,   (𝜒𝜃)    ▶   (𝜒𝜃)   )
3:: (   (𝜑𝜓)   ,   (𝜒𝜃)   ,   (𝜑 𝜒)   ▶   (𝜑𝜒)   )
4:1,3: (   (𝜑𝜓)   ,   (𝜒𝜃)   ,   (𝜑 𝜒)   ▶   (𝜓𝜒)   )
5:2,4: (   (𝜑𝜓)   ,   (𝜒𝜃)   ,   (𝜑 𝜒)   ▶   (𝜓𝜃)   )
6:5: (   (𝜑𝜓)   ,   (𝜒𝜃)    ▶   ((𝜑𝜒) → (𝜓𝜃))   )
7:: (   (𝜑𝜓)   ,   (𝜒𝜃)   ,   (𝜓 𝜃)   ▶   (𝜓𝜃)   )
8:1,7: (   (𝜑𝜓)   ,   (𝜒𝜃)   ,   (𝜓 𝜃)   ▶   (𝜑𝜃)   )
9:2,8: (   (𝜑𝜓)   ,   (𝜒𝜃)   ,   (𝜓 𝜃)   ▶   (𝜑𝜒)   )
10:9: (   (𝜑𝜓)   ,   (𝜒𝜃)    ▶   ((𝜓𝜃) → (𝜑𝜒))   )
11:6,10: (   (𝜑𝜓)   ,   (𝜒𝜃)    ▶   ((𝜑𝜒) ↔ (𝜓𝜃))   )
12:11: (   (𝜑𝜓)   ▶   ((𝜒𝜃) → ((𝜑𝜒) ↔ (𝜓𝜃)))   )
qed:12: ((𝜑𝜓) → ((𝜒𝜃) → ((𝜑𝜒) ↔ (𝜓𝜃))))
(Contributed by Alan Sare, 18-Mar-2012.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
imbi12VD ((𝜑𝜓) → ((𝜒𝜃) → ((𝜑𝜒) ↔ (𝜓𝜃))))

Proof of Theorem imbi12VD
StepHypRef Expression
1 idn2 38359 . . . . . 6 (   (𝜑𝜓)   ,   (𝜒𝜃)   ▶   (𝜒𝜃)   )
2 idn1 38311 . . . . . . 7 (   (𝜑𝜓)   ▶   (𝜑𝜓)   )
3 idn3 38361 . . . . . . 7 (   (𝜑𝜓)   ,   (𝜒𝜃)   ,   (𝜑𝜒)   ▶   (𝜑𝜒)   )
4 biimpr 210 . . . . . . . 8 ((𝜑𝜓) → (𝜓𝜑))
54imim1d 82 . . . . . . 7 ((𝜑𝜓) → ((𝜑𝜒) → (𝜓𝜒)))
62, 3, 5e13 38496 . . . . . 6 (   (𝜑𝜓)   ,   (𝜒𝜃)   ,   (𝜑𝜒)   ▶   (𝜓𝜒)   )
7 biimp 205 . . . . . . 7 ((𝜒𝜃) → (𝜒𝜃))
87imim2d 57 . . . . . 6 ((𝜒𝜃) → ((𝜓𝜒) → (𝜓𝜃)))
91, 6, 8e23 38503 . . . . 5 (   (𝜑𝜓)   ,   (𝜒𝜃)   ,   (𝜑𝜒)   ▶   (𝜓𝜃)   )
109in3 38355 . . . 4 (   (𝜑𝜓)   ,   (𝜒𝜃)   ▶   ((𝜑𝜒) → (𝜓𝜃))   )
11 idn3 38361 . . . . . . 7 (   (𝜑𝜓)   ,   (𝜒𝜃)   ,   (𝜓𝜃)   ▶   (𝜓𝜃)   )
12 biimp 205 . . . . . . . 8 ((𝜑𝜓) → (𝜑𝜓))
1312imim1d 82 . . . . . . 7 ((𝜑𝜓) → ((𝜓𝜃) → (𝜑𝜃)))
142, 11, 13e13 38496 . . . . . 6 (   (𝜑𝜓)   ,   (𝜒𝜃)   ,   (𝜓𝜃)   ▶   (𝜑𝜃)   )
15 biimpr 210 . . . . . . 7 ((𝜒𝜃) → (𝜃𝜒))
1615imim2d 57 . . . . . 6 ((𝜒𝜃) → ((𝜑𝜃) → (𝜑𝜒)))
171, 14, 16e23 38503 . . . . 5 (   (𝜑𝜓)   ,   (𝜒𝜃)   ,   (𝜓𝜃)   ▶   (𝜑𝜒)   )
1817in3 38355 . . . 4 (   (𝜑𝜓)   ,   (𝜒𝜃)   ▶   ((𝜓𝜃) → (𝜑𝜒))   )
19 impbi 198 . . . 4 (((𝜑𝜒) → (𝜓𝜃)) → (((𝜓𝜃) → (𝜑𝜒)) → ((𝜑𝜒) ↔ (𝜓𝜃))))
2010, 18, 19e22 38417 . . 3 (   (𝜑𝜓)   ,   (𝜒𝜃)   ▶   ((𝜑𝜒) ↔ (𝜓𝜃))   )
2120in2 38351 . 2 (   (𝜑𝜓)   ▶   ((𝜒𝜃) → ((𝜑𝜒) ↔ (𝜓𝜃)))   )
2221in1 38308 1 ((𝜑𝜓) → ((𝜒𝜃) → ((𝜑𝜒) ↔ (𝜓𝜃))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 386  df-3an 1038  df-vd1 38307  df-vd2 38315  df-vd3 38327
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator