Theorem imcj 14493

Description: Imaginary part of a complex conjugate. (Contributed by NM, 18-Mar-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
imcj	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘(∗‘𝐴)) = -(ℑ‘𝐴))

Proof of Theorem imcj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recl 14471	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
2	1	recnd 10671	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℂ)
3		ax-icn 10598	. . . . . 6 ⊢ i ∈ ℂ
4		imcl 14472	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
5	4	recnd 10671	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
6		mulcl 10623	. . . . . 6 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ) → (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
7	3, 5, 6	sylancr 589	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
8	2, 7	negsubd 11005	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℜ‘𝐴) + -(i · (ℑ‘𝐴))) = ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴))))
9		mulneg2 11079	. . . . . 6 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ) → (i · -(ℑ‘𝐴)) = -(i · (ℑ‘𝐴)))
10	3, 5, 9	sylancr 589	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · -(ℑ‘𝐴)) = -(i · (ℑ‘𝐴)))
11	10	oveq2d 7174	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℜ‘𝐴) + (i · -(ℑ‘𝐴))) = ((ℜ‘𝐴) + -(i · (ℑ‘𝐴))))
12		remim 14478	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘𝐴) = ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴))))
13	8, 11, 12	3eqtr4rd 2869	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘𝐴) = ((ℜ‘𝐴) + (i · -(ℑ‘𝐴))))
14	13	fveq2d 6676	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘(∗‘𝐴)) = (ℑ‘((ℜ‘𝐴) + (i · -(ℑ‘𝐴)))))
15	4	renegcld 11069	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -(ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
16		crim 14476	. . 3 ⊢ (((ℜ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ -(ℑ‘𝐴) ∈ ℝ) → (ℑ‘((ℜ‘𝐴) + (i · -(ℑ‘𝐴)))) = -(ℑ‘𝐴))
17	1, 15, 16	syl2anc 586	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘((ℜ‘𝐴) + (i · -(ℑ‘𝐴)))) = -(ℑ‘𝐴))
18	14, 17	eqtrd 2858	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘(∗‘𝐴)) = -(ℑ‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158  ℂcc 10537  ℝcr 10538  ici 10541   + caddc 10542   · cmul 10544   − cmin 10872  -cneg 10873  ∗ccj 14457  ℜcre 14458  ℑcim 14459

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4841  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-id 5462  df-po 5476  df-so 5477  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-div 11300  df-2 11703  df-cj 14460  df-re 14461  df-im 14462

This theorem is referenced by:  cjcj  14501  ipcnval  14504  imcji  14537  imcjd  14566  argimlt0  25198