Theorem imcld 14553

Description: The imaginary part of a complex number is real (closure law). (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
recld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
imcld	⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem imcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		imcl 14469	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2110  ‘cfv 6354  ℂcc 10534  ℝcr 10535  ℑcim 14456

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-op 4573  df-uni 4838  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-id 5459  df-po 5473  df-so 5474  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-er 8288  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-div 11297  df-2 11699  df-cj 14457  df-re 14458  df-im 14459

This theorem is referenced by:  rlimrecl  14936  resincl  15492  sin01bnd  15537  recld2  23421  mbfeqa  24243  mbfss  24246  mbfmulc2re  24248  mbfadd  24261  mbfmulc2  24263  mbflim  24268  mbfmul  24326  iblcn  24398  itgcnval  24399  itgre  24400  itgim  24401  iblneg  24402  itgneg  24403  ibladd  24420  itgadd  24424  iblabs  24428  itgmulc2  24433  aaliou2b  24929  efif1olem3  25127  eff1olem  25131  logimclad  25155  abslogimle  25156  logrnaddcl  25157  lognegb  25172  logcj  25188  efiarg  25189  cosargd  25190  argregt0  25192  argrege0  25193  argimgt0  25194  argimlt0  25195  logimul  25196  abslogle  25200  tanarg  25201  logcnlem2  25225  logcnlem3  25226  logcnlem4  25227  logcnlem5  25228  logcn  25229  dvloglem  25230  logf1o2  25232  efopnlem1  25238  efopnlem2  25239  cxpsqrtlem  25284  abscxpbnd  25333  ang180lem2  25387  lawcos  25393  isosctrlem1  25395  isosctrlem2  25396  asinneg  25463  asinsinlem  25468  atanlogaddlem  25490  atanlogsublem  25492  atanlogsub  25493  basellem3  25659  sqsscirc2  31152  ibladdnc  34948  itgaddnc  34951  iblabsnc  34955  iblmulc2nc  34956  itgmulc2nc  34959  bddiblnc  34961  ftc1anclem2  34967  ftc1anclem6  34971  ftc1anclem8  34973  cntotbnd  35073  isosctrlem1ALT  41266  dstregt0  41545  absimnre  41751  absimlere  41754  cnrefiisplem  42108  sigarim  43107  readdcnnred  43502  resubcnnred  43503  cndivrenred  43505