Theorem imcld 14130

Description: The imaginary part of a complex number is real (closure law). (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
recld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
imcld	⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem imcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		imcl 14046	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2135  ‘cfv 6045  ℂcc 10122  ℝcr 10123  ℑcim 14033

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1867  ax-4 1882  ax-5 1984  ax-6 2050  ax-7 2086  ax-8 2137  ax-9 2144  ax-10 2164  ax-11 2179  ax-12 2192  ax-13 2387  ax-ext 2736  ax-sep 4929  ax-nul 4937  ax-pow 4988  ax-pr 5051  ax-un 7110  ax-resscn 10181  ax-1cn 10182  ax-icn 10183  ax-addcl 10184  ax-addrcl 10185  ax-mulcl 10186  ax-mulrcl 10187  ax-mulcom 10188  ax-addass 10189  ax-mulass 10190  ax-distr 10191  ax-i2m1 10192  ax-1ne0 10193  ax-1rid 10194  ax-rnegex 10195  ax-rrecex 10196  ax-cnre 10197  ax-pre-lttri 10198  ax-pre-lttrn 10199  ax-pre-ltadd 10200  ax-pre-mulgt0 10201

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1631  df-ex 1850  df-nf 1855  df-sb 2043  df-eu 2607  df-mo 2608  df-clab 2743  df-cleq 2749  df-clel 2752  df-nfc 2887  df-ne 2929  df-nel 3032  df-ral 3051  df-rex 3052  df-reu 3053  df-rmo 3054  df-rab 3055  df-v 3338  df-sbc 3573  df-csb 3671  df-dif 3714  df-un 3716  df-in 3718  df-ss 3725  df-nul 4055  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-op 4324  df-uni 4585  df-br 4801  df-opab 4861  df-mpt 4878  df-id 5170  df-po 5183  df-so 5184  df-xp 5268  df-rel 5269  df-cnv 5270  df-co 5271  df-dm 5272  df-rn 5273  df-res 5274  df-ima 5275  df-iota 6008  df-fun 6047  df-fn 6048  df-f 6049  df-f1 6050  df-fo 6051  df-f1o 6052  df-fv 6053  df-riota 6770  df-ov 6812  df-oprab 6813  df-mpt2 6814  df-er 7907  df-en 8118  df-dom 8119  df-sdom 8120  df-pnf 10264  df-mnf 10265  df-xr 10266  df-ltxr 10267  df-le 10268  df-sub 10456  df-neg 10457  df-div 10873  df-2 11267  df-cj 14034  df-re 14035  df-im 14036

This theorem is referenced by:  rlimrecl  14506  resincl  15065  sin01bnd  15110  recld2  22814  mbfeqa  23605  mbfss  23608  mbfmulc2re  23610  mbfadd  23623  mbfmulc2  23625  mbflim  23630  mbfmul  23688  iblcn  23760  itgcnval  23761  itgre  23762  itgim  23763  iblneg  23764  itgneg  23765  ibladd  23782  itgadd  23786  iblabs  23790  itgmulc2  23795  aaliou2b  24291  efif1olem3  24485  eff1olem  24489  logimclad  24514  abslogimle  24515  logrnaddcl  24516  lognegb  24531  logcj  24547  efiarg  24548  cosargd  24549  argregt0  24551  argrege0  24552  argimgt0  24553  argimlt0  24554  logimul  24555  abslogle  24559  tanarg  24560  logcnlem2  24584  logcnlem3  24585  logcnlem4  24586  logcnlem5  24587  logcn  24588  dvloglem  24589  logf1o2  24591  efopnlem1  24597  efopnlem2  24598  cxpsqrtlem  24643  abscxpbnd  24689  ang180lem2  24735  lawcos  24741  isosctrlem1  24743  isosctrlem2  24744  asinneg  24808  asinsinlem  24813  atanlogaddlem  24835  atanlogsublem  24837  atanlogsub  24838  basellem3  25004  sqsscirc2  30260  ibladdnc  33776  itgaddnc  33779  iblabsnc  33783  iblmulc2nc  33784  itgmulc2nc  33787  bddiblnc  33789  ftc1anclem2  33795  ftc1anclem6  33799  ftc1anclem8  33801  cntotbnd  33904  isosctrlem1ALT  39665  dstregt0  39988  absimnre  40201  absimlere  40204  cnrefiisplem  40554  sigarim  41542