Theorem imcld 13869

Description: The imaginary part of a complex number is real (closure law). (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
recld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
imcld	⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem imcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		imcl 13785	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1987  ‘cfv 5847  ℂcc 9878  ℝcr 9879  ℑcim 13772

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-2 11023  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775

This theorem is referenced by:  rlimrecl  14245  resincl  14795  sin01bnd  14840  recld2  22525  mbfeqa  23316  mbfss  23319  mbfmulc2re  23321  mbfadd  23334  mbfmulc2  23336  mbflim  23341  mbfmul  23399  iblcn  23471  itgcnval  23472  itgre  23473  itgim  23474  iblneg  23475  itgneg  23476  ibladd  23493  itgadd  23497  iblabs  23501  itgmulc2  23506  aaliou2b  24000  efif1olem3  24194  eff1olem  24198  logimclad  24223  abslogimle  24224  logrnaddcl  24225  lognegb  24240  logcj  24256  efiarg  24257  cosargd  24258  argregt0  24260  argrege0  24261  argimgt0  24262  argimlt0  24263  logimul  24264  abslogle  24268  tanarg  24269  logcnlem2  24289  logcnlem3  24290  logcnlem4  24291  logcnlem5  24292  logcn  24293  dvloglem  24294  logf1o2  24296  efopnlem1  24302  efopnlem2  24303  cxpsqrtlem  24348  abscxpbnd  24394  ang180lem2  24440  lawcos  24446  isosctrlem1  24448  isosctrlem2  24449  asinneg  24513  asinsinlem  24518  atanlogaddlem  24540  atanlogsublem  24542  atanlogsub  24543  basellem3  24709  sqsscirc2  29734  ibladdnc  33096  itgaddnc  33099  iblabsnc  33103  iblmulc2nc  33104  itgmulc2nc  33107  bddiblnc  33109  ftc1anclem2  33115  ftc1anclem6  33119  ftc1anclem8  33121  cntotbnd  33224  isosctrlem1ALT  38650  dstregt0  38954  sigarim  40341