MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imcncf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem imcncf 22445
Description: Imaginary part is continuous. (Contributed by Paul Chapman, 21-Oct-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
imcncf ℑ ∈ (ℂ–cn→ℝ)

Proof of Theorem imcncf
Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imf 13647 . 2 ℑ:ℂ⟶ℝ
2 imcn2 14126 . . 3 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℂ ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((ℑ‘𝑤) − (ℑ‘𝑥))) < 𝑦))
32rgen2 2957 . 2 𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℂ ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((ℑ‘𝑤) − (ℑ‘𝑥))) < 𝑦)
4 ssid 3586 . . 3 ℂ ⊆ ℂ
5 ax-resscn 9849 . . 3 ℝ ⊆ ℂ
6 elcncf2 22432 . . 3 ((ℂ ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (ℑ ∈ (ℂ–cn→ℝ) ↔ (ℑ:ℂ⟶ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℂ ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((ℑ‘𝑤) − (ℑ‘𝑥))) < 𝑦))))
74, 5, 6mp2an 703 . 2 (ℑ ∈ (ℂ–cn→ℝ) ↔ (ℑ:ℂ⟶ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℂ ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((ℑ‘𝑤) − (ℑ‘𝑥))) < 𝑦)))
81, 3, 7mpbir2an 956 1 ℑ ∈ (ℂ–cn→ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382  wcel 1976  wral 2895  wrex 2896  wss 3539   class class class wbr 4577  wf 5786  cfv 5790  (class class class)co 6527  cc 9790  cr 9791   < clt 9930  cmin 10117  +crp 11664  cim 13632  abscabs 13768  cnccncf 22418
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2232  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-pre-sup 9870
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-er 7606  df-map 7723  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-sup 8208  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10534  df-nn 10868  df-2 10926  df-3 10927  df-n0 11140  df-z 11211  df-uz 11520  df-rp 11665  df-seq 12619  df-exp 12678  df-cj 13633  df-re 13634  df-im 13635  df-sqrt 13769  df-abs 13770  df-cncf 22420
This theorem is referenced by:  cnrehmeo  22491  cncombf  23148  cnmbf  23149  dvloglem  24111  mbfresfi  32429  ftc1anclem8  32465
  Copyright terms: Public domain W3C validator