Users' Mathboxes Mathbox for Stanislas Polu < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  imo72b2lem0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem imo72b2lem0 37968
Description: Lemma for imo72b2 37978. (Contributed by Stanislas Polu, 9-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
imo72b2lem0.1 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
imo72b2lem0.2 (𝜑𝐺:ℝ⟶ℝ)
imo72b2lem0.3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
imo72b2lem0.4 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
imo72b2lem0.5 (𝜑 → ((𝐹‘(𝐴 + 𝐵)) + (𝐹‘(𝐴𝐵))) = (2 · ((𝐹𝐴) · (𝐺𝐵))))
imo72b2lem0.6 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℝ (abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 1)
Assertion
Ref Expression
imo72b2lem0 (𝜑 → ((abs‘(𝐹𝐴)) · (abs‘(𝐺𝐵))) ≤ sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < ))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐹   𝜑,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝐵(𝑦)   𝐺(𝑦)

Proof of Theorem imo72b2lem0
Dummy variables 𝑐 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imo72b2lem0.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
2 imo72b2lem0.3 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
31, 2ffvelrnd 6318 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹𝐴) ∈ ℝ)
43recnd 10015 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹𝐴) ∈ ℂ)
54idi 2 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹𝐴) ∈ ℂ)
6 imo72b2lem0.2 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺:ℝ⟶ℝ)
7 imo72b2lem0.4 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
86, 7ffvelrnd 6318 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐺𝐵) ∈ ℝ)
98recnd 10015 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺𝐵) ∈ ℂ)
109idi 2 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺𝐵) ∈ ℂ)
115, 10mulcld 10007 . . . 4 (𝜑 → ((𝐹𝐴) · (𝐺𝐵)) ∈ ℂ)
1211abscld 14112 . . 3 (𝜑 → (abs‘((𝐹𝐴) · (𝐺𝐵))) ∈ ℝ)
13 imaco 5601 . . . . . 6 ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ) = (abs “ (𝐹 “ ℝ))
1413eqcomi 2630 . . . . 5 (abs “ (𝐹 “ ℝ)) = ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ)
15 imassrn 5438 . . . . . . 7 ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ) ⊆ ran (abs ∘ 𝐹)
1615a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ) ⊆ ran (abs ∘ 𝐹))
17 absf 14014 . . . . . . . . . 10 abs:ℂ⟶ℝ
1817a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → abs:ℂ⟶ℝ)
19 ax-resscn 9940 . . . . . . . . . 10 ℝ ⊆ ℂ
2019a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
2118, 20fssresd 6030 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ)
221, 21fco2d 37964 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs ∘ 𝐹):ℝ⟶ℝ)
23 frn 6012 . . . . . . 7 ((abs ∘ 𝐹):ℝ⟶ℝ → ran (abs ∘ 𝐹) ⊆ ℝ)
2422, 23syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ran (abs ∘ 𝐹) ⊆ ℝ)
2516, 24sstrd 3594 . . . . 5 (𝜑 → ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ) ⊆ ℝ)
2614, 25syl5eqss 3630 . . . 4 (𝜑 → (abs “ (𝐹 “ ℝ)) ⊆ ℝ)
27 0re 9987 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ
2827ne0ii 3901 . . . . . . . . 9 ℝ ≠ ∅
2928a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → ℝ ≠ ∅)
3029, 22wnefimgd 37963 . . . . . . 7 (𝜑 → ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ) ≠ ∅)
3130necomd 2845 . . . . . 6 (𝜑 → ∅ ≠ ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ))
3214a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (abs “ (𝐹 “ ℝ)) = ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ))
3331, 32neeqtrrd 2864 . . . . 5 (𝜑 → ∅ ≠ (abs “ (𝐹 “ ℝ)))
3433necomd 2845 . . . 4 (𝜑 → (abs “ (𝐹 “ ℝ)) ≠ ∅)
35 1red 10002 . . . . 5 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
36 simpr 477 . . . . . . 7 ((𝜑𝑐 = 1) → 𝑐 = 1)
3736breq2d 4627 . . . . . 6 ((𝜑𝑐 = 1) → (𝑥𝑐𝑥 ≤ 1))
3837ralbidv 2980 . . . . 5 ((𝜑𝑐 = 1) → (∀𝑥 ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ))𝑥𝑐 ↔ ∀𝑥 ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ))𝑥 ≤ 1))
39 imo72b2lem0.6 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℝ (abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 1)
401, 39extoimad 37967 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ))𝑥 ≤ 1)
4135, 38, 40rspcedvd 3302 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ))𝑥𝑐)
4226, 34, 41suprcld 10933 . . 3 (𝜑 → sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < ) ∈ ℝ)
43 2re 11037 . . . 4 2 ∈ ℝ
4443a1i 11 . . 3 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
45 imo72b2lem0.5 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐹‘(𝐴 + 𝐵)) + (𝐹‘(𝐴𝐵))) = (2 · ((𝐹𝐴) · (𝐺𝐵))))
4645idi 2 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐹‘(𝐴 + 𝐵)) + (𝐹‘(𝐴𝐵))) = (2 · ((𝐹𝐴) · (𝐺𝐵))))
4746fveq2d 6154 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘((𝐹‘(𝐴 + 𝐵)) + (𝐹‘(𝐴𝐵)))) = (abs‘(2 · ((𝐹𝐴) · (𝐺𝐵)))))
48 2cnd 11040 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
4948, 11mulcld 10007 . . . . . . . 8 (𝜑 → (2 · ((𝐹𝐴) · (𝐺𝐵))) ∈ ℂ)
5049abscld 14112 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘(2 · ((𝐹𝐴) · (𝐺𝐵)))) ∈ ℝ)
5147, 50eqeltrd 2698 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘((𝐹‘(𝐴 + 𝐵)) + (𝐹‘(𝐴𝐵)))) ∈ ℝ)
521idi 2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
532idi 2 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
547idi 2 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
5553, 54readdcld 10016 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
5652, 55ffvelrnd 6318 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹‘(𝐴 + 𝐵)) ∈ ℝ)
5756recnd 10015 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹‘(𝐴 + 𝐵)) ∈ ℂ)
5857abscld 14112 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘(𝐹‘(𝐴 + 𝐵))) ∈ ℝ)
5953, 54resubcld 10405 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴𝐵) ∈ ℝ)
6052, 59ffvelrnd 6318 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹‘(𝐴𝐵)) ∈ ℝ)
6160recnd 10015 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹‘(𝐴𝐵)) ∈ ℂ)
6261abscld 14112 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘(𝐹‘(𝐴𝐵))) ∈ ℝ)
6358, 62readdcld 10016 . . . . . 6 (𝜑 → ((abs‘(𝐹‘(𝐴 + 𝐵))) + (abs‘(𝐹‘(𝐴𝐵)))) ∈ ℝ)
6444, 42remulcld 10017 . . . . . 6 (𝜑 → (2 · sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < )) ∈ ℝ)
6557, 61abstrid 14132 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘((𝐹‘(𝐴 + 𝐵)) + (𝐹‘(𝐴𝐵)))) ≤ ((abs‘(𝐹‘(𝐴 + 𝐵))) + (abs‘(𝐹‘(𝐴𝐵)))))
661, 55fvco3d 37965 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((abs ∘ 𝐹)‘(𝐴 + 𝐵)) = (abs‘(𝐹‘(𝐴 + 𝐵))))
6755, 22wfximgfd 37966 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((abs ∘ 𝐹)‘(𝐴 + 𝐵)) ∈ ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ))
6832idi 2 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (abs “ (𝐹 “ ℝ)) = ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ))
6967, 68eleqtrrd 2701 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((abs ∘ 𝐹)‘(𝐴 + 𝐵)) ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ)))
7066, 69eqeltrrd 2699 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (abs‘(𝐹‘(𝐴 + 𝐵))) ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ)))
7126, 34, 41, 70suprubd 10932 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘(𝐹‘(𝐴 + 𝐵))) ≤ sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < ))
721, 59fvco3d 37965 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((abs ∘ 𝐹)‘(𝐴𝐵)) = (abs‘(𝐹‘(𝐴𝐵))))
7359, 22wfximgfd 37966 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((abs ∘ 𝐹)‘(𝐴𝐵)) ∈ ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ))
7473, 32eleqtrrd 2701 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((abs ∘ 𝐹)‘(𝐴𝐵)) ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ)))
7572, 74eqeltrrd 2699 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (abs‘(𝐹‘(𝐴𝐵))) ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ)))
7626, 34, 41, 75suprubd 10932 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘(𝐹‘(𝐴𝐵))) ≤ sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < ))
7758, 62, 42, 42, 71, 76le2addd 10593 . . . . . . 7 (𝜑 → ((abs‘(𝐹‘(𝐴 + 𝐵))) + (abs‘(𝐹‘(𝐴𝐵)))) ≤ (sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < ) + sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < )))
7842recnd 10015 . . . . . . . . 9 (𝜑 → sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < ) ∈ ℂ)
79782timesd 11222 . . . . . . . 8 (𝜑 → (2 · sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < )) = (sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < ) + sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < )))
8079eqcomd 2627 . . . . . . 7 (𝜑 → (sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < ) + sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < )) = (2 · sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < )))
8180, 64eqeltrd 2698 . . . . . . 7 (𝜑 → (sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < ) + sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < )) ∈ ℝ)
8277, 80, 63, 81leeq2d 37959 . . . . . 6 (𝜑 → ((abs‘(𝐹‘(𝐴 + 𝐵))) + (abs‘(𝐹‘(𝐴𝐵)))) ≤ (2 · sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < )))
8351, 63, 64, 65, 82letrd 10141 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘((𝐹‘(𝐴 + 𝐵)) + (𝐹‘(𝐴𝐵)))) ≤ (2 · sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < )))
8483, 47, 51, 64leeq1d 37958 . . . 4 (𝜑 → (abs‘(2 · ((𝐹𝐴) · (𝐺𝐵)))) ≤ (2 · sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < )))
85 0le2 11058 . . . . . 6 0 ≤ 2
8685a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ 2)
873idi 2 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹𝐴) ∈ ℝ)
888idi 2 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺𝐵) ∈ ℝ)
8987, 88remulcld 10017 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐹𝐴) · (𝐺𝐵)) ∈ ℝ)
9086, 44, 89absmulrposd 37960 . . . 4 (𝜑 → (abs‘(2 · ((𝐹𝐴) · (𝐺𝐵)))) = (2 · (abs‘((𝐹𝐴) · (𝐺𝐵)))))
9184, 90, 50, 64leeq1d 37958 . . 3 (𝜑 → (2 · (abs‘((𝐹𝐴) · (𝐺𝐵)))) ≤ (2 · sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < )))
92 2pos 11059 . . . 4 0 < 2
9392a1i 11 . . 3 (𝜑 → 0 < 2)
9412, 42, 44, 91, 93wwlemuld 37957 . 2 (𝜑 → (abs‘((𝐹𝐴) · (𝐺𝐵))) ≤ sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < ))
954, 9absmuld 14130 . . 3 (𝜑 → (abs‘((𝐹𝐴) · (𝐺𝐵))) = ((abs‘(𝐹𝐴)) · (abs‘(𝐺𝐵))))
9695idi 2 . 2 (𝜑 → (abs‘((𝐹𝐴) · (𝐺𝐵))) = ((abs‘(𝐹𝐴)) · (abs‘(𝐺𝐵))))
9794, 96, 12, 42leeq1d 37958 1 (𝜑 → ((abs‘(𝐹𝐴)) · (abs‘(𝐺𝐵))) ≤ sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wral 2907  wss 3556  c0 3893   class class class wbr 4615  ran crn 5077  cima 5079  ccom 5080  wf 5845  cfv 5849  (class class class)co 6607  supcsup 8293  cc 9881  cr 9882  0cc0 9883  1c1 9884   + caddc 9886   · cmul 9888   < clt 10021  cle 10022  cmin 10213  2c2 11017  abscabs 13911
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4743  ax-nul 4751  ax-pow 4805  ax-pr 4869  ax-un 6905  ax-cnex 9939  ax-resscn 9940  ax-1cn 9941  ax-icn 9942  ax-addcl 9943  ax-addrcl 9944  ax-mulcl 9945  ax-mulrcl 9946  ax-mulcom 9947  ax-addass 9948  ax-mulass 9949  ax-distr 9950  ax-i2m1 9951  ax-1ne0 9952  ax-1rid 9953  ax-rnegex 9954  ax-rrecex 9955  ax-cnre 9956  ax-pre-lttri 9957  ax-pre-lttrn 9958  ax-pre-ltadd 9959  ax-pre-mulgt0 9960  ax-pre-sup 9961
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3419  df-csb 3516  df-dif 3559  df-un 3561  df-in 3563  df-ss 3570  df-pss 3572  df-nul 3894  df-if 4061  df-pw 4134  df-sn 4151  df-pr 4153  df-tp 4155  df-op 4157  df-uni 4405  df-iun 4489  df-br 4616  df-opab 4676  df-mpt 4677  df-tr 4715  df-eprel 4987  df-id 4991  df-po 4997  df-so 4998  df-fr 5035  df-we 5037  df-xp 5082  df-rel 5083  df-cnv 5084  df-co 5085  df-dm 5086  df-rn 5087  df-res 5088  df-ima 5089  df-pred 5641  df-ord 5687  df-on 5688  df-lim 5689  df-suc 5690  df-iota 5812  df-fun 5851  df-fn 5852  df-f 5853  df-f1 5854  df-fo 5855  df-f1o 5856  df-fv 5857  df-riota 6568  df-ov 6610  df-oprab 6611  df-mpt2 6612  df-om 7016  df-2nd 7117  df-wrecs 7355  df-recs 7416  df-rdg 7454  df-er 7690  df-en 7903  df-dom 7904  df-sdom 7905  df-sup 8295  df-pnf 10023  df-mnf 10024  df-xr 10025  df-ltxr 10026  df-le 10027  df-sub 10215  df-neg 10216  df-div 10632  df-nn 10968  df-2 11026  df-3 11027  df-n0 11240  df-z 11325  df-uz 11635  df-rp 11780  df-seq 12745  df-exp 12804  df-cj 13776  df-re 13777  df-im 13778  df-sqrt 13912  df-abs 13913
This theorem is referenced by:  imo72b2  37978
  Copyright terms: Public domain W3C validator