Theorem imre 14469

Description: The imaginary part of a complex number in terms of the real part function. (Contributed by NM, 12-May-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
imre	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) = (ℜ‘(-i · 𝐴)))

Proof of Theorem imre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imval 14468	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) = (ℜ‘(𝐴 / i)))
2		ax-icn 10598	. . . . 5 ⊢ i ∈ ℂ
3		ine0 11077	. . . . 5 ⊢ i ≠ 0
4		divrec2 11317	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0) → (𝐴 / i) = ((1 / i) · 𝐴))
5	2, 3, 4	mp3an23 1449	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 / i) = ((1 / i) · 𝐴))
6		irec 13567	. . . . 5 ⊢ (1 / i) = -i
7	6	oveq1i 7168	. . . 4 ⊢ ((1 / i) · 𝐴) = (-i · 𝐴)
8	5, 7	syl6eq 2874	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 / i) = (-i · 𝐴))
9	8	fveq2d 6676	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘(𝐴 / i)) = (ℜ‘(-i · 𝐴)))
10	1, 9	eqtrd 2858	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) = (ℜ‘(-i · 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3018  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158  ℂcc 10537  0cc0 10539  1c1 10540  ici 10541   · cmul 10544  -cneg 10873   / cdiv 11299  ℜcre 14458  ℑcim 14459

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4841  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-id 5462  df-po 5476  df-so 5477  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-div 11300  df-im 14462

This theorem is referenced by:  imcl  14472  cnpart  14601  sqrtneglem  14628  absimle  14671  recan  14698  tanregt0  25125  asinlem3a  25450  asinsinlem  25471  asinsin  25472  asinbnd  25479  atanbndlem  25505  ftc1anclem6  34974