MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imsdf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem imsdf 26721
Description: Mapping for the induced metric distance function of a normed complex vector space. (Contributed by NM, 29-Nov-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
imsdfn.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
imsdfn.8 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
Assertion
Ref Expression
imsdf (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)

Proof of Theorem imsdf
StepHypRef Expression
1 imsdfn.1 . . . 4 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
2 eqid 2609 . . . 4 (normCV𝑈) = (normCV𝑈)
31, 2nvf 26692 . . 3 (𝑈 ∈ NrmCVec → (normCV𝑈):𝑋⟶ℝ)
4 eqid 2609 . . . 4 ( −𝑣𝑈) = ( −𝑣𝑈)
51, 4nvmf 26677 . . 3 (𝑈 ∈ NrmCVec → ( −𝑣𝑈):(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋)
6 fco 5956 . . 3 (((normCV𝑈):𝑋⟶ℝ ∧ ( −𝑣𝑈):(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋) → ((normCV𝑈) ∘ ( −𝑣𝑈)):(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
73, 5, 6syl2anc 690 . 2 (𝑈 ∈ NrmCVec → ((normCV𝑈) ∘ ( −𝑣𝑈)):(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
8 imsdfn.8 . . . 4 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
94, 2, 8imsval 26717 . . 3 (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐷 = ((normCV𝑈) ∘ ( −𝑣𝑈)))
109feq1d 5928 . 2 (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ ↔ ((normCV𝑈) ∘ ( −𝑣𝑈)):(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ))
117, 10mpbird 245 1 (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1474  wcel 1976   × cxp 5025  ccom 5031  wf 5785  cfv 5789  cr 9791  NrmCVeccnv 26616  BaseSetcba 26618  𝑣 cnsb 26621  normCVcnmcv 26622  IndMetcims 26623
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4711  ax-pow 4763  ax-pr 4827  ax-un 6824  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-id 4942  df-po 4948  df-so 4949  df-xp 5033  df-rel 5034  df-cnv 5035  df-co 5036  df-dm 5037  df-rn 5038  df-res 5039  df-ima 5040  df-iota 5753  df-fun 5791  df-fn 5792  df-f 5793  df-f1 5794  df-fo 5795  df-f1o 5796  df-fv 5797  df-riota 6488  df-ov 6529  df-oprab 6530  df-mpt2 6531  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-ltxr 9935  df-sub 10119  df-neg 10120  df-grpo 26524  df-gid 26525  df-ginv 26526  df-gdiv 26527  df-ablo 26576  df-vc 26591  df-nv 26624  df-va 26627  df-ba 26628  df-sm 26629  df-0v 26630  df-vs 26631  df-nmcv 26632  df-ims 26633
This theorem is referenced by:  imsmetlem  26722  sspims  26771
  Copyright terms: Public domain W3C validator