MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imsmetlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem imsmetlem 27673
Description: Lemma for imsmet 27674. (Contributed by NM, 29-Nov-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
imsmetlem.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
imsmetlem.2 𝐺 = ( +𝑣𝑈)
imsmetlem.7 𝑀 = (inv‘𝐺)
imsmetlem.4 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑈)
imsmetlem.5 𝑍 = (0vec𝑈)
imsmetlem.6 𝑁 = (normCV𝑈)
imsmetlem.8 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
imsmetlem.9 𝑈 ∈ NrmCVec
Assertion
Ref Expression
imsmetlem 𝐷 ∈ (Met‘𝑋)

Proof of Theorem imsmetlem
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imsmetlem.1 . . 3 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
2 fvex 6239 . . 3 (BaseSet‘𝑈) ∈ V
31, 2eqeltri 2726 . 2 𝑋 ∈ V
4 imsmetlem.9 . . 3 𝑈 ∈ NrmCVec
5 imsmetlem.8 . . . 4 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
61, 5imsdf 27672 . . 3 (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
74, 6ax-mp 5 . 2 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ
8 imsmetlem.2 . . . . . 6 𝐺 = ( +𝑣𝑈)
9 imsmetlem.4 . . . . . 6 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑈)
10 imsmetlem.6 . . . . . 6 𝑁 = (normCV𝑈)
111, 8, 9, 10, 5imsdval2 27670 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝑥𝐷𝑦) = (𝑁‘(𝑥𝐺(-1𝑆𝑦))))
124, 11mp3an1 1451 . . . 4 ((𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝑥𝐷𝑦) = (𝑁‘(𝑥𝐺(-1𝑆𝑦))))
1312eqeq1d 2653 . . 3 ((𝑥𝑋𝑦𝑋) → ((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ (𝑁‘(𝑥𝐺(-1𝑆𝑦))) = 0))
14 neg1cn 11162 . . . . . 6 -1 ∈ ℂ
151, 9nvscl 27609 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) → (-1𝑆𝑦) ∈ 𝑋)
164, 14, 15mp3an12 1454 . . . . 5 (𝑦𝑋 → (-1𝑆𝑦) ∈ 𝑋)
171, 8nvgcl 27603 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥𝑋 ∧ (-1𝑆𝑦) ∈ 𝑋) → (𝑥𝐺(-1𝑆𝑦)) ∈ 𝑋)
184, 17mp3an1 1451 . . . . 5 ((𝑥𝑋 ∧ (-1𝑆𝑦) ∈ 𝑋) → (𝑥𝐺(-1𝑆𝑦)) ∈ 𝑋)
1916, 18sylan2 490 . . . 4 ((𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝑥𝐺(-1𝑆𝑦)) ∈ 𝑋)
20 imsmetlem.5 . . . . 5 𝑍 = (0vec𝑈)
211, 20, 10nvz 27652 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥𝐺(-1𝑆𝑦)) ∈ 𝑋) → ((𝑁‘(𝑥𝐺(-1𝑆𝑦))) = 0 ↔ (𝑥𝐺(-1𝑆𝑦)) = 𝑍))
224, 19, 21sylancr 696 . . 3 ((𝑥𝑋𝑦𝑋) → ((𝑁‘(𝑥𝐺(-1𝑆𝑦))) = 0 ↔ (𝑥𝐺(-1𝑆𝑦)) = 𝑍))
231, 20nvzcl 27617 . . . . . . 7 (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑍𝑋)
244, 23ax-mp 5 . . . . . 6 𝑍𝑋
251, 8nvrcan 27607 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ ((𝑥𝐺(-1𝑆𝑦)) ∈ 𝑋𝑍𝑋𝑦𝑋)) → (((𝑥𝐺(-1𝑆𝑦))𝐺𝑦) = (𝑍𝐺𝑦) ↔ (𝑥𝐺(-1𝑆𝑦)) = 𝑍))
264, 25mpan 706 . . . . . 6 (((𝑥𝐺(-1𝑆𝑦)) ∈ 𝑋𝑍𝑋𝑦𝑋) → (((𝑥𝐺(-1𝑆𝑦))𝐺𝑦) = (𝑍𝐺𝑦) ↔ (𝑥𝐺(-1𝑆𝑦)) = 𝑍))
2724, 26mp3an2 1452 . . . . 5 (((𝑥𝐺(-1𝑆𝑦)) ∈ 𝑋𝑦𝑋) → (((𝑥𝐺(-1𝑆𝑦))𝐺𝑦) = (𝑍𝐺𝑦) ↔ (𝑥𝐺(-1𝑆𝑦)) = 𝑍))
2819, 27sylancom 702 . . . 4 ((𝑥𝑋𝑦𝑋) → (((𝑥𝐺(-1𝑆𝑦))𝐺𝑦) = (𝑍𝐺𝑦) ↔ (𝑥𝐺(-1𝑆𝑦)) = 𝑍))
29 simpl 472 . . . . . . 7 ((𝑥𝑋𝑦𝑋) → 𝑥𝑋)
3016adantl 481 . . . . . . 7 ((𝑥𝑋𝑦𝑋) → (-1𝑆𝑦) ∈ 𝑋)
31 simpr 476 . . . . . . 7 ((𝑥𝑋𝑦𝑋) → 𝑦𝑋)
321, 8nvass 27605 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥𝑋 ∧ (-1𝑆𝑦) ∈ 𝑋𝑦𝑋)) → ((𝑥𝐺(-1𝑆𝑦))𝐺𝑦) = (𝑥𝐺((-1𝑆𝑦)𝐺𝑦)))
334, 32mpan 706 . . . . . . 7 ((𝑥𝑋 ∧ (-1𝑆𝑦) ∈ 𝑋𝑦𝑋) → ((𝑥𝐺(-1𝑆𝑦))𝐺𝑦) = (𝑥𝐺((-1𝑆𝑦)𝐺𝑦)))
3429, 30, 31, 33syl3anc 1366 . . . . . 6 ((𝑥𝑋𝑦𝑋) → ((𝑥𝐺(-1𝑆𝑦))𝐺𝑦) = (𝑥𝐺((-1𝑆𝑦)𝐺𝑦)))
351, 8, 9, 20nvlinv 27635 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑦𝑋) → ((-1𝑆𝑦)𝐺𝑦) = 𝑍)
364, 35mpan 706 . . . . . . . 8 (𝑦𝑋 → ((-1𝑆𝑦)𝐺𝑦) = 𝑍)
3736adantl 481 . . . . . . 7 ((𝑥𝑋𝑦𝑋) → ((-1𝑆𝑦)𝐺𝑦) = 𝑍)
3837oveq2d 6706 . . . . . 6 ((𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝑥𝐺((-1𝑆𝑦)𝐺𝑦)) = (𝑥𝐺𝑍))
391, 8, 20nv0rid 27618 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥𝑋) → (𝑥𝐺𝑍) = 𝑥)
404, 39mpan 706 . . . . . . 7 (𝑥𝑋 → (𝑥𝐺𝑍) = 𝑥)
4140adantr 480 . . . . . 6 ((𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝑥𝐺𝑍) = 𝑥)
4234, 38, 413eqtrd 2689 . . . . 5 ((𝑥𝑋𝑦𝑋) → ((𝑥𝐺(-1𝑆𝑦))𝐺𝑦) = 𝑥)
431, 8, 20nv0lid 27619 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑦𝑋) → (𝑍𝐺𝑦) = 𝑦)
444, 43mpan 706 . . . . . 6 (𝑦𝑋 → (𝑍𝐺𝑦) = 𝑦)
4544adantl 481 . . . . 5 ((𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝑍𝐺𝑦) = 𝑦)
4642, 45eqeq12d 2666 . . . 4 ((𝑥𝑋𝑦𝑋) → (((𝑥𝐺(-1𝑆𝑦))𝐺𝑦) = (𝑍𝐺𝑦) ↔ 𝑥 = 𝑦))
4728, 46bitr3d 270 . . 3 ((𝑥𝑋𝑦𝑋) → ((𝑥𝐺(-1𝑆𝑦)) = 𝑍𝑥 = 𝑦))
4813, 22, 473bitrd 294 . 2 ((𝑥𝑋𝑦𝑋) → ((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦))
49 simpr 476 . . . . . . 7 ((𝑧𝑋𝑥𝑋) → 𝑥𝑋)
501, 9nvscl 27609 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝑧𝑋) → (-1𝑆𝑧) ∈ 𝑋)
514, 14, 50mp3an12 1454 . . . . . . . 8 (𝑧𝑋 → (-1𝑆𝑧) ∈ 𝑋)
5251adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑧𝑋𝑥𝑋) → (-1𝑆𝑧) ∈ 𝑋)
531, 8nvgcl 27603 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥𝑋 ∧ (-1𝑆𝑧) ∈ 𝑋) → (𝑥𝐺(-1𝑆𝑧)) ∈ 𝑋)
544, 53mp3an1 1451 . . . . . . 7 ((𝑥𝑋 ∧ (-1𝑆𝑧) ∈ 𝑋) → (𝑥𝐺(-1𝑆𝑧)) ∈ 𝑋)
5549, 52, 54syl2anc 694 . . . . . 6 ((𝑧𝑋𝑥𝑋) → (𝑥𝐺(-1𝑆𝑧)) ∈ 𝑋)
56553adant3 1101 . . . . 5 ((𝑧𝑋𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝑥𝐺(-1𝑆𝑧)) ∈ 𝑋)
571, 8nvgcl 27603 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑧𝑋 ∧ (-1𝑆𝑦) ∈ 𝑋) → (𝑧𝐺(-1𝑆𝑦)) ∈ 𝑋)
584, 57mp3an1 1451 . . . . . . 7 ((𝑧𝑋 ∧ (-1𝑆𝑦) ∈ 𝑋) → (𝑧𝐺(-1𝑆𝑦)) ∈ 𝑋)
5916, 58sylan2 490 . . . . . 6 ((𝑧𝑋𝑦𝑋) → (𝑧𝐺(-1𝑆𝑦)) ∈ 𝑋)
60593adant2 1100 . . . . 5 ((𝑧𝑋𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝑧𝐺(-1𝑆𝑦)) ∈ 𝑋)
611, 8, 10nvtri 27653 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥𝐺(-1𝑆𝑧)) ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝐺(-1𝑆𝑦)) ∈ 𝑋) → (𝑁‘((𝑥𝐺(-1𝑆𝑧))𝐺(𝑧𝐺(-1𝑆𝑦)))) ≤ ((𝑁‘(𝑥𝐺(-1𝑆𝑧))) + (𝑁‘(𝑧𝐺(-1𝑆𝑦)))))
624, 61mp3an1 1451 . . . . 5 (((𝑥𝐺(-1𝑆𝑧)) ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝐺(-1𝑆𝑦)) ∈ 𝑋) → (𝑁‘((𝑥𝐺(-1𝑆𝑧))𝐺(𝑧𝐺(-1𝑆𝑦)))) ≤ ((𝑁‘(𝑥𝐺(-1𝑆𝑧))) + (𝑁‘(𝑧𝐺(-1𝑆𝑦)))))
6356, 60, 62syl2anc 694 . . . 4 ((𝑧𝑋𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝑁‘((𝑥𝐺(-1𝑆𝑧))𝐺(𝑧𝐺(-1𝑆𝑦)))) ≤ ((𝑁‘(𝑥𝐺(-1𝑆𝑧))) + (𝑁‘(𝑧𝐺(-1𝑆𝑦)))))
64123adant1 1099 . . . . 5 ((𝑧𝑋𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝑥𝐷𝑦) = (𝑁‘(𝑥𝐺(-1𝑆𝑦))))
65 simp1 1081 . . . . . . . 8 ((𝑧𝑋𝑥𝑋𝑦𝑋) → 𝑧𝑋)
66163ad2ant3 1104 . . . . . . . 8 ((𝑧𝑋𝑥𝑋𝑦𝑋) → (-1𝑆𝑦) ∈ 𝑋)
671, 8nvass 27605 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ ((𝑥𝐺(-1𝑆𝑧)) ∈ 𝑋𝑧𝑋 ∧ (-1𝑆𝑦) ∈ 𝑋)) → (((𝑥𝐺(-1𝑆𝑧))𝐺𝑧)𝐺(-1𝑆𝑦)) = ((𝑥𝐺(-1𝑆𝑧))𝐺(𝑧𝐺(-1𝑆𝑦))))
684, 67mpan 706 . . . . . . . 8 (((𝑥𝐺(-1𝑆𝑧)) ∈ 𝑋𝑧𝑋 ∧ (-1𝑆𝑦) ∈ 𝑋) → (((𝑥𝐺(-1𝑆𝑧))𝐺𝑧)𝐺(-1𝑆𝑦)) = ((𝑥𝐺(-1𝑆𝑧))𝐺(𝑧𝐺(-1𝑆𝑦))))
6956, 65, 66, 68syl3anc 1366 . . . . . . 7 ((𝑧𝑋𝑥𝑋𝑦𝑋) → (((𝑥𝐺(-1𝑆𝑧))𝐺𝑧)𝐺(-1𝑆𝑦)) = ((𝑥𝐺(-1𝑆𝑧))𝐺(𝑧𝐺(-1𝑆𝑦))))
70 simpl 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧𝑋𝑥𝑋) → 𝑧𝑋)
711, 8nvass 27605 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥𝑋 ∧ (-1𝑆𝑧) ∈ 𝑋𝑧𝑋)) → ((𝑥𝐺(-1𝑆𝑧))𝐺𝑧) = (𝑥𝐺((-1𝑆𝑧)𝐺𝑧)))
724, 71mpan 706 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥𝑋 ∧ (-1𝑆𝑧) ∈ 𝑋𝑧𝑋) → ((𝑥𝐺(-1𝑆𝑧))𝐺𝑧) = (𝑥𝐺((-1𝑆𝑧)𝐺𝑧)))
7349, 52, 70, 72syl3anc 1366 . . . . . . . . . 10 ((𝑧𝑋𝑥𝑋) → ((𝑥𝐺(-1𝑆𝑧))𝐺𝑧) = (𝑥𝐺((-1𝑆𝑧)𝐺𝑧)))
741, 8, 9, 20nvlinv 27635 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑧𝑋) → ((-1𝑆𝑧)𝐺𝑧) = 𝑍)
754, 74mpan 706 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧𝑋 → ((-1𝑆𝑧)𝐺𝑧) = 𝑍)
7675adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧𝑋𝑥𝑋) → ((-1𝑆𝑧)𝐺𝑧) = 𝑍)
7776oveq2d 6706 . . . . . . . . . 10 ((𝑧𝑋𝑥𝑋) → (𝑥𝐺((-1𝑆𝑧)𝐺𝑧)) = (𝑥𝐺𝑍))
7840adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝑧𝑋𝑥𝑋) → (𝑥𝐺𝑍) = 𝑥)
7973, 77, 783eqtrd 2689 . . . . . . . . 9 ((𝑧𝑋𝑥𝑋) → ((𝑥𝐺(-1𝑆𝑧))𝐺𝑧) = 𝑥)
80793adant3 1101 . . . . . . . 8 ((𝑧𝑋𝑥𝑋𝑦𝑋) → ((𝑥𝐺(-1𝑆𝑧))𝐺𝑧) = 𝑥)
8180oveq1d 6705 . . . . . . 7 ((𝑧𝑋𝑥𝑋𝑦𝑋) → (((𝑥𝐺(-1𝑆𝑧))𝐺𝑧)𝐺(-1𝑆𝑦)) = (𝑥𝐺(-1𝑆𝑦)))
8269, 81eqtr3d 2687 . . . . . 6 ((𝑧𝑋𝑥𝑋𝑦𝑋) → ((𝑥𝐺(-1𝑆𝑧))𝐺(𝑧𝐺(-1𝑆𝑦))) = (𝑥𝐺(-1𝑆𝑦)))
8382fveq2d 6233 . . . . 5 ((𝑧𝑋𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝑁‘((𝑥𝐺(-1𝑆𝑧))𝐺(𝑧𝐺(-1𝑆𝑦)))) = (𝑁‘(𝑥𝐺(-1𝑆𝑦))))
8464, 83eqtr4d 2688 . . . 4 ((𝑧𝑋𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝑥𝐷𝑦) = (𝑁‘((𝑥𝐺(-1𝑆𝑧))𝐺(𝑧𝐺(-1𝑆𝑦)))))
851, 8, 9, 10, 5imsdval2 27670 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑧𝑋𝑥𝑋) → (𝑧𝐷𝑥) = (𝑁‘(𝑧𝐺(-1𝑆𝑥))))
864, 85mp3an1 1451 . . . . . . 7 ((𝑧𝑋𝑥𝑋) → (𝑧𝐷𝑥) = (𝑁‘(𝑧𝐺(-1𝑆𝑥))))
871, 8, 9, 10nvdif 27649 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑧𝑋𝑥𝑋) → (𝑁‘(𝑧𝐺(-1𝑆𝑥))) = (𝑁‘(𝑥𝐺(-1𝑆𝑧))))
884, 87mp3an1 1451 . . . . . . 7 ((𝑧𝑋𝑥𝑋) → (𝑁‘(𝑧𝐺(-1𝑆𝑥))) = (𝑁‘(𝑥𝐺(-1𝑆𝑧))))
8986, 88eqtrd 2685 . . . . . 6 ((𝑧𝑋𝑥𝑋) → (𝑧𝐷𝑥) = (𝑁‘(𝑥𝐺(-1𝑆𝑧))))
90893adant3 1101 . . . . 5 ((𝑧𝑋𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝑧𝐷𝑥) = (𝑁‘(𝑥𝐺(-1𝑆𝑧))))
911, 8, 9, 10, 5imsdval2 27670 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑧𝑋𝑦𝑋) → (𝑧𝐷𝑦) = (𝑁‘(𝑧𝐺(-1𝑆𝑦))))
924, 91mp3an1 1451 . . . . . 6 ((𝑧𝑋𝑦𝑋) → (𝑧𝐷𝑦) = (𝑁‘(𝑧𝐺(-1𝑆𝑦))))
93923adant2 1100 . . . . 5 ((𝑧𝑋𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝑧𝐷𝑦) = (𝑁‘(𝑧𝐺(-1𝑆𝑦))))
9490, 93oveq12d 6708 . . . 4 ((𝑧𝑋𝑥𝑋𝑦𝑋) → ((𝑧𝐷𝑥) + (𝑧𝐷𝑦)) = ((𝑁‘(𝑥𝐺(-1𝑆𝑧))) + (𝑁‘(𝑧𝐺(-1𝑆𝑦)))))
9563, 84, 943brtr4d 4717 . . 3 ((𝑧𝑋𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) + (𝑧𝐷𝑦)))
96953coml 1292 . 2 ((𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋) → (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) + (𝑧𝐷𝑦)))
973, 7, 48, 96ismeti 22177 1 𝐷 ∈ (Met‘𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  Vcvv 3231   class class class wbr 4685   × cxp 5141  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977  cle 10113  -cneg 10305  Metcme 19780  invcgn 27473  NrmCVeccnv 27567   +𝑣 cpv 27568  BaseSetcba 27569   ·𝑠OLD cns 27570  0veccn0v 27571  normCVcnmcv 27573  IndMetcims 27574
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-sup 8389  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-seq 12842  df-exp 12901  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-met 19788  df-grpo 27475  df-gid 27476  df-ginv 27477  df-gdiv 27478  df-ablo 27527  df-vc 27542  df-nv 27575  df-va 27578  df-ba 27579  df-sm 27580  df-0v 27581  df-vs 27582  df-nmcv 27583  df-ims 27584
This theorem is referenced by:  imsmet  27674
  Copyright terms: Public domain W3C validator