MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  inagswap Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem inagswap 25775
Description: Swap the order of the half lines delimiting the angle. Theorem 11.24 of [Schwabhauser] p. 101. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
isinag.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
isinag.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
isinag.k 𝐾 = (hlG‘𝐺)
isinag.x (𝜑𝑋𝑃)
isinag.a (𝜑𝐴𝑃)
isinag.b (𝜑𝐵𝑃)
isinag.c (𝜑𝐶𝑃)
inagswap.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
inagswap.1 (𝜑𝑋(inA‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩)
Assertion
Ref Expression
inagswap (𝜑𝑋(inA‘𝐺)⟨“𝐶𝐵𝐴”⟩)

Proof of Theorem inagswap
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inagswap.1 . . . . . . 7 (𝜑𝑋(inA‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩)
2 isinag.p . . . . . . . 8 𝑃 = (Base‘𝐺)
3 isinag.i . . . . . . . 8 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 isinag.k . . . . . . . 8 𝐾 = (hlG‘𝐺)
5 isinag.x . . . . . . . 8 (𝜑𝑋𝑃)
6 isinag.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴𝑃)
7 isinag.b . . . . . . . 8 (𝜑𝐵𝑃)
8 isinag.c . . . . . . . 8 (𝜑𝐶𝑃)
9 inagswap.g . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
102, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9isinag 25774 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋(inA‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ↔ ((𝐴𝐵𝐶𝐵𝑋𝐵) ∧ ∃𝑥𝑃 (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∧ (𝑥 = 𝐵𝑥(𝐾𝐵)𝑋)))))
111, 10mpbid 222 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴𝐵𝐶𝐵𝑋𝐵) ∧ ∃𝑥𝑃 (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∧ (𝑥 = 𝐵𝑥(𝐾𝐵)𝑋))))
1211simpld 474 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴𝐵𝐶𝐵𝑋𝐵))
1312simp2d 1094 . . . 4 (𝜑𝐶𝐵)
1412simp1d 1093 . . . 4 (𝜑𝐴𝐵)
1512simp3d 1095 . . . 4 (𝜑𝑋𝐵)
1613, 14, 153jca 1261 . . 3 (𝜑 → (𝐶𝐵𝐴𝐵𝑋𝐵))
1711simprd 478 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑥𝑃 (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∧ (𝑥 = 𝐵𝑥(𝐾𝐵)𝑋)))
18 eqid 2651 . . . . . . . 8 (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
1993ad2ant1 1102 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑃𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
2063ad2ant1 1102 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑃𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐴𝑃)
21 simp2 1082 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑃𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝑥𝑃)
2283ad2ant1 1102 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑃𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐶𝑃)
23 simp3 1083 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑃𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
242, 18, 3, 19, 20, 21, 22, 23tgbtwncom 25428 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑃𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐴))
25243expia 1286 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑃) → (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶) → 𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐴)))
2625anim1d 587 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑃) → ((𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∧ (𝑥 = 𝐵𝑥(𝐾𝐵)𝑋)) → (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐴) ∧ (𝑥 = 𝐵𝑥(𝐾𝐵)𝑋))))
2726reximdva 3046 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑥𝑃 (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∧ (𝑥 = 𝐵𝑥(𝐾𝐵)𝑋)) → ∃𝑥𝑃 (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐴) ∧ (𝑥 = 𝐵𝑥(𝐾𝐵)𝑋))))
2817, 27mpd 15 . . 3 (𝜑 → ∃𝑥𝑃 (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐴) ∧ (𝑥 = 𝐵𝑥(𝐾𝐵)𝑋)))
2916, 28jca 553 . 2 (𝜑 → ((𝐶𝐵𝐴𝐵𝑋𝐵) ∧ ∃𝑥𝑃 (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐴) ∧ (𝑥 = 𝐵𝑥(𝐾𝐵)𝑋))))
302, 3, 4, 5, 8, 7, 6, 9isinag 25774 . 2 (𝜑 → (𝑋(inA‘𝐺)⟨“𝐶𝐵𝐴”⟩ ↔ ((𝐶𝐵𝐴𝐵𝑋𝐵) ∧ ∃𝑥𝑃 (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐴) ∧ (𝑥 = 𝐵𝑥(𝐾𝐵)𝑋)))))
3129, 30mpbird 247 1 (𝜑𝑋(inA‘𝐺)⟨“𝐶𝐵𝐴”⟩)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wo 382  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wrex 2942   class class class wbr 4685  cfv 5926  (class class class)co 6690  ⟨“cs3 13633  Basecbs 15904  distcds 15997  TarskiGcstrkg 25374  Itvcitv 25380  hlGchlg 25540  inAcinag 25771
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-hash 13158  df-word 13331  df-concat 13333  df-s1 13334  df-s2 13639  df-s3 13640  df-trkgc 25392  df-trkgb 25393  df-trkgcb 25394  df-trkg 25397  df-inag 25773
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator