MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  inaprc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem inaprc 9602
Description: An equivalent to the Tarski-Grothendieck Axiom: there is a proper class of inaccessible cardinals. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
inaprc Inacc ∉ V

Proof of Theorem inaprc
Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inawina 9456 . . . . . 6 (𝑥 ∈ Inacc → 𝑥 ∈ Inaccw)
2 winaon 9454 . . . . . 6 (𝑥 ∈ Inaccw𝑥 ∈ On)
31, 2syl 17 . . . . 5 (𝑥 ∈ Inacc → 𝑥 ∈ On)
43ssriv 3587 . . . 4 Inacc ⊆ On
5 ssorduni 6932 . . . 4 (Inacc ⊆ On → Ord Inacc)
6 ordsson 6936 . . . 4 (Ord Inacc → Inacc ⊆ On)
74, 5, 6mp2b 10 . . 3 Inacc ⊆ On
8 vex 3189 . . . . . . . 8 𝑦 ∈ V
9 grothtsk 9601 . . . . . . . 8 Tarski = V
108, 9eleqtrri 2697 . . . . . . 7 𝑦 Tarski
11 eluni2 4406 . . . . . . 7 (𝑦 Tarski ↔ ∃𝑤 ∈ Tarski 𝑦𝑤)
1210, 11mpbi 220 . . . . . 6 𝑤 ∈ Tarski 𝑦𝑤
13 ne0i 3897 . . . . . . . . . 10 (𝑦𝑤𝑤 ≠ ∅)
14 tskcard 9547 . . . . . . . . . 10 ((𝑤 ∈ Tarski ∧ 𝑤 ≠ ∅) → (card‘𝑤) ∈ Inacc)
1513, 14sylan2 491 . . . . . . . . 9 ((𝑤 ∈ Tarski ∧ 𝑦𝑤) → (card‘𝑤) ∈ Inacc)
1615adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ On ∧ (𝑤 ∈ Tarski ∧ 𝑦𝑤)) → (card‘𝑤) ∈ Inacc)
17 tsksdom 9522 . . . . . . . . . 10 ((𝑤 ∈ Tarski ∧ 𝑦𝑤) → 𝑦𝑤)
1817adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ On ∧ (𝑤 ∈ Tarski ∧ 𝑦𝑤)) → 𝑦𝑤)
19 tskwe2 9539 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 ∈ Tarski → 𝑤 ∈ dom card)
2019adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝑤 ∈ Tarski ∧ 𝑦𝑤) → 𝑤 ∈ dom card)
21 cardsdomel 8744 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ On ∧ 𝑤 ∈ dom card) → (𝑦𝑤𝑦 ∈ (card‘𝑤)))
2220, 21sylan2 491 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ On ∧ (𝑤 ∈ Tarski ∧ 𝑦𝑤)) → (𝑦𝑤𝑦 ∈ (card‘𝑤)))
2318, 22mpbid 222 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ On ∧ (𝑤 ∈ Tarski ∧ 𝑦𝑤)) → 𝑦 ∈ (card‘𝑤))
24 eleq2 2687 . . . . . . . . 9 (𝑧 = (card‘𝑤) → (𝑦𝑧𝑦 ∈ (card‘𝑤)))
2524rspcev 3295 . . . . . . . 8 (((card‘𝑤) ∈ Inacc ∧ 𝑦 ∈ (card‘𝑤)) → ∃𝑧 ∈ Inacc 𝑦𝑧)
2616, 23, 25syl2anc 692 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ On ∧ (𝑤 ∈ Tarski ∧ 𝑦𝑤)) → ∃𝑧 ∈ Inacc 𝑦𝑧)
2726rexlimdvaa 3025 . . . . . 6 (𝑦 ∈ On → (∃𝑤 ∈ Tarski 𝑦𝑤 → ∃𝑧 ∈ Inacc 𝑦𝑧))
2812, 27mpi 20 . . . . 5 (𝑦 ∈ On → ∃𝑧 ∈ Inacc 𝑦𝑧)
29 eluni2 4406 . . . . 5 (𝑦 Inacc ↔ ∃𝑧 ∈ Inacc 𝑦𝑧)
3028, 29sylibr 224 . . . 4 (𝑦 ∈ On → 𝑦 Inacc)
3130ssriv 3587 . . 3 On ⊆ Inacc
327, 31eqssi 3599 . 2 Inacc = On
33 ssonprc 6939 . . 3 (Inacc ⊆ On → (Inacc ∉ V ↔ Inacc = On))
344, 33ax-mp 5 . 2 (Inacc ∉ V ↔ Inacc = On)
3532, 34mpbir 221 1 Inacc ∉ V
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wnel 2893  wrex 2908  Vcvv 3186  wss 3555  c0 3891   cuni 4402   class class class wbr 4613  dom cdm 5074  Ord word 5681  Oncon0 5682  cfv 5847  csdm 7898  cardccrd 8705  Inaccwcwina 9448  Inacccina 9449  Tarskictsk 9514
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-ac2 9229  ax-groth 9589
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-iin 4488  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-smo 7388  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-ixp 7853  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-oi 8359  df-har 8407  df-r1 8571  df-card 8709  df-aleph 8710  df-cf 8711  df-acn 8712  df-ac 8883  df-wina 9450  df-ina 9451  df-tsk 9515
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator