MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  inawinalem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem inawinalem 10099
Description: Lemma for inawina 10100. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
inawinalem (𝐴 ∈ On → (∀𝑥𝐴 𝒫 𝑥𝐴 → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦

Proof of Theorem inawinalem
StepHypRef Expression
1 sdomdom 8525 . . . . 5 (𝒫 𝑥𝐴 → 𝒫 𝑥𝐴)
2 ondomen 9451 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝒫 𝑥𝐴) → 𝒫 𝑥 ∈ dom card)
3 isnum2 9362 . . . . . 6 (𝒫 𝑥 ∈ dom card ↔ ∃𝑦 ∈ On 𝑦 ≈ 𝒫 𝑥)
42, 3sylib 219 . . . . 5 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝒫 𝑥𝐴) → ∃𝑦 ∈ On 𝑦 ≈ 𝒫 𝑥)
51, 4sylan2 592 . . . 4 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝒫 𝑥𝐴) → ∃𝑦 ∈ On 𝑦 ≈ 𝒫 𝑥)
6 ensdomtr 8641 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ≈ 𝒫 𝑥 ∧ 𝒫 𝑥𝐴) → 𝑦𝐴)
76ad2ant2l 742 . . . . . . . 8 (((𝑦 ∈ On ∧ 𝑦 ≈ 𝒫 𝑥) ∧ (𝐴 ∈ On ∧ 𝒫 𝑥𝐴)) → 𝑦𝐴)
8 sdomel 8652 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝑦𝐴𝑦𝐴))
98ad2ant2r 743 . . . . . . . 8 (((𝑦 ∈ On ∧ 𝑦 ≈ 𝒫 𝑥) ∧ (𝐴 ∈ On ∧ 𝒫 𝑥𝐴)) → (𝑦𝐴𝑦𝐴))
107, 9mpd 15 . . . . . . 7 (((𝑦 ∈ On ∧ 𝑦 ≈ 𝒫 𝑥) ∧ (𝐴 ∈ On ∧ 𝒫 𝑥𝐴)) → 𝑦𝐴)
11 vex 3495 . . . . . . . . . 10 𝑥 ∈ V
1211canth2 8658 . . . . . . . . 9 𝑥 ≺ 𝒫 𝑥
13 ensym 8546 . . . . . . . . 9 (𝑦 ≈ 𝒫 𝑥 → 𝒫 𝑥𝑦)
14 sdomentr 8639 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ≺ 𝒫 𝑥 ∧ 𝒫 𝑥𝑦) → 𝑥𝑦)
1512, 13, 14sylancr 587 . . . . . . . 8 (𝑦 ≈ 𝒫 𝑥𝑥𝑦)
1615ad2antlr 723 . . . . . . 7 (((𝑦 ∈ On ∧ 𝑦 ≈ 𝒫 𝑥) ∧ (𝐴 ∈ On ∧ 𝒫 𝑥𝐴)) → 𝑥𝑦)
1710, 16jca 512 . . . . . 6 (((𝑦 ∈ On ∧ 𝑦 ≈ 𝒫 𝑥) ∧ (𝐴 ∈ On ∧ 𝒫 𝑥𝐴)) → (𝑦𝐴𝑥𝑦))
1817expcom 414 . . . . 5 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝒫 𝑥𝐴) → ((𝑦 ∈ On ∧ 𝑦 ≈ 𝒫 𝑥) → (𝑦𝐴𝑥𝑦)))
1918reximdv2 3268 . . . 4 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝒫 𝑥𝐴) → (∃𝑦 ∈ On 𝑦 ≈ 𝒫 𝑥 → ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦))
205, 19mpd 15 . . 3 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝒫 𝑥𝐴) → ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦)
2120ex 413 . 2 (𝐴 ∈ On → (𝒫 𝑥𝐴 → ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦))
2221ralimdv 3175 1 (𝐴 ∈ On → (∀𝑥𝐴 𝒫 𝑥𝐴 → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wcel 2105  wral 3135  wrex 3136  𝒫 cpw 4535   class class class wbr 5057  dom cdm 5548  Oncon0 6184  cen 8494  cdom 8495  csdm 8496  cardccrd 9352
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-card 9356
This theorem is referenced by:  inawina  10100  tskcard  10191  gruina  10228
  Copyright terms: Public domain W3C validator