MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  inawinalem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem inawinalem 9455
Description: Lemma for inawina 9456. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
inawinalem (𝐴 ∈ On → (∀𝑥𝐴 𝒫 𝑥𝐴 → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦

Proof of Theorem inawinalem
StepHypRef Expression
1 sdomdom 7927 . . . . 5 (𝒫 𝑥𝐴 → 𝒫 𝑥𝐴)
2 ondomen 8804 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝒫 𝑥𝐴) → 𝒫 𝑥 ∈ dom card)
3 isnum2 8715 . . . . . 6 (𝒫 𝑥 ∈ dom card ↔ ∃𝑦 ∈ On 𝑦 ≈ 𝒫 𝑥)
42, 3sylib 208 . . . . 5 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝒫 𝑥𝐴) → ∃𝑦 ∈ On 𝑦 ≈ 𝒫 𝑥)
51, 4sylan2 491 . . . 4 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝒫 𝑥𝐴) → ∃𝑦 ∈ On 𝑦 ≈ 𝒫 𝑥)
6 ensdomtr 8040 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ≈ 𝒫 𝑥 ∧ 𝒫 𝑥𝐴) → 𝑦𝐴)
76ad2ant2l 781 . . . . . . . 8 (((𝑦 ∈ On ∧ 𝑦 ≈ 𝒫 𝑥) ∧ (𝐴 ∈ On ∧ 𝒫 𝑥𝐴)) → 𝑦𝐴)
8 sdomel 8051 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝑦𝐴𝑦𝐴))
98ad2ant2r 782 . . . . . . . 8 (((𝑦 ∈ On ∧ 𝑦 ≈ 𝒫 𝑥) ∧ (𝐴 ∈ On ∧ 𝒫 𝑥𝐴)) → (𝑦𝐴𝑦𝐴))
107, 9mpd 15 . . . . . . 7 (((𝑦 ∈ On ∧ 𝑦 ≈ 𝒫 𝑥) ∧ (𝐴 ∈ On ∧ 𝒫 𝑥𝐴)) → 𝑦𝐴)
11 vex 3189 . . . . . . . . . 10 𝑥 ∈ V
1211canth2 8057 . . . . . . . . 9 𝑥 ≺ 𝒫 𝑥
13 ensym 7949 . . . . . . . . 9 (𝑦 ≈ 𝒫 𝑥 → 𝒫 𝑥𝑦)
14 sdomentr 8038 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ≺ 𝒫 𝑥 ∧ 𝒫 𝑥𝑦) → 𝑥𝑦)
1512, 13, 14sylancr 694 . . . . . . . 8 (𝑦 ≈ 𝒫 𝑥𝑥𝑦)
1615ad2antlr 762 . . . . . . 7 (((𝑦 ∈ On ∧ 𝑦 ≈ 𝒫 𝑥) ∧ (𝐴 ∈ On ∧ 𝒫 𝑥𝐴)) → 𝑥𝑦)
1710, 16jca 554 . . . . . 6 (((𝑦 ∈ On ∧ 𝑦 ≈ 𝒫 𝑥) ∧ (𝐴 ∈ On ∧ 𝒫 𝑥𝐴)) → (𝑦𝐴𝑥𝑦))
1817expcom 451 . . . . 5 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝒫 𝑥𝐴) → ((𝑦 ∈ On ∧ 𝑦 ≈ 𝒫 𝑥) → (𝑦𝐴𝑥𝑦)))
1918reximdv2 3008 . . . 4 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝒫 𝑥𝐴) → (∃𝑦 ∈ On 𝑦 ≈ 𝒫 𝑥 → ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦))
205, 19mpd 15 . . 3 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝒫 𝑥𝐴) → ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦)
2120ex 450 . 2 (𝐴 ∈ On → (𝒫 𝑥𝐴 → ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦))
2221ralimdv 2957 1 (𝐴 ∈ On → (∀𝑥𝐴 𝒫 𝑥𝐴 → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  wcel 1987  wral 2907  wrex 2908  𝒫 cpw 4130   class class class wbr 4613  dom cdm 5074  Oncon0 5682  cen 7896  cdom 7897  csdm 7898  cardccrd 8705
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-card 8709
This theorem is referenced by:  inawina  9456  tskcard  9547  gruina  9584
  Copyright terms: Public domain W3C validator