Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  incsequz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem incsequz 33197
Description: An increasing sequence of positive integers takes on indefinitely large values. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
incsequz ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ∈ (ℤ𝐴))
Distinct variable groups:   𝑚,𝐹,𝑛   𝐴,𝑚,𝑛

Proof of Theorem incsequz
Dummy variables 𝑘 𝑝 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6150 . . . . . . 7 (𝑝 = 1 → (ℤ𝑝) = (ℤ‘1))
21eleq2d 2684 . . . . . 6 (𝑝 = 1 → ((𝐹𝑛) ∈ (ℤ𝑝) ↔ (𝐹𝑛) ∈ (ℤ‘1)))
32rexbidv 3045 . . . . 5 (𝑝 = 1 → (∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ∈ (ℤ𝑝) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ∈ (ℤ‘1)))
43imbi2d 330 . . . 4 (𝑝 = 1 → (((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1))) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ∈ (ℤ𝑝)) ↔ ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1))) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ∈ (ℤ‘1))))
5 fveq2 6150 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝑞 → (ℤ𝑝) = (ℤ𝑞))
65eleq2d 2684 . . . . . 6 (𝑝 = 𝑞 → ((𝐹𝑛) ∈ (ℤ𝑝) ↔ (𝐹𝑛) ∈ (ℤ𝑞)))
76rexbidv 3045 . . . . 5 (𝑝 = 𝑞 → (∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ∈ (ℤ𝑝) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ∈ (ℤ𝑞)))
87imbi2d 330 . . . 4 (𝑝 = 𝑞 → (((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1))) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ∈ (ℤ𝑝)) ↔ ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1))) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ∈ (ℤ𝑞))))
9 fveq2 6150 . . . . . . 7 (𝑝 = (𝑞 + 1) → (ℤ𝑝) = (ℤ‘(𝑞 + 1)))
109eleq2d 2684 . . . . . 6 (𝑝 = (𝑞 + 1) → ((𝐹𝑛) ∈ (ℤ𝑝) ↔ (𝐹𝑛) ∈ (ℤ‘(𝑞 + 1))))
1110rexbidv 3045 . . . . 5 (𝑝 = (𝑞 + 1) → (∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ∈ (ℤ𝑝) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ∈ (ℤ‘(𝑞 + 1))))
1211imbi2d 330 . . . 4 (𝑝 = (𝑞 + 1) → (((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1))) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ∈ (ℤ𝑝)) ↔ ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1))) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ∈ (ℤ‘(𝑞 + 1)))))
13 fveq2 6150 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝐴 → (ℤ𝑝) = (ℤ𝐴))
1413eleq2d 2684 . . . . . 6 (𝑝 = 𝐴 → ((𝐹𝑛) ∈ (ℤ𝑝) ↔ (𝐹𝑛) ∈ (ℤ𝐴)))
1514rexbidv 3045 . . . . 5 (𝑝 = 𝐴 → (∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ∈ (ℤ𝑝) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ∈ (ℤ𝐴)))
1615imbi2d 330 . . . 4 (𝑝 = 𝐴 → (((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1))) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ∈ (ℤ𝑝)) ↔ ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1))) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ∈ (ℤ𝐴))))
17 1nn 10978 . . . . . . 7 1 ∈ ℕ
1817ne0ii 3901 . . . . . 6 ℕ ≠ ∅
19 ffvelrn 6315 . . . . . . . 8 ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑛) ∈ ℕ)
20 elnnuz 11671 . . . . . . . 8 ((𝐹𝑛) ∈ ℕ ↔ (𝐹𝑛) ∈ (ℤ‘1))
2119, 20sylib 208 . . . . . . 7 ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑛) ∈ (ℤ‘1))
2221ralrimiva 2960 . . . . . 6 (𝐹:ℕ⟶ℕ → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ∈ (ℤ‘1))
23 r19.2z 4034 . . . . . 6 ((ℕ ≠ ∅ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ∈ (ℤ‘1)) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ∈ (ℤ‘1))
2418, 22, 23sylancr 694 . . . . 5 (𝐹:ℕ⟶ℕ → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ∈ (ℤ‘1))
2524adantr 481 . . . 4 ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1))) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ∈ (ℤ‘1))
26 peano2nn 10979 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
2726adantl 482 . . . . . . . . 9 (((𝑞 ∈ ℕ ∧ (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
28 nnre 10974 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑞 ∈ ℕ → 𝑞 ∈ ℝ)
2928ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑞 ∈ ℕ ∧ (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑞 ∈ ℝ)
3019nnred 10982 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑛) ∈ ℝ)
3130adantlr 750 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑛) ∈ ℝ)
3231adantll 749 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑞 ∈ ℕ ∧ (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑛) ∈ ℝ)
33 1red 10002 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑞 ∈ ℕ ∧ (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
3429, 32, 33leadd1d 10568 . . . . . . . . . . 11 (((𝑞 ∈ ℕ ∧ (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑞 ≤ (𝐹𝑛) ↔ (𝑞 + 1) ≤ ((𝐹𝑛) + 1)))
35 fveq2 6150 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑚 = 𝑛 → (𝐹𝑚) = (𝐹𝑛))
36 oveq1 6614 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑚 = 𝑛 → (𝑚 + 1) = (𝑛 + 1))
3736fveq2d 6154 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑚 = 𝑛 → (𝐹‘(𝑚 + 1)) = (𝐹‘(𝑛 + 1)))
3835, 37breq12d 4628 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑚 = 𝑛 → ((𝐹𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)) ↔ (𝐹𝑛) < (𝐹‘(𝑛 + 1))))
3938rspcv 3291 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ → (∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)) → (𝐹𝑛) < (𝐹‘(𝑛 + 1))))
4039imdistani 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1))) → (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝐹𝑛) < (𝐹‘(𝑛 + 1))))
41 ffvelrn 6315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ (𝑛 + 1) ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℕ)
4226, 41sylan2 491 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℕ)
43 nnltp1le 11380 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹𝑛) ∈ ℕ ∧ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℕ) → ((𝐹𝑛) < (𝐹‘(𝑛 + 1)) ↔ ((𝐹𝑛) + 1) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1))))
4419, 42, 43syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑛) < (𝐹‘(𝑛 + 1)) ↔ ((𝐹𝑛) + 1) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1))))
4544biimpa 501 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝐹𝑛) < (𝐹‘(𝑛 + 1))) → ((𝐹𝑛) + 1) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1)))
4645anasss 678 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝐹𝑛) < (𝐹‘(𝑛 + 1)))) → ((𝐹𝑛) + 1) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1)))
4740, 46sylan2 491 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)))) → ((𝐹𝑛) + 1) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1)))
4847anass1rs 848 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑛) + 1) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1)))
4948adantll 749 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑞 ∈ ℕ ∧ (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑛) + 1) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1)))
50 peano2re 10156 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑞 ∈ ℝ → (𝑞 + 1) ∈ ℝ)
5128, 50syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑞 ∈ ℕ → (𝑞 + 1) ∈ ℝ)
5251ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑞 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑞 + 1) ∈ ℝ)
53 peano2nn 10979 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹𝑛) ∈ ℕ → ((𝐹𝑛) + 1) ∈ ℕ)
5419, 53syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑛) + 1) ∈ ℕ)
5554nnred 10982 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑛) + 1) ∈ ℝ)
5655adantll 749 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑞 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑛) + 1) ∈ ℝ)
5741nnred 10982 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ (𝑛 + 1) ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℝ)
5826, 57sylan2 491 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℝ)
5958adantll 749 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑞 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℝ)
60 letr 10078 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑞 + 1) ∈ ℝ ∧ ((𝐹𝑛) + 1) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℝ) → (((𝑞 + 1) ≤ ((𝐹𝑛) + 1) ∧ ((𝐹𝑛) + 1) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1))) → (𝑞 + 1) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1))))
6152, 56, 59, 60syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑞 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (((𝑞 + 1) ≤ ((𝐹𝑛) + 1) ∧ ((𝐹𝑛) + 1) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1))) → (𝑞 + 1) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1))))
6261adantlrr 756 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑞 ∈ ℕ ∧ (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (((𝑞 + 1) ≤ ((𝐹𝑛) + 1) ∧ ((𝐹𝑛) + 1) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1))) → (𝑞 + 1) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1))))
6349, 62mpan2d 709 . . . . . . . . . . 11 (((𝑞 ∈ ℕ ∧ (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑞 + 1) ≤ ((𝐹𝑛) + 1) → (𝑞 + 1) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1))))
6434, 63sylbid 230 . . . . . . . . . 10 (((𝑞 ∈ ℕ ∧ (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑞 ≤ (𝐹𝑛) → (𝑞 + 1) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1))))
65 nnz 11346 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑞 ∈ ℕ → 𝑞 ∈ ℤ)
6619nnzd 11428 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑛) ∈ ℤ)
67 eluz 11648 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑞 ∈ ℤ ∧ (𝐹𝑛) ∈ ℤ) → ((𝐹𝑛) ∈ (ℤ𝑞) ↔ 𝑞 ≤ (𝐹𝑛)))
6865, 66, 67syl2an 494 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑞 ∈ ℕ ∧ (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝐹𝑛) ∈ (ℤ𝑞) ↔ 𝑞 ≤ (𝐹𝑛)))
6968adantrlr 758 . . . . . . . . . . 11 ((𝑞 ∈ ℕ ∧ ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝐹𝑛) ∈ (ℤ𝑞) ↔ 𝑞 ≤ (𝐹𝑛)))
7069anassrs 679 . . . . . . . . . 10 (((𝑞 ∈ ℕ ∧ (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑛) ∈ (ℤ𝑞) ↔ 𝑞 ≤ (𝐹𝑛)))
7165peano2zd 11432 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑞 ∈ ℕ → (𝑞 + 1) ∈ ℤ)
7241nnzd 11428 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ (𝑛 + 1) ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℤ)
7326, 72sylan2 491 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℤ)
74 eluz 11648 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑞 + 1) ∈ ℤ ∧ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℤ) → ((𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ (ℤ‘(𝑞 + 1)) ↔ (𝑞 + 1) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1))))
7571, 73, 74syl2an 494 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑞 ∈ ℕ ∧ (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ (ℤ‘(𝑞 + 1)) ↔ (𝑞 + 1) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1))))
7675adantrlr 758 . . . . . . . . . . 11 ((𝑞 ∈ ℕ ∧ ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ (ℤ‘(𝑞 + 1)) ↔ (𝑞 + 1) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1))))
7776anassrs 679 . . . . . . . . . 10 (((𝑞 ∈ ℕ ∧ (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ (ℤ‘(𝑞 + 1)) ↔ (𝑞 + 1) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1))))
7864, 70, 773imtr4d 283 . . . . . . . . 9 (((𝑞 ∈ ℕ ∧ (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑛) ∈ (ℤ𝑞) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ (ℤ‘(𝑞 + 1))))
79 fveq2 6150 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = (𝑛 + 1) → (𝐹𝑘) = (𝐹‘(𝑛 + 1)))
8079eleq1d 2683 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = (𝑛 + 1) → ((𝐹𝑘) ∈ (ℤ‘(𝑞 + 1)) ↔ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ (ℤ‘(𝑞 + 1))))
8180rspcev 3295 . . . . . . . . 9 (((𝑛 + 1) ∈ ℕ ∧ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ (ℤ‘(𝑞 + 1))) → ∃𝑘 ∈ ℕ (𝐹𝑘) ∈ (ℤ‘(𝑞 + 1)))
8227, 78, 81syl6an 567 . . . . . . . 8 (((𝑞 ∈ ℕ ∧ (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑛) ∈ (ℤ𝑞) → ∃𝑘 ∈ ℕ (𝐹𝑘) ∈ (ℤ‘(𝑞 + 1))))
8382rexlimdva 3024 . . . . . . 7 ((𝑞 ∈ ℕ ∧ (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)))) → (∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ∈ (ℤ𝑞) → ∃𝑘 ∈ ℕ (𝐹𝑘) ∈ (ℤ‘(𝑞 + 1))))
84 fveq2 6150 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑛 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑛))
8584eleq1d 2683 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑛 → ((𝐹𝑘) ∈ (ℤ‘(𝑞 + 1)) ↔ (𝐹𝑛) ∈ (ℤ‘(𝑞 + 1))))
8685cbvrexv 3160 . . . . . . 7 (∃𝑘 ∈ ℕ (𝐹𝑘) ∈ (ℤ‘(𝑞 + 1)) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ∈ (ℤ‘(𝑞 + 1)))
8783, 86syl6ib 241 . . . . . 6 ((𝑞 ∈ ℕ ∧ (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)))) → (∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ∈ (ℤ𝑞) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ∈ (ℤ‘(𝑞 + 1))))
8887ex 450 . . . . 5 (𝑞 ∈ ℕ → ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1))) → (∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ∈ (ℤ𝑞) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ∈ (ℤ‘(𝑞 + 1)))))
8988a2d 29 . . . 4 (𝑞 ∈ ℕ → (((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1))) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ∈ (ℤ𝑞)) → ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1))) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ∈ (ℤ‘(𝑞 + 1)))))
904, 8, 12, 16, 25, 89nnind 10985 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ → ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1))) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ∈ (ℤ𝐴)))
9190com12 32 . 2 ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1))) → (𝐴 ∈ ℕ → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ∈ (ℤ𝐴)))
92913impia 1258 1 ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ∈ (ℤ𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wral 2907  wrex 2908  c0 3893   class class class wbr 4615  wf 5845  cfv 5849  (class class class)co 6607  cr 9882  1c1 9884   + caddc 9886   < clt 10021  cle 10022  cn 10967  cz 11324  cuz 11634
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4743  ax-nul 4751  ax-pow 4805  ax-pr 4869  ax-un 6905  ax-cnex 9939  ax-resscn 9940  ax-1cn 9941  ax-icn 9942  ax-addcl 9943  ax-addrcl 9944  ax-mulcl 9945  ax-mulrcl 9946  ax-mulcom 9947  ax-addass 9948  ax-mulass 9949  ax-distr 9950  ax-i2m1 9951  ax-1ne0 9952  ax-1rid 9953  ax-rnegex 9954  ax-rrecex 9955  ax-cnre 9956  ax-pre-lttri 9957  ax-pre-lttrn 9958  ax-pre-ltadd 9959  ax-pre-mulgt0 9960
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3419  df-csb 3516  df-dif 3559  df-un 3561  df-in 3563  df-ss 3570  df-pss 3572  df-nul 3894  df-if 4061  df-pw 4134  df-sn 4151  df-pr 4153  df-tp 4155  df-op 4157  df-uni 4405  df-iun 4489  df-br 4616  df-opab 4676  df-mpt 4677  df-tr 4715  df-eprel 4987  df-id 4991  df-po 4997  df-so 4998  df-fr 5035  df-we 5037  df-xp 5082  df-rel 5083  df-cnv 5084  df-co 5085  df-dm 5086  df-rn 5087  df-res 5088  df-ima 5089  df-pred 5641  df-ord 5687  df-on 5688  df-lim 5689  df-suc 5690  df-iota 5812  df-fun 5851  df-fn 5852  df-f 5853  df-f1 5854  df-fo 5855  df-f1o 5856  df-fv 5857  df-riota 6568  df-ov 6610  df-oprab 6611  df-mpt2 6612  df-om 7016  df-wrecs 7355  df-recs 7416  df-rdg 7454  df-er 7690  df-en 7903  df-dom 7904  df-sdom 7905  df-pnf 10023  df-mnf 10024  df-xr 10025  df-ltxr 10026  df-le 10027  df-sub 10215  df-neg 10216  df-nn 10968  df-n0 11240  df-z 11325  df-uz 11635
This theorem is referenced by:  incsequz2  33198
  Copyright terms: Public domain W3C validator