Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  incsequz2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem incsequz2 33177
 Description: An increasing sequence of positive integers takes on indefinitely large values. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
incsequz2 ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(𝐹𝑘) ∈ (ℤ𝐴))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹,𝑚,𝑛   𝐴,𝑘,𝑚,𝑛

Proof of Theorem incsequz2
Dummy variables 𝑝 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 incsequz 33176 . 2 ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ∈ (ℤ𝐴))
2 nnssre 10968 . . . . . . . 8 ℕ ⊆ ℝ
3 ltso 10062 . . . . . . . . 9 < Or ℝ
4 sopo 5012 . . . . . . . . 9 ( < Or ℝ → < Po ℝ)
53, 4ax-mp 5 . . . . . . . 8 < Po ℝ
6 poss 4997 . . . . . . . 8 (ℕ ⊆ ℝ → ( < Po ℝ → < Po ℕ))
72, 5, 6mp2 9 . . . . . . 7 < Po ℕ
8 seqpo 33175 . . . . . . 7 (( < Po ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ) → (∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)) ↔ ∀𝑝 ∈ ℕ ∀𝑞 ∈ (ℤ‘(𝑝 + 1))(𝐹𝑝) < (𝐹𝑞)))
97, 8mpan 705 . . . . . 6 (𝐹:ℕ⟶ℕ → (∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)) ↔ ∀𝑝 ∈ ℕ ∀𝑞 ∈ (ℤ‘(𝑝 + 1))(𝐹𝑝) < (𝐹𝑞)))
109biimpd 219 . . . . 5 (𝐹:ℕ⟶ℕ → (∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)) → ∀𝑝 ∈ ℕ ∀𝑞 ∈ (ℤ‘(𝑝 + 1))(𝐹𝑝) < (𝐹𝑞)))
1110imdistani 725 . . . 4 ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1))) → (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑝 ∈ ℕ ∀𝑞 ∈ (ℤ‘(𝑝 + 1))(𝐹𝑝) < (𝐹𝑞)))
12 uzp1 11665 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (ℤ𝑛) → (𝑘 = 𝑛𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))))
13 fveq2 6148 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑛 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑛))
1413adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 = 𝑛) → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑛))
15 ffvelrn 6313 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑛) ∈ ℕ)
1615nnzd 11425 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑛) ∈ ℤ)
17 uzid 11646 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹𝑛) ∈ ℤ → (𝐹𝑛) ∈ (ℤ‘(𝐹𝑛)))
1816, 17syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑛) ∈ (ℤ‘(𝐹𝑛)))
1918adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 = 𝑛) → (𝐹𝑛) ∈ (ℤ‘(𝐹𝑛)))
2014, 19eqeltrd 2698 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 = 𝑛) → (𝐹𝑘) ∈ (ℤ‘(𝐹𝑛)))
2120adantllr 754 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑝 ∈ ℕ ∀𝑞 ∈ (ℤ‘(𝑝 + 1))(𝐹𝑝) < (𝐹𝑞)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 = 𝑛) → (𝐹𝑘) ∈ (ℤ‘(𝐹𝑛)))
22 oveq1 6611 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑝 = 𝑛 → (𝑝 + 1) = (𝑛 + 1))
2322fveq2d 6152 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑝 = 𝑛 → (ℤ‘(𝑝 + 1)) = (ℤ‘(𝑛 + 1)))
24 fveq2 6148 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑝 = 𝑛 → (𝐹𝑝) = (𝐹𝑛))
2524breq1d 4623 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑝 = 𝑛 → ((𝐹𝑝) < (𝐹𝑞) ↔ (𝐹𝑛) < (𝐹𝑞)))
2623, 25raleqbidv 3141 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑝 = 𝑛 → (∀𝑞 ∈ (ℤ‘(𝑝 + 1))(𝐹𝑝) < (𝐹𝑞) ↔ ∀𝑞 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐹𝑛) < (𝐹𝑞)))
2726rspccva 3294 . . . . . . . . . . . . 13 ((∀𝑝 ∈ ℕ ∀𝑞 ∈ (ℤ‘(𝑝 + 1))(𝐹𝑝) < (𝐹𝑞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ∀𝑞 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐹𝑛) < (𝐹𝑞))
28 fveq2 6148 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑞 = 𝑘 → (𝐹𝑞) = (𝐹𝑘))
2928breq2d 4625 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑞 = 𝑘 → ((𝐹𝑛) < (𝐹𝑞) ↔ (𝐹𝑛) < (𝐹𝑘)))
3029rspccva 3294 . . . . . . . . . . . . 13 ((∀𝑞 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐹𝑛) < (𝐹𝑞) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))) → (𝐹𝑛) < (𝐹𝑘))
3127, 30sylan 488 . . . . . . . . . . . 12 (((∀𝑝 ∈ ℕ ∀𝑞 ∈ (ℤ‘(𝑝 + 1))(𝐹𝑝) < (𝐹𝑞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))) → (𝐹𝑛) < (𝐹𝑘))
3231adantlll 753 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑝 ∈ ℕ ∀𝑞 ∈ (ℤ‘(𝑝 + 1))(𝐹𝑝) < (𝐹𝑞)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))) → (𝐹𝑛) < (𝐹𝑘))
3316adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))) → (𝐹𝑛) ∈ ℤ)
34 peano2nn 10976 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
35 elnnuz 11668 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑛 + 1) ∈ ℕ ↔ (𝑛 + 1) ∈ (ℤ‘1))
3634, 35sylib 208 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 + 1) ∈ (ℤ‘1))
37 uztrn 11648 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1)) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (ℤ‘1)) → 𝑘 ∈ (ℤ‘1))
3837ancoms 469 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑛 + 1) ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))) → 𝑘 ∈ (ℤ‘1))
39 elnnuz 11668 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ ℕ ↔ 𝑘 ∈ (ℤ‘1))
4038, 39sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑛 + 1) ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
4136, 40sylan 488 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
42 ffvelrn 6313 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ ℕ)
4342nnzd 11425 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ ℤ)
4441, 43sylan2 491 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1)))) → (𝐹𝑘) ∈ ℤ)
4544anassrs 679 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))) → (𝐹𝑘) ∈ ℤ)
46 zre 11325 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹𝑛) ∈ ℤ → (𝐹𝑛) ∈ ℝ)
47 zre 11325 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹𝑘) ∈ ℤ → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
48 ltle 10070 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹𝑛) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℝ) → ((𝐹𝑛) < (𝐹𝑘) → (𝐹𝑛) ≤ (𝐹𝑘)))
4946, 47, 48syl2an 494 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹𝑛) ∈ ℤ ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℤ) → ((𝐹𝑛) < (𝐹𝑘) → (𝐹𝑛) ≤ (𝐹𝑘)))
50 eluz 11645 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹𝑛) ∈ ℤ ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℤ) → ((𝐹𝑘) ∈ (ℤ‘(𝐹𝑛)) ↔ (𝐹𝑛) ≤ (𝐹𝑘)))
5149, 50sylibrd 249 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹𝑛) ∈ ℤ ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℤ) → ((𝐹𝑛) < (𝐹𝑘) → (𝐹𝑘) ∈ (ℤ‘(𝐹𝑛))))
5233, 45, 51syl2anc 692 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))) → ((𝐹𝑛) < (𝐹𝑘) → (𝐹𝑘) ∈ (ℤ‘(𝐹𝑛))))
5352adantllr 754 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑝 ∈ ℕ ∀𝑞 ∈ (ℤ‘(𝑝 + 1))(𝐹𝑝) < (𝐹𝑞)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))) → ((𝐹𝑛) < (𝐹𝑘) → (𝐹𝑘) ∈ (ℤ‘(𝐹𝑛))))
5432, 53mpd 15 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑝 ∈ ℕ ∀𝑞 ∈ (ℤ‘(𝑝 + 1))(𝐹𝑝) < (𝐹𝑞)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))) → (𝐹𝑘) ∈ (ℤ‘(𝐹𝑛)))
5521, 54jaodan 825 . . . . . . . . 9 ((((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑝 ∈ ℕ ∀𝑞 ∈ (ℤ‘(𝑝 + 1))(𝐹𝑝) < (𝐹𝑞)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 = 𝑛𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1)))) → (𝐹𝑘) ∈ (ℤ‘(𝐹𝑛)))
5612, 55sylan2 491 . . . . . . . 8 ((((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑝 ∈ ℕ ∀𝑞 ∈ (ℤ‘(𝑝 + 1))(𝐹𝑝) < (𝐹𝑞)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝐹𝑘) ∈ (ℤ‘(𝐹𝑛)))
57 uztrn 11648 . . . . . . . . 9 (((𝐹𝑘) ∈ (ℤ‘(𝐹𝑛)) ∧ (𝐹𝑛) ∈ (ℤ𝐴)) → (𝐹𝑘) ∈ (ℤ𝐴))
5857ex 450 . . . . . . . 8 ((𝐹𝑘) ∈ (ℤ‘(𝐹𝑛)) → ((𝐹𝑛) ∈ (ℤ𝐴) → (𝐹𝑘) ∈ (ℤ𝐴)))
5956, 58syl 17 . . . . . . 7 ((((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑝 ∈ ℕ ∀𝑞 ∈ (ℤ‘(𝑝 + 1))(𝐹𝑝) < (𝐹𝑞)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → ((𝐹𝑛) ∈ (ℤ𝐴) → (𝐹𝑘) ∈ (ℤ𝐴)))
6059adantllr 754 . . . . . 6 (((((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑝 ∈ ℕ ∀𝑞 ∈ (ℤ‘(𝑝 + 1))(𝐹𝑝) < (𝐹𝑞)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → ((𝐹𝑛) ∈ (ℤ𝐴) → (𝐹𝑘) ∈ (ℤ𝐴)))
6160ralrimdva 2963 . . . . 5 ((((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑝 ∈ ℕ ∀𝑞 ∈ (ℤ‘(𝑝 + 1))(𝐹𝑝) < (𝐹𝑞)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑛) ∈ (ℤ𝐴) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(𝐹𝑘) ∈ (ℤ𝐴)))
6261ex 450 . . . 4 (((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑝 ∈ ℕ ∀𝑞 ∈ (ℤ‘(𝑝 + 1))(𝐹𝑝) < (𝐹𝑞)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝑛 ∈ ℕ → ((𝐹𝑛) ∈ (ℤ𝐴) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(𝐹𝑘) ∈ (ℤ𝐴))))
6311, 62stoic3 1698 . . 3 ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝑛 ∈ ℕ → ((𝐹𝑛) ∈ (ℤ𝐴) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(𝐹𝑘) ∈ (ℤ𝐴))))
6463reximdvai 3009 . 2 ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ∈ (ℤ𝐴) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(𝐹𝑘) ∈ (ℤ𝐴)))
651, 64mpd 15 1 ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(𝐹𝑘) ∈ (ℤ𝐴))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 383   ∧ wa 384   ∧ w3a 1036   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  ∀wral 2907  ∃wrex 2908   ⊆ wss 3555   class class class wbr 4613   Po wpo 4993   Or wor 4994  ⟶wf 5843  ‘cfv 5847  (class class class)co 6604  ℝcr 9879  1c1 9881   + caddc 9883   < clt 10018   ≤ cle 10019  ℕcn 10964  ℤcz 11321  ℤ≥cuz 11631 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator