Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  incsmf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem incsmf 40245
Description: A real-valued, non-decreasing function is Borel measurable. Proposition 121D (c) of [Fremlin1] p. 36 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
incsmf.a (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
incsmf.f (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ)
incsmf.i (𝜑 → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑦)))
incsmf.j 𝐽 = (topGen‘ran (,))
incsmf.b 𝐵 = (SalGen‘𝐽)
Assertion
Ref Expression
incsmf (𝜑𝐹 ∈ (SMblFn‘𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑥,𝑦)   𝐽(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem incsmf
Dummy variables 𝑏 𝑤 𝑧 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1845 . 2 𝑎𝜑
2 incsmf.j . . . . 5 𝐽 = (topGen‘ran (,))
3 retop 22470 . . . . 5 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
42, 3eqeltri 2700 . . . 4 𝐽 ∈ Top
54a1i 11 . . 3 (𝜑𝐽 ∈ Top)
6 incsmf.b . . 3 𝐵 = (SalGen‘𝐽)
75, 6salgencld 39861 . 2 (𝜑𝐵 ∈ SAlg)
8 incsmf.a . . 3 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
95, 6unisalgen2 39866 . . . 4 (𝜑 𝐵 = 𝐽)
102unieqi 4416 . . . . 5 𝐽 = (topGen‘ran (,))
1110a1i 11 . . . 4 (𝜑 𝐽 = (topGen‘ran (,)))
12 uniretop 22471 . . . . . 6 ℝ = (topGen‘ran (,))
1312eqcomi 2635 . . . . 5 (topGen‘ran (,)) = ℝ
1413a1i 11 . . . 4 (𝜑 (topGen‘ran (,)) = ℝ)
159, 11, 143eqtrrd 2665 . . 3 (𝜑 → ℝ = 𝐵)
168, 15sseqtrd 3625 . 2 (𝜑𝐴 𝐵)
17 incsmf.f . 2 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ)
18 nfv 1845 . . . 4 𝑤(𝜑𝑎 ∈ ℝ)
19 nfv 1845 . . . 4 𝑧(𝜑𝑎 ∈ ℝ)
208adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → 𝐴 ⊆ ℝ)
2117frexr 39055 . . . . 5 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ*)
2221adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
23 incsmf.i . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑦)))
24 breq1 4621 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑤 → (𝑥𝑦𝑤𝑦))
25 fveq2 6150 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑤 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑤))
2625breq1d 4628 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑤 → ((𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑦) ↔ (𝐹𝑤) ≤ (𝐹𝑦)))
2724, 26imbi12d 334 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑤 → ((𝑥𝑦 → (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑦)) ↔ (𝑤𝑦 → (𝐹𝑤) ≤ (𝐹𝑦))))
28 breq2 4622 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑧 → (𝑤𝑦𝑤𝑧))
29 fveq2 6150 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑧 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑧))
3029breq2d 4630 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑧 → ((𝐹𝑤) ≤ (𝐹𝑦) ↔ (𝐹𝑤) ≤ (𝐹𝑧)))
3128, 30imbi12d 334 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑧 → ((𝑤𝑦 → (𝐹𝑤) ≤ (𝐹𝑦)) ↔ (𝑤𝑧 → (𝐹𝑤) ≤ (𝐹𝑧))))
3227, 31cbvral2v 3172 . . . . . 6 (∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑦)) ↔ ∀𝑤𝐴𝑧𝐴 (𝑤𝑧 → (𝐹𝑤) ≤ (𝐹𝑧)))
3323, 32sylib 208 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑤𝐴𝑧𝐴 (𝑤𝑧 → (𝐹𝑤) ≤ (𝐹𝑧)))
3433adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → ∀𝑤𝐴𝑧𝐴 (𝑤𝑧 → (𝐹𝑤) ≤ (𝐹𝑧)))
35 rexr 10030 . . . . 5 (𝑎 ∈ ℝ → 𝑎 ∈ ℝ*)
3635adantl 482 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → 𝑎 ∈ ℝ*)
3725breq1d 4628 . . . . 5 (𝑥 = 𝑤 → ((𝐹𝑥) < 𝑎 ↔ (𝐹𝑤) < 𝑎))
3837cbvrabv 3190 . . . 4 {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑎} = {𝑤𝐴 ∣ (𝐹𝑤) < 𝑎}
39 eqid 2626 . . . 4 sup({𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑎}, ℝ*, < ) = sup({𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑎}, ℝ*, < )
40 eqid 2626 . . . 4 (-∞(,)sup({𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑎}, ℝ*, < )) = (-∞(,)sup({𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑎}, ℝ*, < ))
41 eqid 2626 . . . 4 (-∞(,]sup({𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑎}, ℝ*, < )) = (-∞(,]sup({𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑎}, ℝ*, < ))
4218, 19, 20, 22, 34, 2, 6, 36, 38, 39, 40, 41incsmflem 40244 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → ∃𝑏𝐵 {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑎} = (𝑏𝐴))
43 reex 9972 . . . . . . 7 ℝ ∈ V
4443a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ℝ ∈ V)
4544, 8ssexd 4770 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ V)
46 elrest 16004 . . . . 5 ((𝐵 ∈ SAlg ∧ 𝐴 ∈ V) → ({𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑎} ∈ (𝐵t 𝐴) ↔ ∃𝑏𝐵 {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑎} = (𝑏𝐴)))
477, 45, 46syl2anc 692 . . . 4 (𝜑 → ({𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑎} ∈ (𝐵t 𝐴) ↔ ∃𝑏𝐵 {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑎} = (𝑏𝐴)))
4847adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → ({𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑎} ∈ (𝐵t 𝐴) ↔ ∃𝑏𝐵 {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑎} = (𝑏𝐴)))
4942, 48mpbird 247 . 2 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑎} ∈ (𝐵t 𝐴))
501, 7, 16, 17, 49issmfd 40238 1 (𝜑𝐹 ∈ (SMblFn‘𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1992  wral 2912  wrex 2913  {crab 2916  Vcvv 3191  cin 3559  wss 3560   cuni 4407   class class class wbr 4618  ran crn 5080  wf 5846  cfv 5850  (class class class)co 6605  supcsup 8291  cr 9880  -∞cmnf 10017  *cxr 10018   < clt 10019  cle 10020  (,)cioo 12114  (,]cioc 12115  t crest 15997  topGenctg 16014  Topctop 20612  SAlgcsalg 39822  SalGencsalgen 39826  SMblFncsmblfn 40203
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-inf2 8483  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958  ax-pre-sup 9959
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-iin 4493  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-isom 5859  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-er 7688  df-map 7805  df-pm 7806  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-sup 8293  df-inf 8294  df-card 8710  df-acn 8713  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-div 10630  df-nn 10966  df-n0 11238  df-z 11323  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-ioo 12118  df-ioc 12119  df-ico 12120  df-fl 12530  df-rest 15999  df-topgen 16020  df-top 20616  df-bases 20617  df-salg 39823  df-salgen 39827  df-smblfn 40204
This theorem is referenced by:  smfid  40255
  Copyright terms: Public domain W3C validator