Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  incsmflem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem incsmflem 41474
Description: A non decreasing function is Borel measurable. Proposition 121D (c) of [Fremlin1] p. 36 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
incsmflem.x 𝑥𝜑
incsmflem.y 𝑦𝜑
incsmflem.a (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
incsmflem.f (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ*)
incsmflem.i (𝜑 → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑦)))
incsmflem.j 𝐽 = (topGen‘ran (,))
incsmflem.b 𝐵 = (SalGen‘𝐽)
incsmflem.r (𝜑𝑅 ∈ ℝ*)
incsmflem.l 𝑌 = {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑅}
incsmflem.c 𝐶 = sup(𝑌, ℝ*, < )
incsmflem.d 𝐷 = (-∞(,)𝐶)
incsmflem.e 𝐸 = (-∞(,]𝐶)
Assertion
Ref Expression
incsmflem (𝜑 → ∃𝑏𝐵 𝑌 = (𝑏𝐴))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑏   𝑥,𝐴,𝑦   𝐵,𝑏   𝑥,𝐶,𝑦   𝐷,𝑏   𝑥,𝐷,𝑦   𝐸,𝑏   𝑥,𝐸,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑌,𝑏   𝑦,𝑌
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑏)   𝐵(𝑥,𝑦)   𝐶(𝑏)   𝑅(𝑏)   𝐹(𝑏)   𝐽(𝑥,𝑦,𝑏)   𝑌(𝑥)

Proof of Theorem incsmflem
StepHypRef Expression
1 incsmflem.e . . . 4 𝐸 = (-∞(,]𝐶)
2 mnfxr 10308 . . . . . 6 -∞ ∈ ℝ*
32a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝐶𝑌) → -∞ ∈ ℝ*)
4 incsmflem.l . . . . . . . . 9 𝑌 = {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑅}
5 ssrab2 3828 . . . . . . . . 9 {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑅} ⊆ 𝐴
64, 5eqsstri 3776 . . . . . . . 8 𝑌𝐴
76a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑𝑌𝐴)
8 incsmflem.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
97, 8sstrd 3754 . . . . . 6 (𝜑𝑌 ⊆ ℝ)
109sselda 3744 . . . . 5 ((𝜑𝐶𝑌) → 𝐶 ∈ ℝ)
11 incsmflem.j . . . . 5 𝐽 = (topGen‘ran (,))
12 incsmflem.b . . . . 5 𝐵 = (SalGen‘𝐽)
133, 10, 11, 12iocborel 41095 . . . 4 ((𝜑𝐶𝑌) → (-∞(,]𝐶) ∈ 𝐵)
141, 13syl5eqel 2843 . . 3 ((𝜑𝐶𝑌) → 𝐸𝐵)
15 incsmflem.x . . . . 5 𝑥𝜑
16 nfcv 2902 . . . . . 6 𝑥𝐶
17 nfrab1 3261 . . . . . . 7 𝑥{𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑅}
184, 17nfcxfr 2900 . . . . . 6 𝑥𝑌
1916, 18nfel 2915 . . . . 5 𝑥 𝐶𝑌
2015, 19nfan 1977 . . . 4 𝑥(𝜑𝐶𝑌)
21 incsmflem.y . . . . 5 𝑦𝜑
22 nfv 1992 . . . . 5 𝑦 𝐶𝑌
2321, 22nfan 1977 . . . 4 𝑦(𝜑𝐶𝑌)
248adantr 472 . . . 4 ((𝜑𝐶𝑌) → 𝐴 ⊆ ℝ)
25 incsmflem.f . . . . 5 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ*)
2625adantr 472 . . . 4 ((𝜑𝐶𝑌) → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
27 incsmflem.i . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑦)))
2827adantr 472 . . . 4 ((𝜑𝐶𝑌) → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑦)))
29 incsmflem.r . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ ℝ*)
3029adantr 472 . . . 4 ((𝜑𝐶𝑌) → 𝑅 ∈ ℝ*)
31 incsmflem.c . . . 4 𝐶 = sup(𝑌, ℝ*, < )
32 simpr 479 . . . 4 ((𝜑𝐶𝑌) → 𝐶𝑌)
3320, 23, 24, 26, 28, 30, 4, 31, 32, 1pimincfltioc 41450 . . 3 ((𝜑𝐶𝑌) → 𝑌 = (𝐸𝐴))
34 ineq1 3950 . . . . 5 (𝑏 = 𝐸 → (𝑏𝐴) = (𝐸𝐴))
3534eqeq2d 2770 . . . 4 (𝑏 = 𝐸 → (𝑌 = (𝑏𝐴) ↔ 𝑌 = (𝐸𝐴)))
3635rspcev 3449 . . 3 ((𝐸𝐵𝑌 = (𝐸𝐴)) → ∃𝑏𝐵 𝑌 = (𝑏𝐴))
3714, 33, 36syl2anc 696 . 2 ((𝜑𝐶𝑌) → ∃𝑏𝐵 𝑌 = (𝑏𝐴))
38 incsmflem.d . . . . . 6 𝐷 = (-∞(,)𝐶)
3911, 12iooborel 41090 . . . . . 6 (-∞(,)𝐶) ∈ 𝐵
4038, 39eqeltri 2835 . . . . 5 𝐷𝐵
4140a1i 11 . . . 4 (𝜑𝐷𝐵)
4241adantr 472 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝑌) → 𝐷𝐵)
4319nfn 1933 . . . . 5 𝑥 ¬ 𝐶𝑌
4415, 43nfan 1977 . . . 4 𝑥(𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝑌)
45 nfv 1992 . . . . 5 𝑦 ¬ 𝐶𝑌
4621, 45nfan 1977 . . . 4 𝑦(𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝑌)
478adantr 472 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝑌) → 𝐴 ⊆ ℝ)
4825adantr 472 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝑌) → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
4927adantr 472 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝑌) → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑦)))
5029adantr 472 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝑌) → 𝑅 ∈ ℝ*)
51 simpr 479 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝑌) → ¬ 𝐶𝑌)
5244, 46, 47, 48, 49, 50, 4, 31, 51, 38pimincfltioo 41452 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝑌) → 𝑌 = (𝐷𝐴))
53 ineq1 3950 . . . . 5 (𝑏 = 𝐷 → (𝑏𝐴) = (𝐷𝐴))
5453eqeq2d 2770 . . . 4 (𝑏 = 𝐷 → (𝑌 = (𝑏𝐴) ↔ 𝑌 = (𝐷𝐴)))
5554rspcev 3449 . . 3 ((𝐷𝐵𝑌 = (𝐷𝐴)) → ∃𝑏𝐵 𝑌 = (𝑏𝐴))
5642, 52, 55syl2anc 696 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝑌) → ∃𝑏𝐵 𝑌 = (𝑏𝐴))
5737, 56pm2.61dan 867 1 (𝜑 → ∃𝑏𝐵 𝑌 = (𝑏𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383   = wceq 1632  wnf 1857  wcel 2139  wral 3050  wrex 3051  {crab 3054  cin 3714  wss 3715   class class class wbr 4804  ran crn 5267  wf 6045  cfv 6049  (class class class)co 6814  supcsup 8513  cr 10147  -∞cmnf 10284  *cxr 10285   < clt 10286  cle 10287  (,)cioo 12388  (,]cioc 12389  topGenctg 16320  SalGencsalgen 41053
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-inf2 8713  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-pre-sup 10226
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-er 7913  df-map 8027  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-sup 8515  df-inf 8516  df-card 8975  df-acn 8978  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-nn 11233  df-n0 11505  df-z 11590  df-uz 11900  df-q 12002  df-rp 12046  df-ioo 12392  df-ioc 12393  df-fl 12807  df-topgen 16326  df-top 20921  df-bases 20972  df-salg 41050  df-salgen 41054
This theorem is referenced by:  incsmf  41475
  Copyright terms: Public domain W3C validator