Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ind1a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ind1a 31177
Description: Value of the indicator function where it is 1. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Aug-2017.)
Assertion
Ref Expression
ind1a ((𝑂𝑉𝐴𝑂𝑋𝑂) → ((((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑋) = 1 ↔ 𝑋𝐴))

Proof of Theorem ind1a
StepHypRef Expression
1 indfval 31174 . . 3 ((𝑂𝑉𝐴𝑂𝑋𝑂) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑋) = if(𝑋𝐴, 1, 0))
21eqeq1d 2820 . 2 ((𝑂𝑉𝐴𝑂𝑋𝑂) → ((((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑋) = 1 ↔ if(𝑋𝐴, 1, 0) = 1))
3 eqid 2818 . . . . 5 1 = 1
43biantru 530 . . . 4 (𝑋𝐴 ↔ (𝑋𝐴 ∧ 1 = 1))
5 ax-1ne0 10594 . . . . . 6 1 ≠ 0
65neii 3015 . . . . 5 ¬ 1 = 0
76biorfi 932 . . . 4 ((𝑋𝐴 ∧ 1 = 1) ↔ ((𝑋𝐴 ∧ 1 = 1) ∨ 1 = 0))
86bianfi 534 . . . . 5 (1 = 0 ↔ (¬ 𝑋𝐴 ∧ 1 = 0))
98orbi2i 906 . . . 4 (((𝑋𝐴 ∧ 1 = 1) ∨ 1 = 0) ↔ ((𝑋𝐴 ∧ 1 = 1) ∨ (¬ 𝑋𝐴 ∧ 1 = 0)))
104, 7, 93bitri 298 . . 3 (𝑋𝐴 ↔ ((𝑋𝐴 ∧ 1 = 1) ∨ (¬ 𝑋𝐴 ∧ 1 = 0)))
11 eqif 4503 . . 3 (1 = if(𝑋𝐴, 1, 0) ↔ ((𝑋𝐴 ∧ 1 = 1) ∨ (¬ 𝑋𝐴 ∧ 1 = 0)))
12 eqcom 2825 . . 3 (1 = if(𝑋𝐴, 1, 0) ↔ if(𝑋𝐴, 1, 0) = 1)
1310, 11, 123bitr2ri 301 . 2 (if(𝑋𝐴, 1, 0) = 1 ↔ 𝑋𝐴)
142, 13syl6bb 288 1 ((𝑂𝑉𝐴𝑂𝑋𝑂) → ((((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑋) = 1 ↔ 𝑋𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  wo 841  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wss 3933  ifcif 4463  cfv 6348  0cc0 10525  1c1 10526  𝟭cind 31168
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-ov 7148  df-ind 31169
This theorem is referenced by:  indpi1  31178  prodindf  31181  indpreima  31183
  Copyright terms: Public domain W3C validator