Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  indfval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem indfval 30387
Description: Value of the indicator function. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Aug-2017.)
Assertion
Ref Expression
indfval ((𝑂𝑉𝐴𝑂𝑋𝑂) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑋) = if(𝑋𝐴, 1, 0))

Proof of Theorem indfval
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 indval 30384 . . 3 ((𝑂𝑉𝐴𝑂) → ((𝟭‘𝑂)‘𝐴) = (𝑥𝑂 ↦ if(𝑥𝐴, 1, 0)))
213adant3 1127 . 2 ((𝑂𝑉𝐴𝑂𝑋𝑂) → ((𝟭‘𝑂)‘𝐴) = (𝑥𝑂 ↦ if(𝑥𝐴, 1, 0)))
3 simpr 479 . . . 4 (((𝑂𝑉𝐴𝑂𝑋𝑂) ∧ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 = 𝑋)
43eleq1d 2824 . . 3 (((𝑂𝑉𝐴𝑂𝑋𝑂) ∧ 𝑥 = 𝑋) → (𝑥𝐴𝑋𝐴))
54ifbid 4252 . 2 (((𝑂𝑉𝐴𝑂𝑋𝑂) ∧ 𝑥 = 𝑋) → if(𝑥𝐴, 1, 0) = if(𝑋𝐴, 1, 0))
6 simp3 1133 . 2 ((𝑂𝑉𝐴𝑂𝑋𝑂) → 𝑋𝑂)
7 1re 10231 . . . 4 1 ∈ ℝ
8 0re 10232 . . . 4 0 ∈ ℝ
97, 8keepel 4299 . . 3 if(𝑋𝐴, 1, 0) ∈ ℝ
109a1i 11 . 2 ((𝑂𝑉𝐴𝑂𝑋𝑂) → if(𝑋𝐴, 1, 0) ∈ ℝ)
112, 5, 6, 10fvmptd 6450 1 ((𝑂𝑉𝐴𝑂𝑋𝑂) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑋) = if(𝑋𝐴, 1, 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wss 3715  ifcif 4230  cmpt 4881  cfv 6049  cr 10127  0cc0 10128  1c1 10129  𝟭cind 30381
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-ov 6816  df-ind 30382
This theorem is referenced by:  ind1  30388  ind0  30389  ind1a  30390  eulerpartlemgvv  30747
  Copyright terms: Public domain W3C validator