Theorem indifdir 4262

Description: Distribute intersection over difference. (Contributed by Scott Fenton, 14-Apr-2011.)

Assertion

Ref	Expression
indifdir	⊢ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∩ 𝐶) = ((𝐴 ∩ 𝐶) ∖ (𝐵 ∩ 𝐶))

Proof of Theorem indifdir

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pm3.24 405	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)
2	1	intnan 489	. . . . . . 7 ⊢ ¬ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶))
3		anass 471	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)))
4	2, 3	mtbir 325	. . . . . 6 ⊢ ¬ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)
5	4	biorfi 935	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵) ∨ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)))
6		an32 644	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵))
7		andi 1004	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (¬ 𝑥 ∈ 𝐵 ∨ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)) ↔ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵) ∨ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)))
8	5, 6, 7	3bitr4i 305	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (¬ 𝑥 ∈ 𝐵 ∨ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)))
9		ianor 978	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ↔ (¬ 𝑥 ∈ 𝐵 ∨ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶))
10	9	anbi2i 624	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ ¬ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶)) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (¬ 𝑥 ∈ 𝐵 ∨ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)))
11	8, 10	bitr4i 280	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ ¬ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶)))
12		elin 4171	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∩ 𝐶) ↔ (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶))
13		eldif 3948	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵))
14	13	anbi1i 625	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶))
15	12, 14	bitri 277	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∩ 𝐶) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶))
16		eldif 3948	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐶) ∖ (𝐵 ∩ 𝐶)) ↔ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)))
17		elin 4171	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶))
18		elin 4171	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶))
19	18	notbii 322	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶) ↔ ¬ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶))
20	17, 19	anbi12i 628	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ ¬ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶)))
21	16, 20	bitri 277	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐶) ∖ (𝐵 ∩ 𝐶)) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ ¬ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶)))
22	11, 15, 21	3bitr4i 305	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∩ 𝐶) ↔ 𝑥 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐶) ∖ (𝐵 ∩ 𝐶)))
23	22	eqriv 2820	1 ⊢ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∩ 𝐶) = ((𝐴 ∩ 𝐶) ∖ (𝐵 ∩ 𝐶))

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 398   ∨ wo 843   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ∖ cdif 3935   ∩ cin 3937

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-v 3498  df-dif 3941  df-in 3945

This theorem is referenced by:  preddif  6175  fresaun  6551  uniioombllem4  24189  subsalsal  42649